두 직선의 위치 관계

두 도형의 위치 관계에 따라 좌표평면 위의 두 직선 $l_{1},l_{2}$ 의 위치 관계는 실근의 존재(교점) 유무에 따라 세 가지 경우로 나누어 집니다.

한 점에서 만나는 경우 : 실근 1개
서로 겹치는 경우 : 실근이 무수히 많음 : 일치
서로 만나지 않는 경우 : 실근이 없음 : 평행

표준형

직선의 방정식 표준형으로 주어졌을 때, 위의 3가지를 판별하는 방법은 무엇일까요? 교점의 문제는 연립방정식을 푸는 문제와 같기 때문에 연립일차방정식에서 해법을 찾을 수 있습니다.

\left\{{\begin{aligned}l_{1}:\;y=m_{1}x+n_{1}&\cdots (1)\\l_{2}:\;y=m_{2}x+n_{2}&\cdots (2)\end{aligned}}\right.

식을 변변 빼서 정리하면 다음과 같은 식을 얻을 수 있습니다.

(m_{1}-m_{2})x=(n_{2}-n_{1})

이제 이 식은 일차방정식으로 변했습니다. 일차방정식의 3가지 경우를 적용하면 다음과 같습니다.

$m_{1}\neq m_{2}$	기울기가 다름	교점 1개
$m_{1}=m_{2},n_{1}=n_{2}$	기울기 같고, y절편 같음	일치
$m_{1}=m_{2},n_{1}\neq n_{2}$	기울기 같고, y절편 다름	평행

일반형

직선의 방정식이 일반형으로 주어진 경우에는 표준형으로 바꾸는 과정이 필요합니다. 표준형으로 바꿀 수 없는 직선은 매우 예외적인 경우이므로 별도로 사고해도 크게 무리가 없습니다.

\left\{{\begin{aligned}l_{1}:\;a_{1}x+b_{1}y+c_{1}=0&\cdots (1)\\l_{2}:\;a_{2}x+b_{2}y+c_{2}=0&\cdots (2)\end{aligned}}\right.

이를 표준형으로 고치면 다음과 같습니다.

\left\{{\begin{aligned}l_{1}:\;y=-{\frac {a_{1}}{b_{1}}}x-{\frac {c_{1}}{b_{1}}}&\cdots (3)\\l_{2}:\;y=-{\frac {a_{2}}{b_{2}}}x-{\frac {c_{2}}{b_{2}}}&\cdots (4)\end{aligned}}\right.

이것을 표준형의 3가지 경우에 대입하면 다음과 같이 정리됩니다.

$\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}\neq {\frac {a_{2}}{b_{2}}}$	$\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}\neq {\frac {b_{1}}{b_{2}}}$	교점 1개
$\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}},{\frac {c_{1}}{b_{1}}}={\frac {c_{2}}{b_{2}}}$	$\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}={\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	일치
$\displaystyle {\frac {a_{1}}{b_{1}}}={\frac {a_{2}}{b_{2}}},{\frac {c_{1}}{b_{1}}}\neq {\frac {c_{2}}{b_{2}}}$	$\displaystyle {\frac {a_{1}}{a_{2}}}={\frac {b_{1}}{b_{2}}}\neq {\frac {c_{1}}{c_{2}}}$	평행

일반식의 결과는 계수의 비로 3가지 경우가 결정됩니다. 이 과정의 결과를 반드시 암기할 필요는 없습니다. 다만 이렇게 이해를 하고 있으면 수식으로 주어지는 문제에 보다 대처하기가 쉽기 때문에 몇번 읽어두는 것은 좋습니다.

수직 조건

두 직선의 교점이 1개인 경우에 특수한 경우가 발생합니다.

직교좌표계에서 좌표축도 직선에 해당하고, 좌표축은 원점에서 1개의 교점을 가집니다. 그러나 일반적인 경우는 아닙니다. 왜냐하면, $x$ 축은 기울기가 0이고 $y$ 축은 기울기가 존재하지 않기 때문입니다. 이 좌표축을 조금만 회전시키면 원점을 통과하면서 수직으로 만나는 2개의 직선을 얻을 수 있습니다. 또한, 평행이동을 통해서, 원점을 좌표평면의 어는 점으로든지 이동시킬 수 있기 때문에, 일반적인 두 직선의 수직 관계를 알아낼 수 있습니다. 이는 좌표축이 아니면서 원점을 통과하는 두 직선의 수직 관계가 임의의 두 직선의 수직 관계와 동일함을 의미합니다.

평행이동으로는 직선의 기울기를 바꿀 수 없기 때문에 수직 관계는 유지됩니다.

오른쪽 그림과 같이 원점을 지나면서 수직으로 만나는 두 직선 $y=m_{1}x,y=m_{2}x$ 이 있습니다. 이 두 직선과 $x=1$ 의 교점을 각각 $\mathrm {P,Q}$ 라 하면, $\triangle \mathrm {OPQ}$ 는 직각삼각형입니다. 직각삼각형은 피타고라스 정리를 만족하므로 다음의 식을 얻을 수 있습니다.