복수수의 사칙연산은 다항식의 사칙 연산을 하는 방법과 동일합니다. 즉,
i
{\displaystyle i}
x
{\displaystyle x}
i
{\displaystyle i}
거듭제곱 이 생기면 간단히해서 정리를 합니다.
켤레복소수 이전 과정에서 분모 유리화 를 배웠습니다. 분모 유리화는 분모에 무리수가 있을 때, 적절한 방법을 통해서 유리수로 만드는 과정을 말합니다.
분모 유리화는 숫자의 크기를 판단하기 쉽게 하기 위함입니다. 나눗셈은 몫 그 자체, 예를 들어, 5 / 3 2 / 3
예를 들어
7
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {7}}{\sqrt {3}}}}
7
21
{\displaystyle {\frac {7}{\sqrt {21}}}}
21
3
{\displaystyle {\frac {\sqrt {21}}{3}}}
유리수에서는 다항식의 곱셈공식 중에 합-차 공식을 이용해서 아래처럼 분모 유리화를 합니다.
유리수
a
,
b
,
c
(
≥
0
)
{\displaystyle a,b,c(\geq 0)}
(
a
+
b
c
)
(
a
−
b
c
)
=
a
2
−
(
b
c
)
2
{\displaystyle \left(a+b{\sqrt {c}}\right)\left(a-b{\sqrt {c}}\right)=a^{2}-\left(b{\sqrt {c}}\right)^{2}}
마찬가지로 이유로 분모에는 복소수를 두지 않고 반드시 실수로 바꾸어 주어야 합니다. 그래야, 복소수에서 다루는 실수 부분과 허수 부분의 분리를 쉽게 할 수 있기 때문입니다.
또한, 복소수에서도 분모 실수화를 다항식의 곱셈공식 중에 합-차 공식을 이용해서 수행합니다.
실수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
=
a
2
−
(
b
i
)
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle \left(a+bi\right)\left(a-bi\right)=a^{2}-\left(bi\right)^{2}=a^{2}+b^{2}}
여기서, 복소수
z
=
(
a
+
b
i
)
{\displaystyle z=\left(a+bi\right)}
그 허수부의 부호가 반대로 바뀐 복소수
z
¯
=
(
a
−
b
i
)
{\displaystyle {\overline {z}}=\left(a-bi\right)}
(
a
+
b
i
)
{\displaystyle \left(a+bi\right)}
켤레복소수 또는 공액복소수 라고 부릅니다.
켤레복소수의 연산 켤레복소수 끼리의 곱셈의 결과가 실수 라는 사실은 켤레복소수 에서 알아보았습니다. 나머지 연산에 대해서도 알아보겠습니다.
복수수
z
=
(
a
+
b
i
)
{\displaystyle z=\left(a+bi\right)}
a, b 는 실수)에 대해서 다음 연산이 성립합니다.
덧셈
z
+
z
¯
=
2
a
{\displaystyle z+{\overline {z}}=2a}
뺄셈
z
−
z
¯
=
2
b
i
{\displaystyle z-{\overline {z}}=2bi}
곱셈
z
⋅
z
¯
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle z\cdot {\overline {z}}=a^{2}+b^{2}}
나눗셈
z
z
¯
=
a
2
−
b
2
a
2
+
b
2
+
2
a
b
a
2
+
b
2
i
{\displaystyle \displaystyle {\frac {z}{\overline {z}}}={\frac {a^{2}-b^{2}}{a^{2}+b^{2}}}+{\frac {2ab}{a^{2}+b^{2}}}i}
a
2
+
b
2
≠
0
{\displaystyle a^{2}+b^{2}\neq 0}
결과를 보면 덧셈, 곱셈은 결과가 실수가 나옵니다. 반면에 뺄셈은 결과가 순허수 라고 오해해서는 안됩니다. 조건에는
b
{\displaystyle b}
b
=
0
{\displaystyle b=0}
b
≠
0
{\displaystyle b\neq 0}
b
>
0
{\displaystyle b>0}
게다가, 순허수의 정의는 선택적입니다. 즉, 0을 순허수에 넣을지 말지는 저자에 따라 다르기 때문에, 문제를 출제할 때, 명시적으로 문구를 주어야 합니다.
켤레복소수의 성질 두 복소수
z
1
,
z
2
{\displaystyle z_{1},z_{2}}
z
1
+
z
2
¯
=
z
1
¯
+
z
2
¯
{\displaystyle {\overline {z_{1}+z_{2}}}={\overline {z_{1}}}+{\overline {z_{2}}}}
z
1
−
z
2
¯
=
z
1
¯
−
z
2
¯
{\displaystyle {\overline {z_{1}-z_{2}}}={\overline {z_{1}}}-{\overline {z_{2}}}}
z
1
⋅
z
2
¯
=
z
1
¯
⋅
z
2
¯
{\displaystyle {\overline {z_{1}\cdot z_{2}}}={\overline {z_{1}}}\cdot {\overline {z_{2}}}}
(
z
1
z
2
¯
)
=
z
1
¯
z
2
¯
{\displaystyle \displaystyle \left({\overline {\frac {z_{1}}{z_{2}}}}\right)={\frac {\overline {z_{1}}}{\overline {z_{2}}}}}
z
2
≠
0
{\displaystyle z_{2}\neq 0}
(
z
1
¯
)
¯
=
z
1
{\displaystyle {\overline {\left({\overline {z_{1}}}\right)}}=z_{1}}
z
=
z
¯
{\displaystyle z={\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
이 성질은 실수
a
,
b
,
c
,
d
{\displaystyle a,b,c,d}
z
1
=
a
+
b
i
{\displaystyle z_{1}=a+bi}
z
2
=
c
+
d
i
{\displaystyle z_{2}=c+di}
어떤 연산에서도 켤레복소수를 함께 있는 것은 각각 나누어서, 또는 반대로 나뉘어 있는 것은 모아서 계산할 수 있다는 것을 알 수 있습니다.
복소수의 사칙연산 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈(단, 분모 ≠ 0을 다음과 같이 정의할 수 있습니다.
덧셈:
(
a
+
b
i
)
+
(
c
+
d
i
)
=
(
a
+
c
)
+
(
b
+
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
뺄셈:
(
a
+
b
i
)
−
(
c
+
d
i
)
=
(
a
−
c
)
+
(
b
−
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
곱셈:
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle \,(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi^{2}=(ac-bd)+(bc+ad)i}
나눗셈:
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
(
a
c
+
b
d
c
2
+
d
2
)
+
(
b
c
−
a
d
c
2
+
d
2
)
i
{\displaystyle \,\displaystyle {\frac {(a+bi)}{(c+di)}}=\left({ac+bd \over c^{2}+d^{2}}\right)+\left({bc-ad \over c^{2}+d^{2}}\right)i\,}
복소수 연산에 대한 기본 성질 일반적으로 실수에서와 같이 복소수에서도 덧셈, 곱셈에 대하여 아래와 같은 성질이 성립합니다.
임의의 세 복소수
z
1
,
z
2
,
z
3
{\displaystyle z_{1},z_{2},z_{3}}
교환법칙 :
z
1
+
z
2
=
z
2
+
z
1
{\displaystyle z_{1}+z_{2}=z_{2}+z_{1}}
z
1
z
2
=
z
2
z
1
{\displaystyle z_{1}z_{2}=z_{2}z_{1}}
결합법칙 :
(
z
1
+
z
2
)
+
z
3
=
z
1
+
(
z
2
+
z
3
)
{\displaystyle \left(z_{1}+z_{2}\right)+z_{3}=z_{1}+\left(z_{2}+z_{3}\right)}
(
z
1
z
2
)
z
3
=
z
1
(
z
2
z
3
)
{\displaystyle \left(z_{1}z_{2}\right)z_{3}=z_{1}\left(z_{2}z_{3}\right)}
분배법칙 :
z
1
(
z
2
+
z
3
)
=
z
1
z
2
+
z
1
z
3
{\displaystyle z_{1}\left(z_{2}+z_{3}\right)=z_{1}z_{2}+z_{1}z_{3}}
(
z
1
+
z
2
)
z
3
=
z
1
z
3
+
z
2
z
3
{\displaystyle \left(z_{1}+z_{2}\right)z_{3}=z_{1}z_{3}+z_{2}z_{3}}
제곱근의 성질 이전 과정에서는 제곱근의 성질은 다음과 같습니다.
a
>
0
,
b
>
0
{\displaystyle a>0,b>0}
a
×
b
=
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {ab}}}
a
b
=
a
b
{\displaystyle \displaystyle {{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b}}}={\sqrt {a \over b}}}
이전 과정에서는 허수가 정의되지 않았기 때문에 양수 범위에서 계산을 했습니다.
음의 제곱근의 성질 허수단위를 배운 후에는 제곱근 안쪽이 음수가 되면, 허수가 됨을 알고 있습니다. 이전 과정에서 배운 제곱근의 곱셈과 나눗셈이 부호가 달라지는 경우가 아래와 같이 2가지 경우가 생깁니다.
a
≤
0
,
b
≤
0
{\displaystyle a\leq 0,b\leq 0}
a
×
b
=
−
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}=-{\sqrt {ab}}}
a
≥
0
,
b
<
0
{\displaystyle a\geq 0,b<0}
a
b
=
−
a
b
{\displaystyle {{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b}}}=-{\sqrt {a \over b}}}
증명)
a
<
0
,
b
<
0
{\displaystyle a<0,b<0}
a
×
b
=
−
a
i
×
−
b
i
=
a
b
i
2
=
−
a
b
{\displaystyle {\sqrt {a}}\times {\sqrt {b}}={\sqrt {-a}}i\times {\sqrt {-b}}i={\sqrt {ab}}i^{2}=-{\sqrt {ab}}}
a
>
0
,
b
<
0
{\displaystyle a>0,b<0}
a
b
=
a
−
b
i
=
a
i
−
b
i
2
=
−
a
−
b
i
=
−
a
b
{\displaystyle {{\sqrt {a}} \over {\sqrt {b}}}={{\sqrt {a}} \over {\sqrt {-b}}i}={{\sqrt {a}}i \over {\sqrt {-b}}i^{2}}=-{\sqrt {a \over {-b}}}i=-{\sqrt {a \over b}}}
음의 제곱근과 관련된 문제들은 문자로 주어지는 경우가 많습니다. 만약 제곱근 안쪽이 음수라면, 허수단위를 사용해서, 제곱근 안쪽의 부호를 반대로 만들고 그 값과
i
{\displaystyle i}
예를 들어
a
>
0
{\displaystyle a>0}
−
a
=
a
i
{\displaystyle {\sqrt {-a}}={\sqrt {a}}i}
다른 예로,
k
<
0
{\displaystyle k<0}
k
=
−
k
i
{\displaystyle {\sqrt {k}}={\sqrt {-k}}i}
이렇게 바꾸고 나면 제곱근 안쪽이 양수가 되기 때문에 제곱근 끼리의 곱셈이나 나눗셈에서 제곱근을 합하거나 나누어서 쓸 수 있게 되는 장점이 생깁니다.
즉,
a
>
0
,
k
<
0
{\displaystyle a>0,k<0}
−
a
k
=
a
i
−
k
i
=
−
a
k
i
2
=
−
−
a
k
{\displaystyle {\sqrt {-a}}{\sqrt {k}}={\sqrt {a}}i{\sqrt {-k}}i={\sqrt {-ak}}i^{2}=-{\sqrt {-ak}}}
책마다 경계조건을 명확히 하지 않아 풀이시에 함정에 걸리는 경우가 많습니다. 비록 제목이 음의 제곱근이지만, 제곱근
0
{\displaystyle 0}
0
{\displaystyle 0}
응용예제 응용예제1 복소수
z
=
−
1
+
2
i
3
{\displaystyle z={\frac {-1+{\sqrt {2}}i}{3}}}
1
3
z
3
+
5
z
2
+
z
+
1
=
a
z
+
b
{\displaystyle {\frac {1}{3z^{3}+5z^{2}+z+1}}=az+b}
를 만족시키는 두 실수
a
,
b
{\displaystyle a,b}
2
a
b
{\displaystyle 2ab}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제1
응용예제2 영이 아닌 세 복소수
a
,
b
,
c
{\displaystyle a,b,c}
(가)
a
+
b
+
c
=
0
{\displaystyle a+b+c=0}
(나)
1
a
+
1
b
+
1
c
=
0
{\displaystyle {\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}=0}
이때,
b
a
+
c
b
+
a
c
{\displaystyle {\frac {b}{a}}+{\frac {c}{b}}+{\frac {a}{c}}}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제2
응용예제3
1
{\displaystyle 1}
z
1
,
z
2
,
z
3
{\displaystyle z_{1},\;z_{2},\;z_{3}}
z
1
1
−
z
2
=
z
2
1
−
z
3
=
z
3
1
−
z
1
=
k
{\displaystyle {\frac {z_{1}}{1-z_{2}}}={\frac {z_{2}}{1-z_{3}}}={\frac {z_{3}}{1-z_{1}}}=k}
k
{\displaystyle k}
라 할 때,
(
k
+
k
2
+
k
3
+
⋯
+
k
2017
+
k
2018
)
2
{\displaystyle (k+k^{2}+k^{3}+\cdots +k^{2017}+k^{2018})^{2}}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제3
응용예제4 방정식
x
2
+
x
+
1
=
0
{\displaystyle x^{2}+x+1=0}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
4
n
+
(
ω
+
1
)
4
n
+
1
=
0
{\displaystyle \omega ^{4n}+(\omega +1)^{4n}+1=0}
n
{\displaystyle n}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제4
응용예제5 복소수
ω
=
−
1
+
3
i
2
{\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}}
f
(
n
)
=
ω
2
n
ω
n
+
1
{\displaystyle f(n)={\frac {\omega ^{2n}}{\omega ^{n}+1}}}
f
(
1
)
+
f
(
2
)
+
⋯
+
f
(
10
)
{\displaystyle f(1)+f(2)+\cdots +f(10)}
n
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제5
응용문제6 다음 조건을 모두 만족하는 복소수
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
a , b
a
b
{\displaystyle ab}
i
=
−
1
{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
(가)
z
−
z
¯
i
{\displaystyle {\frac {z-{\overline {z}}}{i}}}
(나)
(
z
+
1
)
2
{\displaystyle (z+1)^{2}}
(다)
z
+
2
z
{\displaystyle z+{\frac {2}{z}}}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제6
응용예제7 다음 두 조건을 모두 만족시키는 복소수
z
{\displaystyle z}
z
20
+
(
z
¯
)
20
{\displaystyle z^{20}+\left({\overline {z}}\right)^{20}}
s
{\displaystyle s}
−
50
s
{\displaystyle -50s}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
(가)
z
20
≠
1
{\displaystyle z^{20}\neq 1}
(나)
z
100
=
1
{\displaystyle z^{100}=1}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제7
응용예제8 두 복소수
α
=
3
−
1
2
(
1
−
i
)
{\displaystyle \alpha ={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2(1-i)}}}
β
=
3
+
1
2
(
1
+
i
)
{\displaystyle \beta ={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2(1+i)}}}
1
+
(
α
−
β
)
+
(
α
−
β
)
2
+
(
α
−
β
)
3
+
⋯
+
(
α
−
β
)
100
{\displaystyle 1+(\alpha -\beta )+(\alpha -\beta )^{2}+(\alpha -\beta )^{3}+\cdots +(\alpha -\beta )^{100}}
의 값은?
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제8
응용예제9 두 복소수
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\;\beta }
α
α
¯
=
β
β
¯
=
2
{\displaystyle \alpha {\overline {\alpha }}=\beta {\overline {\beta }}=2}
(
α
+
β
)
(
α
+
β
¯
)
=
1
{\displaystyle (\alpha +\beta )({\overline {\alpha +\beta }})=1}
아래 두 값을 구하시오.
(ㄱ)
α
β
+
β
α
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}+{\frac {\beta }{\alpha }}\;\;\;}
α
β
{\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제9
응용예제10 복소수
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
a , b
z
2
−
z
{\displaystyle z^{2}-z}
z
¯
{\displaystyle {\overline {z}}}
z
{\displaystyle z}
(ㄱ)
z
2
−
z
¯
{\displaystyle {\overline {z^{2}-z}}}
(ㄴ)
z
+
z
¯
=
1
{\displaystyle z+{\overline {z}}=1}
(ㄷ)
z
z
¯
>
1
4
{\displaystyle z{\overline {z}}>{\frac {1}{4}}}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제10
응용예제11 1이 아닌 복소수
z
{\displaystyle z}
z
2021
−
1
=
0
{\displaystyle z^{2021}-1=0}
ω
{\displaystyle \omega }
ω
=
z
+
z
3
+
z
5
+
⋯
+
z
2019
{\displaystyle \omega =z+z^{3}+z^{5}+\cdots +z^{2019}}
다음 식의 값을 구하시오.
z
ω
¯
+
z
2
ω
¯
+
⋯
+
z
2019
ω
¯
{\displaystyle z{\overline {\omega }}+z^{2}{\overline {\omega }}+\cdots +z^{2019}{\overline {\omega }}}
해설: mowoum:복소수의 연산#응용예제11
