삼각함수의 극한

삼각함수, 예를 들어, $y=\sin x$ 는 유한한 $x$ 에 대해 함숫값이 자체가 극한값이고, $x\to \infty$ 에 대해 그의 값은 하나의 값에 수렴하지 않기 때문에 발산합니다.

반면에 $y=\tan x$ 는 분수함수이므로, 분모가 0으로 접근할 때, 양, 또는 음의 무한대로 발산하는 경우가 있습니다.

어쨌든, 기본 삼각함수는 그의 극한에 대해 추가적으로 고려해야 할 사항은 없습니다.

여기서 다루는 삼각함수의 극한은, 사인 함수의 도함수 등에서 필요한 극한 중에 가장 기본적인 모양에 대한 것입니다.

한편, 도함수는 0/0 꼴을 다루기 때문에, 삼각함수의 극한도 같은 꼴을 다룹니다.

게다가 0/0 꼴은, 도함수를 배운 후로는, 로피탈의 규칙을 사용해서 구할 수 있습니다. 단지, 고등학교 시험을 준비하는 학생은 서술형에서 로피탈의 규칙을 사용할 수 없으므로, 기본 모양을 맞추는 과정이 필요합니다.

$\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}$ 의 극한

그림과 같이 단위원 ${\rm {O}}$ 에서 $\angle {\rm {AOB}}$ 의 크기를 $x\left(0<x<{\frac {\pi }{2}}\right)$ 라 놓고, 원 ${\rm {O}}$ 위의 점 ${\rm {A}}$ 에서의 접선과 선분 ${\rm {OB}}$ 의 연장선의 교점을 ${\rm {T}}$ 라고 하면

(

\triangle {\rm {OAB}}

의 넓이)

<

(부채꼴

{\rm {OAB}}

의 넓이)

<

(

\triangle {\rm {OAT}}

의 넓이)

이므로

{\frac {1}{2}}\sin x<{\frac {1}{2}}x<{\frac {1}{2}}\tan x

이고 2를 곱하면,

\sin x<x<\tan x

이때, $\sin x>0$ 이므로, 위 부등식의 각 변을 $\sin x$ 로 나누면

1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}

모든 항이 양수이고, 역수를 취하면, 부등호의 방향은 반대가 됩니다.

\cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1

그런데 $\lim _{x\to 0+}\cos x=1$ 이므로 조임 정리에 의해,

\lim _{x\to 0+}{\frac {\sin x}{x}}=1

한편, $x=-t\left(-{\frac {\pi }{2}}<x<0\right)$ 로 놓으면 $x\to 0-$ 일 때, $t\to 0+$ 이므로

\lim _{x\to 0-}{\frac {\sin x}{x}}=\lim _{t\to 0+}{\frac {\sin(-t)}{-t}}=\lim _{x\to 0+}{\frac {\sin t}{t}}=1

따라서, 아래와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1

게다가,

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\sin x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\frac {\sin x}{x}}}=1

$\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}$ 의 극한

탄젠트에 대한 극한값은 아래와 같습니다.

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {\tan x}{x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {\frac {\sin x}{\cos x}}{x}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}\cdot {\frac {1}{\cos x}}\\&=1\\\end{aligned}}

또한,

\lim _{x\to 0}{\frac {x}{\tan x}}=\lim _{x\to 0}{\frac {1}{\frac {\tan x}{x}}}=1

몇 가지 응용

함수의 인수 또는 계수가 바뀌는 경우에 대해, 예를 들어, 극한

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 3x}{2x}}

은 삼각함수의 인수를 맞춤으로써 쉽게 구할 수 있습니다. 즉,

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin 3x}{3x}}\cdot {\frac {3x}{2x}}={\frac {3}{2}}

마찬가지로, 탄젠트 함수도 위와 같은 방법으로 접근할 수 있습니다.

\lim _{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}

\lim _{x\to 0}{\frac {\tan ax}{bx}}={\frac {a}{b}}

또는 무한소 $x$ 에 대하여 다음과 같이 다항식으로 근사할 수 있습니다.

\sin ax\to ax

\tan ax\to ax

\cos ax\to 1-{\frac {(ax)^{2}}{2}}

그러나, 무한소, 즉 영으로 접근하는 경우가 아닐 때에는 이렇게 근사화할 수 없습니다

접근점이 0이 아닌 경우

비록 접근점이 0이 아니더라도, 극한은 0/0 꼴입니다. 그러므로, 변수의 치환을 통해서, 기본 꼴로 바꾸는 과정이 필요합니다. 예를 들어, 극한

\lim _{x\to \pi }{\frac {\tan x}{\pi -x}}

은 $x-\pi =t$ 로 치환함으로써,

\lim _{t\to 0}{\frac {\tan(\pi +t)}{-t}}=\lim _{t\to 0}{\frac {\tan t}{-t}}=-1

응용예제

응용예제1

좌표평면에서 곡선 $y=\sin x$ 위의 점 ${\rm {P(t,\sin t)\;(0<t<\pi )}}$ 를 중심으로 하고 $x$ 축에 접하는 원을 $C$ 라 하자. 원 $C$ 가 $x$ 축에 접하는 점을 ${\rm {Q}}$ , 선분 ${\rm {OP}}$ 와 만나는 점을 ${\rm {R}}$ 라 하자. $\lim _{t\to 0+}{\frac {\overline {\rm {OQ}}}{\overline {\rm {OR}}}}=a+b{\sqrt {2}}$ 일 때, $a+b$ 의 값을 구하시오. (단, ${\rm {O}}$ 는 원점이고, $a,\;b$ 는 정수이다.) [3점] [2020학년도 수능 가형 24번]

해설: mowoum:삼각함수의_극한#응용예제1

응용예제2

그림과 같이 길이가 2인 선분 ${\rm {AB}}$ 를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 ${\rm {AB}}$ 위의 점 ${\rm {P}}$ 에 대하여 $\angle {\rm {{PAB}=\theta }}$ 라 할 때, 선분 ${\rm {AP}}$ 위의 점 ${\rm {Q}}$ 를 $\angle {\rm {{QBA}=2\theta }}$ 가 되도록 잡는다. 선분 ${\rm {AB}}$ 의 중점을 ${\rm {O}}$ 라 할 때, 선분 ${\rm {QB}}$ 와 선분 ${\rm {OP}}$ 가 만나는 점을 ${\rm {R}}$ 이라 하자. 삼각형 ${\rm {PQR}}$ 의 넓이를 $S(\theta )$ 라 할 때, $\lim _{\theta \to {\frac {\pi }{6}}-0}{\frac {S(\theta )}{\left(\theta -{\frac {\pi }{6}}\right)^{2}}}$ 의 값은? (단, $0<\theta <{\frac {\pi }{6}}$ )