두 도형의 위치 관계

고등학교 수학 교과과정의 많은 부분에서, 두 도형이 만나는지 그렇지 않은지 여부에 대한 부분이 있습니다. 예를 들어, 이차함수와 이차방정식의 관계, 이차함수와 직선의 위치 관계, 원과 직선의 위치관계, 이차도형과 직선의 위치 관계 등이 있습니다.

이 문제는 실근과 관련이 있습니다. 왜냐하면 고등학교에서는 좌표평면의 구성이 x축과 y축이 실수로 구성되는 직교 좌표계(데카르트 좌표 시스템)를 사용하기 때문입니다. 결국 도형이 만나는 경우는 실근을 갖는 경우이고, 만나지 않으면 실근이 없으니 허근을 갖는 경우입니다.

두 도형의 만남은 두 도형의 식으로 구성되는 연립방정식을 풀었을 때, 실근의 유무와 동치 관계입니다. 연립방정식을 풀 때, 어떤 미지수를 선택할 것인지는 정해져 있지 않고, 다만, 그래프로 주어진 경우에는 미지수 y를 소거하기 쉽기 때문에 x에 대한 식으로 주로 해결합니다.

• 두 도형 $f(x,y)=0,g(x,y)=0$이 만나는지 유무는 두 도형의 연립방정식 $f(x,y)=g(x,y)$의 실근의 유무와 동치 관계가 됩니다.
• 두 그래프 $y=f(x),y=g(x)$가 만나는지 유무는 두 그래프의 연립방정식 $f(x)=g(x)$의 실근의 유무와 동치 관계가 됩니다.

반면에 복합적인 식으로 구성되는 방정식에서 실근의 개수 문제는 해당 방정식을 2개의 도형으로 나누어, 두 도형의 교점의 개수 문제로 해석할 수 있습니다.

• 방정식 $f(x)=g(x)$의 실근의 존재유무는 두 그래프 $y=f(x),y=g(x)$의 교점의 존재유무로 해석할 수 있습니다. 여기서, 좌우변으로 나누는 과정(두 도형)은 가능한 쉽게 개형을 그릴 수 있는 것을 선택합니다.