등차수열 (arithmetic sequence)은 연속하는 두 항의 차이가 모두 일정한 수열 을 말합니다. 이때, 두 항의 차이는 이 수열의 모든 연속하는 두 항들에 대해서 공 통적으로 나타나는 차 이므로, 공차 (common difference)라고 합니다. 예를 들어, 홀수열은 공차가 2인 등차수열입니다.
1
,
3
,
5
,
7
,
…
{\displaystyle 1,\ 3,\ 5,\ 7,\ \ldots }
수열의 첫항을
a
1
{\displaystyle a_{1}}
d
{\displaystyle d}
a
n
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}
등차수열의 일반항 등차수열의 일반항은 정의를 수식으로 표현해서 순차적으로 대입을 해서 구할 수 있습니다.
a
2
−
a
1
=
d
{\displaystyle a_{2}-a_{1}=d}
a
3
−
a
2
=
d
{\displaystyle a_{3}-a_{2}=d}
a
4
−
a
3
=
d
{\displaystyle a_{4}-a_{3}=d}
⋮
{\displaystyle \quad \vdots }
a
n
−
a
n
−
1
=
d
{\displaystyle a_{n}-a_{n-1}=d}
위의 수식에서 첫째항(
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
1
{\displaystyle a_{1}}
a
3
=
a
2
+
d
=
a
1
+
(
3
−
1
)
d
{\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+(3-1)d}
a
4
=
a
3
+
d
=
a
1
+
(
4
−
1
)
d
{\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+(4-1)d}
a
5
=
a
4
+
d
=
a
1
+
(
5
−
1
)
d
{\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{1}+(5-1)d}
⋮
{\displaystyle \quad \vdots }
a
n
=
a
n
−
1
+
d
=
a
1
+
(
n
−
1
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d}
한편, 셋째항(
a
3
{\displaystyle a_{3}}
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
a
4
=
a
3
+
(
4
−
3
)
d
{\displaystyle a_{4}=a_{3}+(4-3)d}
a
5
=
a
4
+
d
=
a
3
+
(
5
−
3
)
d
{\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=a_{3}+(5-3)d}
a
6
=
a
5
+
d
=
a
3
+
(
6
−
3
)
d
{\displaystyle a_{6}=a_{5}+d=a_{3}+(6-3)d}
⋮
{\displaystyle \quad \vdots }
a
n
=
a
n
−
1
+
d
=
a
3
+
(
n
−
3
)
d
{\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d=a_{3}+(n-3)d}
이를 일반화하면, 주어진 위치의 항이
k
{\displaystyle k}
a
k
{\displaystyle a_{k}}
∴
a
n
=
a
k
+
(
n
−
k
)
d
{\displaystyle \therefore a_{n}=a_{k}+(n-k)d}
등차중항 세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
등차중항 이라고 합니다.
세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
공차
=
b
−
a
=
c
−
b
{\displaystyle =b-a=c-b}
그러므로 등차중항을 구하고 싶은 경우라면, 다음과 같이 정리해서 사용할 수 있습니다.
∴
b
=
a
+
c
2
{\displaystyle \displaystyle \therefore b={\frac {a+c}{2}}}
한편, 등차수열을 수직선 위에 표현하게 되면, 동일한 간격으로 값들이 위치합니다. 오른쪽 그림처럼 세 수
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
b
{\displaystyle b}
a
{\displaystyle a}
c
{\displaystyle c}
p
{\displaystyle p}
q
{\displaystyle q}
r
{\displaystyle r}
s
{\displaystyle s}
q
{\displaystyle q}
p
{\displaystyle p}
s
{\displaystyle s}
1
:
2
{\displaystyle 1:2}
r
{\displaystyle r}
p
{\displaystyle p}
s
{\displaystyle s}
2
:
1
{\displaystyle 2:1}
수열 은 함수로 정의할 수도 있으므로 수직선 상의 내분점 , 또는 외분점 으로 사고하는 방법도 있습니다.
응용예제 응용예제1 일반항이
a
n
=
2
n
+
3
{\displaystyle a_{n}=2n+3}
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
(
a
1
a
3
−
a
1
2
)
+
(
a
2
a
4
−
a
2
2
)
+
(
a
3
a
5
−
a
3
2
)
+
⋯
+
(
a
10
a
12
−
a
10
2
)
{\displaystyle (a_{1}a_{3}-a_{1}^{2})+(a_{2}a_{4}-a_{2}^{2})+(a_{3}a_{5}-a_{3}^{2})+\cdots +(a_{10}a_{12}-a_{10}^{2})}
의 값은?
해설: mowoum:등차수열#응용예제1
응용예제2 등차수열
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
n
S
n
{\displaystyle S_{n}}
a
1
>
0
{\displaystyle a_{1}>0}
S
14
=
S
28
{\displaystyle S_{14}=S_{28}}
(ㄱ)
a
15
+
a
16
+
a
17
+
⋯
+
a
28
=
0
{\displaystyle a_{15}+a_{16}+a_{17}+\cdots +a_{28}=0}
(ㄴ)
|
a
19
|
=
|
a
24
|
{\displaystyle \left|a_{19}\right|=\left|a_{24}\right|}
(ㄷ)
n
=
22
{\displaystyle n=22}
S
n
{\displaystyle S_{n}}
해설: mowoum:등차수열#응용예제2
응용예제3 양의 실수
x
{\displaystyle x}
x
−
⌊
x
⌋
,
⌊
x
⌋
,
x
{\displaystyle x-\lfloor x\rfloor ,\lfloor x\rfloor ,x}
x
−
⌊
x
⌋
{\displaystyle x-\lfloor x\rfloor }
⌊
x
⌋
{\displaystyle \lfloor x\rfloor }
x
{\displaystyle x}
해설: mowoum:등차수열#응용예제3
응용예제4
x
{\displaystyle x}
x
3
−
3
x
2
−
6
x
+
k
=
0
{\displaystyle x^{3}-3x^{2}-6x+k=0}
k
{\displaystyle k}
해설: mowoum:등차수열#응용예제4
응용예제5
x
{\displaystyle x}
x
4
−
(
3
m
+
2
)
x
2
+
m
2
=
0
{\displaystyle x^{4}-(3m+2)x^{2}+m^{2}=0}
m
{\displaystyle m}
해설: mowoum:등차수열#응용예제5
응용예제6 등차수열
{
a
n
}
{\displaystyle \{a_{n}\}}
a
5
+
a
13
=
3
a
9
,
∑
k
=
1
18
a
k
=
9
2
{\displaystyle a_{5}+a_{13}=3a_{9},\;\;\sum _{k=1}^{18}a_{k}={\frac {9}{2}}}
를 만족시킬 때,
a
13
{\displaystyle a_{13}}
해설: mowoum:등차수열#응용예제6
