로그의 성질

See also: Logarithm § Logarithmic identities, and List of logarithmic identities

로그의 뜻에서 로그의 정의가 만들어진 배경에 대해 알아 보았습니다. 이제 새롭게 만들어진 로그가 어떤 성질을 갖고 있는지 확인해 볼 차례입니다.

지수와 로그는 항상은 아니지만, 조건만 만족하면, 표현을 바꿀 수 있습니다. 이것은 로그의 성질도 지수의 성질로부터 얻어질 수 있음을 의미합니다. 이 기사에서는 특별한 언급이 없더라도, 밑수는 양수이고, 1이 아닌 것을 가정하고, 로그의 인수는 양수를 가정합니다.

먼저, 지수에서 특별한 경우를 생각해 보십시오. (물론 밑수가 1일 때, 값이 변하지 않는 것은 로그로 표현할 수 없다고 배웠으니 그것은 제외를 합니다.) 다음과 같은 두 가지 경우가 있습니다.

$a^{0}=1\Leftrightarrow 0=\log _{a}1$

$a^{1}=a\Leftrightarrow 1=\log _{a}a$

이런 자명한 경우는 쉽게 이해가 됩니다.

다음으로는 로그와 지수는 뗄 수 없는 관계이므로, 지수법칙으로부터 몇가지 성질을 발견할 수 있습니다.

예를 들어, x = a^m, y = aⁿ이면 다음 식이 성립합니다.

$xy=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$

위 식은 로그의 정의를 사용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$xy=a^{m+n}\Leftrightarrow m+n=\log _{a}{xy}$

한편, 가정된 식은 다음과 같이 로그로 쓸 수 있습니다:

$x=a^{m}\Leftrightarrow m=\log _{a}x$

$y=a^{n}\Leftrightarrow n=\log _{a}y$

이 식을 바로 직전 식에 대입하면 다음과 같은 식을 쓸 수 있습니다.

$\log _{a}{xy}=\log _{a}x+\log _{a}y$

이와 비슷한 방법으로 지수 법칙의 다음 식

$x\div y=a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

은 로그 식

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y$

로 쓰입니다.

다음 지수 법칙도 로그 식으로 바꿀 수 있습니다.

$\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$x=a^{m}\Leftrightarrow m=\log _{a}x\quad \cdots (1)$

$x^{n}=\left(a^{m}\right)^{n}=a^{mn}$

이 식을 로그 식으로 나타내면 다음과 같습니다.

$mn=\log _{a}{x^{n}}$

그러므로 (1)을 대입해서 다음 식을 얻습니다.

$\log _{a}{x^{n}}=n\log _{a}m$

로그의 밑 변환

이전의 로그의 성질을 보면, 로그의 밑이 같아야 연산을 할 수 있음을 알 수 있습니다. 이것을 다르게 생각하면, 밑수가 같지 않으면, 위의 성질을 이용할 수 없다는 것입니다. 그래서 밑을 같게 만드는 방법이 있으면 좋을 것 같습니다.

먼저 다음 식을 지수 식으로 쓸 수 있습니다.

$\log _{a}b=\log _{a}b\Leftrightarrow b=a^{\log _{a}b}\quad \cdots (2)$

위 (2) 식의 양변에 log_c를 적용해서, 다음을 얻습니다:

$\log _{c}b=\log _{c}(a^{\log _{a}b})=\log _{a}b\cdot \log _{c}a$.

$\log _{a}b$에 대한 해를 구하면 다음과 같습니다:

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

이 결과는 $\log _{a}b$를 임의의 1이 아닌 양수 $c$를 새로운 밑으로 갖는 로그로 표현할 수 있다는 것을 의미합니다.

위 식에서 c = b이면, 다음 식이 성립합니다:

$\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}$

즉, 임의의 로그에서 그의 밑수와 인수가 바뀌면, 해당 로그의 곱셈에 대한 역수를 나타냄을 의미합니다.

그 외에 수많은 항등식은 로그의 항등식 기사를 참조하십시오.

응용예제

응용예제1

$\log _{4}2n^{2}-{\frac {1}{2}}\log _{2}{\sqrt {n}}$의 값이 $40$ 이하의 자연수가 되도록 하는 자연수 $n$의 개수를 구하시오. [4점] [2021학년도 수능 가형 27번]

해설: mowoum:로그의_성질#응용예제1