두 점 사이의 거리(수학1)

Main article: Euclidean_distance

직교 좌표계에서 두 점 사이의 거리는 최단 거리를 말하며, 물리량이므로 음의 값을 가질 수 없습니다. 또한 직선이 어느 공간에 놓여있는지에 따라 두 점 사이의 거리를 구하는 식이 다르게 표현됩니다.

수직선 위의 두 점 사이의 거리

수직선 위에서는 한 개의 변수만이 존재합니다. 오른쪽에 있는 값이 항상 크므로 수직선 위에 점이 표시되어 있을 때에는 오른쪽의 좌표에서 왼쪽의 좌표를 뺀 값이 거리입니다.

그러나, 수직선에 표시를 하지 않는 경우에는, 두 점 $\mathrm {A} (x_{1}),\mathrm {B} (x_{2})$ 사이의 거리는 다음과 같이 표현됩니다.

$x_{1}\geq x_{2}$일 때, $\mathrm {AB} =x_{1}-x_{2}$

$x_{1}<x_{2}$일 때, $\mathrm {AB} =x_{2}-x_{1}$

어느 값이 더 오른쪽에 있는지 알지 못하기 때문에 경우에 따라서 표현식이 달라집니다.

위의 경우는 절댓값를 사용해서 아래와 같이 간단히 나타낼 수 있습니다.

$\mathrm {AB} =|x_{2}-x_{1}|=|x_{1}-x_{2}|$

좌표평면 위의 두 점 사이의 거리

좌표 평면에서는 한 점이 2개의 변수로 표현이 됩니다.

두 점 $\mathrm {A} (x_{1},y_{1}),\mathrm {B} (x_{2},y_{2})$ 사이의 거리는 피타고라스 정리로 구해집니다. 오른쪽 그림과 같이 $\mathrm {A,B}$에서 각각 $x,y$축으로 평행한 직선을 그었을 때 $\mathrm {C}$에서 만나게 됩니다.

여기서 $\triangle \mathrm {ABC}$는 직각삼각형이므로, 피타고라스 정리에 의해 다음이 성립합니다.

$\mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {BC} ^{2}+\mathrm {CA} ^{2}$

선분 $\mathrm {BC} ,\mathrm {CA}$는 수직선 사이의 거리에 해당되므로 다음과 같이 구해집니다.

$\mathrm {BC} =y_{2}-y_{1},\mathrm {CA} =x_{2}-x_{1}$

기하학적으로 표시가 되어 있으므로 절댓값 기호를 사용할 필요가 없습니다.

이 식을 피타고라스 정리에 대입을 해서, 좌표평면 위에서 두 점 사이의 거리를 구해냅니다.

$\mathrm {AB} ={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$

물리량이므로 음의 제곱근이 무시됩니다. 또한, 두 좌표의 차이를 제곱할 것이므로 반드시 큰 좌표에서 뺄 필요는 없는데, 단지 부호를 조심해서 계산해야 합니다.

응용예제

응용예제1

두 점 $\mathrm {A} (2,3),\mathrm {B} (6,1)$과 $x$축 위의 점 $\mathrm {P}$에 대하여 $\mathrm {AP+BP}$의 최솟값을 구하여라.

해설) mowoum:두 점 사이의 거리(수학1)#응용예제1

응용예제2

좌표평면 위의 두 점 $\mathrm {A} (1,4),\mathrm {B} (5,1)$에 대하여, 두 점 $\mathrm {P} ,\mathrm {Q}$가 각각 $x$축, $y$축 위를 움직일 때, $\mathrm {AQ+QP+PB}$의 최솟값을 구하여라.

해설) mowoum:두 점 사이의 거리(수학1)#응용예제2

응용예제3

그림과 같이 좌표평면 위에 두 직선이 놓여 있습니다.

$l:2x-y-1=0,\;m=2x-3y+6=0$

두 직선 사이에 있는 점 $\mathrm {P}$를 지나고 $x$-축에 수직인 직선이 $l,m$과 만나는 점을 각각 $\mathrm {A,B}$라 하고, $y$-축에 수직인 직선이 $l,m$과 만나는 점을 각각 $\mathrm {C,D}$라 하자. 삼각형 $\mathrm {PAD}$의 면적을 $S_{1}$, 삼각형 $\mathrm {PBC}$의 면적을 $S_{2}$라 할 때, ${\frac {S_{1}}{S_{2}}}$의 값은?

해설) mowoum:두 점 사이의 거리(수학1)#응용예제3

응용예제4

좌표평면 위의 네 점 ${\rm {A(1,1)}}$, ${\rm {B(5,1)}}$, ${\rm {C(5,5)}}$, ${\rm {A(1,5)}}$에 대하여, 두 선분 ${\overline {\rm {AC}}}$, ${\overline {\rm {BD}}}$로 이루어진 도형을 $S$라 하자. 아래 조건을 만족시키는 점 ${\rm {P}}$가 나타내는 도형의 넓이는 $a+b{\sqrt {2}}+c\pi$일 때, $a+b+c$의 값은? (단, $a,b,c$는 모두 정수이다.)

조건: 도형 $S$ 위의 임의의 점과 점 ${\rm {P}}$ 사이의 거리의 최솟값은 1이다.

해설) mowoum:두 점 사이의 거리(수학1)#응용예제4