수학 에서, 로그함수 는 지수함수 의 역함수(inverse function) 입니다. 따라서, 지수함수
f
(
x
)
=
a
x
{\displaystyle f(x)=a^{x}}
f
(
x
)
=
log
a
x
{\displaystyle f(x)=\log _{a}x}
a
>
0
,
a
≠
1
{\displaystyle a>0,a\neq 1}
(왼쪽) 밑수
a
>
1
{\displaystyle a>1}
일 때, 로그함수의 그래프의 개형, (오른쪽)
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
일 때, 그래프의 개형
로그함수는 크게 밑수가 1보다 클 때와 그렇지 않을 때로 그래프의 개형이 나눕니다. 그렇더라도, 몇 가지 특성은 같기 때문에, 다른 점이 어떤 것이 있는지 확인해 두는 것이 필요합니다. 또한, 로그함수의 역함수가 지수함수이기 때문에, 서로 사이의 특징을 연관시켜서 기억해둘 필요가 있습니다.
정의역 : 양의 실수 전체의 집합
치역 : 실수 전체의 집합
축과의 교점 :
(
1
,
0
)
{\displaystyle \left(1,0\right)}
점근선 :
y
{\displaystyle y}
x
=
0
{\displaystyle x=0}
a
>
1
{\displaystyle a>1}
f
(
a
+
b
2
)
≥
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\geq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}}
f
″
(
x
)
≤
0
{\displaystyle \ f''(x)\leq 0}
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
f
(
a
+
b
2
)
≤
f
(
a
)
+
f
(
b
)
2
{\displaystyle f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}}
f
″
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \ f''(x)\geq 0}
a
>
1
{\displaystyle a>1}
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
f
(
x
1
)
<
f
(
x
2
)
{\displaystyle \ f(x_{1})<f(x_{2})}
f
′
(
x
)
≥
0
{\displaystyle \ f'(x)\geq 0}
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
f
(
x
1
)
<
f
(
x
2
)
{\displaystyle \ f(x_{1})<f(x_{2})}
f
′
(
x
)
≤
0
{\displaystyle \ f'(x)\leq 0}
밑이 역수관계 :
x
{\displaystyle x}
위의 기본 특징을 제외하고, 밑수의 크기에 따라, 대소관계가 결정되는 몇 가지 경우가 있습니다.
1
<
a
<
b
{\displaystyle 1<a<b}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
log
b
x
<
log
a
x
{\displaystyle \log _{b}x<\log _{a}x}
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
log
b
x
>
log
a
x
{\displaystyle \log _{b}x>\log _{a}x}
0
<
a
<
b
<
1
{\displaystyle 0<a<b<1}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
log
b
x
<
log
a
x
{\displaystyle \log _{b}x<\log _{a}x}
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
log
b
x
>
log
a
x
{\displaystyle \log _{b}x>\log _{a}x}
0
<
a
<
1
<
b
{\displaystyle 0<a<1<b}
x
>
1
{\displaystyle x>1}
log
b
x
>
log
a
x
{\displaystyle \log _{b}x>\log _{a}x}
0
<
x
<
1
{\displaystyle 0<x<1}
log
b
x
<
log
a
x
{\displaystyle \log _{b}x<\log _{a}x}
a
>
1
,
m
>
n
{\displaystyle a>1,m>n}
log
a
m
−
1
m
<
log
a
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {\log _{a}m-1}{m}}<{\frac {\log _{a}n-1}{n}}}
0
<
a
<
1
,
m
>
n
{\displaystyle 0<a<1,m>n}
log
a
m
−
1
m
>
log
a
n
−
1
n
{\displaystyle {\frac {\log _{a}m-1}{m}}>{\frac {\log _{a}n-1}{n}}}
마지막 특징은 점
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
m
,
log
a
m
)
{\displaystyle (m,\log _{a}m)}
(
1
,
0
)
{\displaystyle (1,0)}
(
n
,
log
a
n
)
{\displaystyle (n,\log _{a}n)}
로그함수 그래프를 이용한 대소 관계 지수함수 그리고 로그함수 등은 증가함수 또는 감소함수이므로, 다음과 같은 것으로 대소 관계를 판단할 수 있습니다.
함수의 증감을 이용 (밑이 같을 때)
밑이 다른 두 로그함수 그래프를 이용 (밑이 다를 때)
곡선의 오목성(또는 볼록성)을 이용
직선의 기울기를 이용
넓이 관계를 이용 서로 다른 함수 서로 같은 함수 는 정의역과 공역이 같고, 그의 대응관계가 모두 같은 함수를 말합니다.
또한, 로그의 성질 에서, 로그 자체의 여러가지 항등식을 알아보았습니다.
어떤 로그함수에 대해, 로그의 성질을 적용하면, 같은 함수가 될 수도 있지만, 다른 함수가 될 수도 있습니다.
예를 들어,
y
=
log
a
x
2
{\displaystyle y=\log _{a}x^{2}}
y
=
2
log
a
x
{\displaystyle y=2\log _{a}x}
이런 것들은 로그방정식, 로그부등식, 또는 해의 개수(교점의 개수)를 구할 때, 조심해야 할 부분입니다.
지수함수와 로그함수의 관계 (왼쪽) 밑수
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
일 때, 역함수 관계, (오른쪽)
a
>
1
{\displaystyle a>1}
일 때, 역함수 관계
지수함수
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
x
=
a
y
{\displaystyle x=a^{y}}
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
y
=
x
{\displaystyle y=x}
만약
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
만약
a
>
1
{\displaystyle a>1}
a
{\displaystyle a}
보통 만나지 않는 그림을 소개하기 때문에, 항상 만나지 않는다고 오해해서는 안됩니다. (예를 들어
a
=
2
{\displaystyle a={\sqrt {2}}}
(
2
,
2
)
{\displaystyle (2,2)}
로그함수의 평행이동과 대칭이동 지수함수 는
y
{\displaystyle y}
x
{\displaystyle x}
보통 로그함수의 점근선은 그의 진수로 표현된 식이 0이 되는 경우입니다. 예를 들어,
y
=
log
(
2
x
−
4
)
{\displaystyle y=\log(2x-4)}
2
x
−
4
=
0
⇔
x
=
2
{\displaystyle 2x-4=0\Leftrightarrow x=2}
한편, 대칭이동은, 위에서 언급한 것처럼, 로그의 밑이 곱셈에 대한 역수 관계이면,
x
{\displaystyle x}
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
x
{\displaystyle x}
−
y
=
log
a
x
⇔
y
=
log
1
a
x
{\displaystyle -y=\log _{a}x\Leftrightarrow y=\log _{\frac {1}{a}}x}
반면에,
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
y
{\displaystyle y}
y
=
log
a
(
−
x
)
{\displaystyle y=\log _{a}(-x)}
로그함수의 최대·최소 지수함수와 마찬가지로 로그함수는 증가함수 또는 감소함수입니다. 따라서, 정의역의 제한없이는 최댓값과 최솟값을 가지지 않습니다.
그렇지만, 정의역을
0
<
α
≤
x
≤
β
{\displaystyle 0<\alpha \leq x\leq \beta }
x
=
α
,
β
{\displaystyle x=\alpha ,\;\beta }
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
만약,
a
>
1
{\displaystyle a>1}
log
a
β
{\displaystyle \log _{a}\beta }
log
a
α
{\displaystyle \log _{a}\alpha }
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
log
a
α
{\displaystyle \log _{a}\alpha }
log
a
β
{\displaystyle \log _{a}\beta }
한편
y
=
log
a
f
(
x
)
{\displaystyle y=\log _{a}f(x)}
만약
a
>
1
{\displaystyle a>1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
y
{\displaystyle y}
만약
0
<
a
<
1
{\displaystyle 0<a<1}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
⇔
{\displaystyle \Leftrightarrow }
y
{\displaystyle y}
공통부분을 가지는 다항식
log
a
x
=
t
{\displaystyle \log _{a}x=t}
(
log
a
x
)
2
=
t
2
,
log
a
x
2
=
2
t
{\displaystyle (\log _{a}x)^{2}=t^{2},\ \log _{a}x^{2}=2t}
로그함수와 산술/기하 평균사이의 관계 합이 일정하면 곱의 최댓값이 존재하고, 곱이 일정하면 합의 최솟값이 존재합니다.
로그함수에서
a
>
1
,
b
>
1
{\displaystyle a>1,b>1}
log
a
b
,
log
b
a
{\displaystyle \log _{a}b,\log _{b}a}
지수가 복잡한 경우의 최대/최소 로그함수로의 접선 로그함수,
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
먼저, 로그함수 위의 임의의 점
(
p
,
log
a
p
)
{\displaystyle \left(p,\log _{a}p\right)}
log
a
p
p
=
1
p
ln
a
{\displaystyle {\frac {\log _{a}p}{p}}={\frac {1}{p\ln a}}}
따라서,
p
=
e
{\displaystyle p=e}
y
=
(
1
e
ln
a
)
x
{\displaystyle y=\left({\frac {1}{e\ln a}}\right)x}
이런 특징을 이용한 문제는 아래의 #응용예제9 에서 볼 수 있습니다. 주어진 구간이
1
<
p
<
q
<
e
{\displaystyle 1<p<q<e}
x
=
e
{\displaystyle x=e}
응용예제 응용예제1 두 함수
f
(
x
)
=
(
1
2
)
x
,
g
(
x
)
=
log
1
2
x
{\displaystyle f(x)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x},\;g(x)=\log _{\frac {1}{2}}x}
(가)
a
>
1
{\displaystyle a>1}
f
(
a
)
<
g
(
a
)
{\displaystyle f(a)<g(a)}
(나) 두 함수
f
(
x
)
,
g
(
x
)
{\displaystyle f(x),g(x)}
(
α
,
β
)
{\displaystyle (\alpha ,\beta )}
α
=
β
{\displaystyle \alpha =\beta }
(다) 양수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
b
<
f
(
a
)
{\displaystyle b<f(a)}
2
a
<
g
(
b
2
)
{\displaystyle 2a<g\left(b^{2}\right)}
해설: mowoum:로그함수#응용예제1
응용예제2 두 직선
f
(
x
)
=
log
2
(
x
2
−
3
2
2
)
{\displaystyle f(x)=\log _{2}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}-{\frac {3{\sqrt {2}}}{2}}\right)}
g
(
x
)
=
1
2
log
2
(
x
+
a
)
{\displaystyle g(x)={\frac {1}{2}}\log _{2}(x+a)}
a
{\displaystyle a}
p
<
a
<
q
{\displaystyle p<a<q}
60
p
q
{\displaystyle 60pq}
해설: mowoum:로그함수#응용예제2
응용예제3 함수
f
(
x
)
=
−
log
3
(
k
−
3
x
)
+
2
{\displaystyle f(x)=-\log _{3}(k-3x)+2}
k
{\displaystyle k}
해설: mowoum:로그함수#응용예제3
응용예제4 함수
y
=
|
log
2
x
2
|
{\displaystyle y=\left|\log _{2}x^{2}\right|}
ㄱ.
y
{\displaystyle y}
ㄴ.
y
=
|
2
log
2
x
|
{\displaystyle y=\left|2\log _{2}x\right|}
ㄷ. 양수
k
{\displaystyle k}
|
log
2
x
2
|
=
k
{\displaystyle \left|\log _{2}x^{2}\right|=k}
해설: mowoum:로그함수#응용예제4
응용예제5 좌표평면에서 자연수
n
{\displaystyle n}
A
=
{
(
x
,
y
)
|
3
x
−
n
≤
y
≤
log
2
(
x
+
n
)
+
n
,
x
,
y
∈
Z
}
{\displaystyle A=\left\{(x,y)|3^{x}-n\leq y\leq \log _{2}(x+n)+n,\;\;x,y\in \mathbb {Z} \right\}}
의 원소의 개수를
a
n
{\displaystyle a_{n}}
a
3
{\displaystyle a_{3}}
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
해설: mowoum:로그함수#응용예제5
응용예제6 곡선
y
=
log
3
x
{\displaystyle y=\log _{3}x}
y
=
f
(
x
)
{\displaystyle y=f(x)}
5
{\displaystyle {\sqrt {5}}}
f
(
1
8
)
{\displaystyle f\left({\frac {1}{8}}\right)}
해설: mowoum:로그함수#응용예제6
응용예제7 좌표평면에서 직선
x
=
a
(
0
<
a
<
1
)
{\displaystyle x=a\;(0<a<1)}
y
=
log
1
9
x
{\displaystyle y=\log _{\frac {1}{9}}x}
y
=
log
3
x
{\displaystyle y=\log _{3}x}
P
,
Q
{\displaystyle \mathrm {P,Q} }
x
=
b
(
b
>
1
)
{\displaystyle x=b\;(b>1)}
y
=
log
1
9
x
{\displaystyle y=\log _{\frac {1}{9}}x}
y
=
log
3
x
{\displaystyle y=\log _{3}x}
R
,
S
{\displaystyle \mathrm {R,S} }
P
,
Q
,
R
,
S
{\displaystyle \mathrm {P,Q,R,S} }
(ㄱ)
P
Q
¯
:
R
S
¯
=
2
:
1
{\displaystyle {\overline {\mathrm {PQ} }}:{\overline {\mathrm {RS} }}=2:1}
(ㄴ) 선분
P
R
{\displaystyle \mathrm {PR} }
9
8
{\displaystyle {\frac {9}{8}}}
두 상수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
40
(
b
−
a
)
{\displaystyle 40(b-a)}
해설: mowoum:로그함수#응용예제7
응용예제8 좌표평면에서 두 곡선
y
=
|
log
2
x
|
{\displaystyle y=\left|\log _{2}x\right|}
y
=
(
1
2
)
x
{\displaystyle y=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}}
P
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle \mathrm {P} (x_{1},y_{1})}
Q
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle \mathrm {Q} (x_{2},y_{2})}
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
y
=
|
log
2
x
|
{\displaystyle y=\left|\log _{2}x\right|}
y
=
2
x
{\displaystyle y=2^{x}}
R
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle \mathrm {R} (x_{3},y_{3})}
(ㄱ)
x
3
<
1
2
<
x
1
<
1
{\displaystyle x_{3}<{\frac {1}{2}}<x_{1}<1}
(ㄴ)
x
2
(
x
1
−
1
)
>
y
1
(
y
2
−
1
)
{\displaystyle x_{2}\left(x_{1}-1\right)>y_{1}\left(y_{2}-1\right)}
(ㄷ)
R
Q
¯
>
2
{\displaystyle {\overline {\mathrm {RQ} }}>{\sqrt {2}}}
(ㄹ)
2
x
1
+
1
>
3
x
3
{\displaystyle 2^{x_{1}}+1>3^{x_{3}}}
해설: mowoum:로그함수#응용예제8
응용예제9 그림과 같이 함수
y
=
log
3
x
{\displaystyle y=\log _{3}x}
P
(
p
,
log
3
p
)
{\displaystyle \mathrm {P} \left(p,\log _{3}p\right)}
Q
(
q
,
log
3
q
)
{\displaystyle \mathrm {Q} \left(q,\log _{3}q\right)}
A
=
p
1
p
{\displaystyle A=p^{\frac {1}{p}}}
B
=
q
1
q
{\displaystyle B=q^{\frac {1}{q}}}
C
=
(
q
p
)
1
q
−
p
{\displaystyle C=\left({\frac {q}{p}}\right)^{\frac {1}{q-p}}}
1
<
p
<
q
<
e
{\displaystyle 1<p<q<e}
e
≈
2.71
{\displaystyle e\approx 2.71}
해설: mowoum:로그함수#응용예제9
응용예제10 실수 a
f
(
x
)
=
log
(
a
2
+
a
+
1
)
x
{\displaystyle f(x)=\log _{\left(a^{2}+a+1\right)}x}
g
(
x
)
=
log
(
a
2
−
a
+
1
)
x
{\displaystyle g(x)=\log _{\left(a^{2}-a+1\right)}x}
함수
h
(
x
)
=
f
(
x
)
−
g
(
x
)
{\displaystyle h(x)=f(x)-g(x)}
(1) 로그함수
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
a
2
1
f
(
2
)
−
1
g
(
2
)
{\displaystyle 2^{{\frac {1}{f(2)}}-{\frac {1}{g(2)}}}}
(2) a
h
(
x
)
>
0
{\displaystyle h(x)>0}
해설: mowoum:로그함수#응용예제10
응용예제11 세 함수
f
(
x
)
=
|
log
2
x
|
{\displaystyle f(x)=\left|\log _{2}x\right|}
g
(
x
)
=
(
1
2
)
x
{\displaystyle g(x)=\left({\frac {1}{2}}\right)^{x}}
h
(
x
)
=
2
x
{\displaystyle h(x)=2^{x}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle (x_{1},y_{1})}
(
x
2
,
y
2
)
{\displaystyle (x_{2},y_{2})}
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
h
(
x
)
{\displaystyle h(x)}
(
x
3
,
y
3
)
{\displaystyle (x_{3},y_{3})}
x
1
<
x
2
{\displaystyle x_{1}<x_{2}}
(ㄱ)
(
x
1
−
1
)
(
y
2
−
1
)
>
0
{\displaystyle (x_{1}-1)(y_{2}-1)>0}
(ㄴ)
x
1
x
2
−
y
1
y
2
<
x
2
−
y
1
{\displaystyle x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}<x_{2}-y_{1}}
(ㄷ)
x
2
y
2
−
x
3
y
3
>
0
{\displaystyle x_{2}y_{2}-x_{3}y_{3}>0}
해설: mowoum:로그함수#응용예제11
응용예제12 그림과 같이
a
>
1
{\displaystyle a>1}
a
{\displaystyle a}
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
y
=
log
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x}
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
A
,
B
,
C
,
D
{\displaystyle \mathrm {A,B,C,D} }
∠
A
C
B
=
π
12
{\displaystyle \angle \mathrm {ACB} ={\frac {\pi }{12}}}
O
A
D
C
{\displaystyle \mathrm {OADC} }
S
{\displaystyle S}
a
{\displaystyle a}
S
{\displaystyle S}
해설: mowoum:로그함수#응용예제12
응용예제13
1
4
<
a
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{4}}<a<1}
a
{\displaystyle a}
y
=
1
{\displaystyle y=1}
y
=
log
a
x
,
y
=
log
4
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x,\;y=\log _{4a}x}
A
,
B
{\displaystyle \mathrm {A,B} }
y
=
−
1
{\displaystyle y=-1}
y
=
log
a
x
,
y
=
log
4
a
x
{\displaystyle y=\log _{a}x,\;y=\log _{4a}x}
C
,
D
{\displaystyle \mathrm {C,D} }
(ㄱ) 선분
A
B
{\displaystyle \mathrm {AB} }
1
:
4
{\displaystyle 1:4}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
(ㄴ) 사각형
A
B
C
D
{\displaystyle \mathrm {ABCD} }
a
=
1
2
{\displaystyle a={\frac {1}{2}}}
(ㄷ)
A
B
¯
<
C
D
¯
{\displaystyle {\overline {\mathrm {AB} }}<{\overline {\mathrm {CD} }}}
1
2
<
a
<
1
{\displaystyle {\frac {1}{2}}<a<1}
해설: mowoum:로그함수#응용예제13
