명제

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명제(statement)는 논리학적으로 뜻이 분명한 문장을 말합니다. 즉, 어떤 문장의 '참' 또는 '거짓'을 분명히 판단할 수 있을 때에 명제라고 합니다. 예를 들어,

• 닭은 동물이다.$\quad \cdots (1)$
• 6 × 2 = 15이다.$\quad \cdots (2)$
• 재즈 음악은 아름답다.$\quad \cdots (3)$
• $x+3=7$이다.$\quad \cdots (4)$

문장 (1)은 참, (2)는 거짓인 명제입니다. 그러나, 문장 (3), (4)는 참, 거짓을 판단할 수 없으므로 명제가 아닙니다.

명제의 부정

참인 명제 '닭은 동물이다.'의 부정은 '닭은 동물이 아니다.'입니다.

일반적으로 명제 $p$에 대하여 '$p$가 아니다.'를 명제 $p$의 부정이라 하고, 이것을 기호로 $\sim \!p$로 나타냅니다.

이때, 명제 $p$가 참이면 $\sim \!p$는 거짓이고, $p$가 거짓이면 $\sim \!p$는 참입니다.

그리고 $\sim \!p$의 부정은 $p$입니다. 즉, $\sim \!(\sim \!p)=p$입니다.

조건

참, 거짓을 판단할 수 있는 명제와는 달리,

$x+3=7$이다.

와 같은 문장은 $x=4$이면 참이고, $x=5$이면 거짓입니다. 이와 같이 변수 $x$를 포함하는 문장이 $x$의 값에 따라 참, 거짓이 판별될 때, 이 문장을 조건이라고 합니다. 일반적으로 $p(x),q(x),\cdots$ 등으로 나타냅니다.

전체 집합 $U$에서 조건 $p(x)$에 대하여 집합 $U$의 원소 중에서 조건 $p(x)$를 참이 되게 하는 원소의 집합을 조건 $p(x)$의 진리집합이라고 합니다.

또한, 조건 $p(x)$의 진리집합을 $P$라 할 때, 조건의 부정 $\sim \!p(x)$의 진리집합은 $P^{c}$입니다.

두 조건 $p,q$의 진리집합을 각각 $P,Q$라고 하면, 다음과 같은 특징이 있습니다.

조건 '$p$ 또는 $q$'의 진리집합 $\Rightarrow P\cup Q$

조건 '$p$ 이고 $q$'의 진리집합 $\Rightarrow P\cap Q$

또한, 드모르간의 법칙에 의해서 '또는' 과 '이고'로 연결되는 조건의 부정은 다음과 같습니다.

조건 '$p$ 또는 $q$'의 부정 $\Rightarrow$ '$\sim \!p$ 이고 $\sim \!q$'

조건 '$p$ 이고 $q$'의 부정 $\Rightarrow$ '$\sim \!p$ 또는 $\sim \!q$'

조건 명제

조건 자체는 참, 거짓을 판별할 수 없으므로 명제가 아닙니다. 그러나 두 조건 $p,q$에 대하여 '$p$이면 $q$이다.'의 꼴로 명제(조건 명제)를 만들 수 있습니다.

예를 들어

$p$: $x$는 4의 양의 약수이다.

$q$: $x$는 8의 양의 약수이다.

라 할 때, $p,q$는 각각 조건이지만,

'$x$는 4의 양의 약수이면 $x$는 8의 양의 약수이다.'

는 참이라고 판별할 수 있기 때문에 명제입니다. 이것을 기호로 다음과 같이 나타냅니다.

$p\longrightarrow q$

여기서 $p$를 가정, $q$를 결론이라고 합니다.

두 조건 $p,q$에 대하여

명제 $p\longrightarrow q$가 참일 때, 기호 $p\Rightarrow q$로 나타냅니다.

명제 $p\longrightarrow q$가 거짓일 때, 기호 $p\not \Rightarrow q$로 나타냅니다.

두 조건을 연결해서 명제를 만들었을 때, 언제 참이 될까요?

일반적으로 명제 $p\longrightarrow q$는 조건 $p$가 성립할 때 조건 $q$가 성립하면 참입니다. 즉, 조건 $p$의 진리집합 $P$의 모든 원소가 조건 $q$의 진립집합 $Q$에 속할 때 참입니다($P\subset Q$). 예를 들어 다음 명제는 참입니다.

'$x$는 4의 양의 약수이면 $x$는 8의 양의 약수이다.'

$\{1,2,4\}\subset \{1,2,4,8\}$

모든/어떤

조건은 미지수 $x$를 포함하고 있어, '참', '거짓'을 판별할 수 없으므로 명제가 아닙니다. 그러나, 조건 $p(x)$ 앞에 '모든' 또는 '어떤'이라는 단서가 있으면 참, 거짓을 판별할 수 있으므로 명제가 됩니다.

모든 $x$에 대하여 $p(x)$는 전체집합에 있는 모든 원소가 조건 $p(x)$를 만족시키면 참입니다. 반면에 어떤 $x$에 대하여 $p(x)$는 전체집합에 있는 1개의 원소라도 조건 $p(x)$를 만족하면 참입니다.

한편, '모든' 또는 '어떤'이 들어있는 명제의 부정은 다음과 같습니다.

'모든 $x$에 대하여 $p(x)$'의 부정 $\Rightarrow$ '어떤 $x$에 대하여 $\sim \!p(x)$'

'어떤 $x$에 대하여 $p(x)$'의 부정 $\Rightarrow$ '모든 $x$에 대하여 $\sim \!p(x)$'