내분점과 외분점 에서 일반적인 내용을 알아보았습니다. 이제 수직선위에서 좌표가 주어지는 경우에 외분점과 외분점을 어떻게 구할 것인지를 알아보겠습니다.
내분점 수직선 위의 두 점
A
(
x
1
)
,
B
(
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {A} (x_{1}),\mathrm {B} (x_{2})}
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
m
:
n
(
m
>
0
,
n
>
0
)
{\displaystyle m:n\;(m>0,n>0)}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
A
P
:
B
P
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {AP:BP} =m:n}
(
x
−
x
1
)
:
(
x
2
−
x
)
=
m
:
n
{\displaystyle (x-x_{1}):(x_{2}-x)=m:n}
m
(
x
2
−
x
)
=
n
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle m(x_{2}-x)=n(x-x_{1})}
(
m
+
n
)
x
=
m
x
2
+
n
x
1
{\displaystyle (m+n)x=mx_{2}+nx_{1}}
∴
x
=
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
{\displaystyle \displaystyle \therefore x={\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}}}
좌표의 위치가 주어져야 식이 만들어집니다. 좌표의 위치가 주어지지 않았을 때에는 절댓값을 이용해야 하므로 공식유도가 되지 않습니다.
만약 위치가 반대인 경우
x
2
<
x
1
{\displaystyle x_{2}<x_{1}}
A
P
:
B
P
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {AP:BP} =m:n}
(
x
1
−
x
)
:
(
x
−
x
2
)
=
m
:
n
{\displaystyle (x_{1}-x):(x-x_{2})=m:n}
m
(
x
−
x
2
)
=
n
(
x
1
−
x
)
{\displaystyle m(x-x_{2})=n(x_{1}-x)}
(
m
+
n
)
x
=
m
x
2
+
n
x
1
{\displaystyle (m+n)x=mx_{2}+nx_{1}}
∴
x
=
m
x
2
+
n
x
1
m
+
n
{\displaystyle \displaystyle \therefore x={\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}}}
역시 같은 결과를 얻을 수 있습니다. 이것은 실제 문제를 풀 때에는 좌표의 대소 관계에 관계없이 수직선 위에 좌표를 표시할 수 있다 는 것을 의미합니다.
그러나, 선분
B
A
{\displaystyle \mathrm {BA} }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
반드시 점
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
m
{\displaystyle m}
외분점 수직선 위의 두 점
A
(
x
1
)
,
B
(
x
2
)
{\displaystyle \mathrm {A} (x_{1}),\mathrm {B} (x_{2})}
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
m
:
n
(
m
>
0
,
n
>
0
,
m
≠
n
)
{\displaystyle m:n\;(m>0,n>0,m\neq n)}
Q
{\displaystyle \mathrm {Q} }
먼저
m
>
n
{\displaystyle m>n}
A
Q
:
B
Q
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {AQ:BQ} =m:n}
(
x
−
x
1
)
:
(
x
−
x
2
)
=
m
:
n
{\displaystyle (x-x_{1}):(x-x_{2})=m:n}
m
(
x
−
x
2
)
=
n
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle m(x-x_{2})=n(x-x_{1})}
(
m
−
n
)
x
=
m
x
2
−
n
x
1
{\displaystyle (m-n)x=mx_{2}-nx_{1}}
∴
x
=
m
x
2
−
n
x
1
m
−
n
{\displaystyle \displaystyle \therefore x={\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}}}
마찬가지로
m
<
n
{\displaystyle m<n}
A
Q
:
B
Q
=
m
:
n
{\displaystyle \mathrm {AQ:BQ} =m:n}
(
x
1
−
x
)
:
(
x
2
−
x
)
=
m
:
n
{\displaystyle (x_{1}-x):(x_{2}-x)=m:n}
m
(
x
2
−
x
)
=
n
(
x
1
−
x
)
{\displaystyle m(x_{2}-x)=n(x_{1}-x)}
(
m
−
n
)
x
=
m
x
2
−
n
x
1
{\displaystyle (m-n)x=mx_{2}-nx_{1}}
∴
x
=
m
x
2
−
n
x
1
m
−
n
{\displaystyle \displaystyle \therefore x={\frac {mx_{2}-nx_{1}}{m-n}}}
그러므로
m
,
n
{\displaystyle m,n}
기억해둘 만한 것 내분점과 외분점은 식의 구성이 같습니다. 다만 중간의 부호가
+
{\displaystyle +}
−
{\displaystyle -}
그리기 힘든 외분점의 그림을 그릴 필요가 없습니다. 내분점의 그림을 그린 후에 중간의 부호만 반대로 바꾸어서 외분점을 구할 수 있습니다.
그러나 역시 주의를 해야 할 점은 그림을 그릴 때 좌표 위치 와 계산 순서 입니다.
선분
△
▽
{\displaystyle \bigtriangleup \!\!\bigtriangledown }
m
:
n
{\displaystyle m:n}
△
{\displaystyle \bigtriangleup }
▽
{\displaystyle \bigtriangledown }
m n
△
{\displaystyle \bigtriangleup }
m
▽
{\displaystyle \bigtriangledown }
n
m
{\displaystyle m}
반드시 먼저 이용해서,
m
{\displaystyle m}
▽
{\displaystyle \bigtriangledown }
응용예제 응용예제1 선분
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
3
:
2
{\displaystyle 3:2}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
3
:
1
{\displaystyle 3:1}
Q
{\displaystyle \mathrm {Q} }
P
Q
=
36
{\displaystyle \mathrm {PQ} =36}
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
해설: mowoum:수직선 위의 내분점과 외분점#응용예제1
응용예제2 좌표평면 위의 두 점
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A,B} }
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
3
:
1
{\displaystyle 3:1}
Q
{\displaystyle \mathrm {Q} }
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
1
:
3
{\displaystyle 1:3}
A
{\displaystyle \mathrm {A} }
Q
P
{\displaystyle \mathrm {QP} }
m
1
:
n
1
{\displaystyle m_{1}:n_{1}}
B
{\displaystyle \mathrm {B} }
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
m
2
:
n
2
{\displaystyle m_{2}:n_{2}}
m
1
+
n
1
+
m
2
+
n
2
{\displaystyle m_{1}+n_{1}+m_{2}+n_{2}}
m
1
,
n
1
{\displaystyle m_{1},n_{1}}
m
2
:
n
2
{\displaystyle m_{2}:n_{2}}
해설: mowoum:수직선 위의 내분점과 외분점#응용예제2
응용예제3 선분
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
3
:
1
{\displaystyle 3:1}
P
{\displaystyle \mathrm {P} }
2
:
3
{\displaystyle 2:3}
Q
{\displaystyle \mathrm {Q} }
P
Q
¯
=
k
A
B
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {PQ} }}=k{\overline {\mathrm {AB} }}}
k
{\displaystyle k}
해설: mowoum:수직선 위의 내분점과 외분점#응용예제3
