두 점 사이의 거리(공간좌표)

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이-차원 평면에서 두 점 사이의 거리를 계산하는 방법을 배웠습니다.

이-차원에서는 좌표를 2개의 실숫값을 가지는 순서쌍으로 나타내기 때문에, 각 좌표의 차이를 제곱한 후, 그 값들 더한 후, 양의 제곱근을 구했습니다.

예를 들어, 평면 위의 두 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1})$, $\mathrm {B} (x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는 다음과 같습니다.

${\overline {\mathrm {AB} }}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

비록 삼-차원 공간으로 바뀌더라도, 직교 좌표 시스템의 특징에 의해, 그 수식은 전혀 달라지지 않습니다.

예를 들어, 공간에서 두 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1},z_{1})$, $\mathrm {B} (x_{2},y_{2},z_{2})$ 사이의 거리는 다음과 같습니다.

${\overline {\mathrm {AB} }}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}$

거리에 관한 위의 두 식은 피타고라스 정리에 기초한 식입니다.

한편, 수직선 위의 두 점 $\mathrm {A} (x_{1})$, $\mathrm {B} (x_{2})$ 사이의 거리는 다음과 같이 표현됩니다.

${\overline {\mathrm {AB} }}=|x_{2}-x_{1}|$

이 식은 위의 두 식과 전혀 달라보이지만, 그렇지 않습니다. 제곱근의 식보다 절댓값이 식이 보다 깔끔하고 이해하기 쉽기 때문에 절댓값을 대표적인 식으로 표현할 뿐이고, 일관성을 유지하기 위해, 다음과 같이 표현해도 좋겠습니다.

${\overline {\mathrm {AB} }}=|x_{2}-x_{1}|={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}}}$

수학에서, 이런 일관성은 비록 우리가 다음 네 번째 차원에 대해 여러 정의가 가능할지라도, 더불어, 아직 알려지지 않은 더 높은 차원에 대해 정의를 필요했을 때 등을 위해서, 매우 중요한 특징 중에 하나입니다. 이런 일관성으로부터 임의의 n-차의 정의로 확장이 가능하고, 일반적으로 그런 정의는 받아들여지고 있습니다.