L'Hôpital's rule

수학(mathematics), 보다 구체적으로 미적분학(calculus)에서, 로피탈의 규칙(L'Hôpital's rule 또는 L'Hospital's rule) (French: [lopital], English: /ˌloʊpiːˈtɑːl/, loh-pee-TAHL)은 불확정 형식(indeterminate form)의 극한(limits)을 평가하기 위한 하나의 기법을 제공합니다. 규칙의 적용 (또는 반복된 적용)은 종종 불확정 형식을 치환에 의해 쉽게 평가될 수 있는 표현으로 변환합니다. 규칙은 17세기 프랑스(French) 수학자(mathematician) 기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital)의 이름을 따서 지어졌습니다. 비록 그 규칙이 종종 로피탈에 의해 공헌되었을지라도, 그 정리는 스위스 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 1694년 로피탈에게 처음 소개되었습니다.

로피탈의 규칙은, 아마도 $I$ 에 포함된 점 $c$ 를 제외한 열린 구간(interval) $I$ 위에 미분-가능(differentiable) 함수 $f$ 와 $g$ 에 대해, 만약 $x \neq c$ 를 갖는 $I$ 에서 모든 $x$ 에 대해 $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\pm \infty ,$ $g'(x)\neq 0$ 이고, $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ 가 존재하면, 다음임을 말합니다:

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.

분모와 분자의 미분화는 종종 몫을 간단히 하거나 그것을 직접 평가될 수 있는 극한으로 변환합니다.

History

기욤 드 로피탈(Guillaume de l'Hôpital) (역시 로피탈(l'Hospital)로 쓰임^[a])은 1696년에 그의 책 Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes (문자상 번역: 곡선의 이해에 대한 무한히 작음의 분석), 미분학(differential calculus)에 대한 첫 번째 교재에서 이 규칙을 출판했습니다.^[1]^[b] 어쨌든, 규칙은 스위스 수학자 요한 베르누이(Johann Bernoulli)에 의해 발견된 것으로 믿어집니다.^[3]^[4]

General form

로피탈의 규칙의 일반적인 형식은 많은 경우를 다룹니다. $c$ 와 $L$ 을 확장된 실수(extended real numbers) (즉, 실수, 양의 무한대 또는 음의 무한대)로 놓습니다. $I$ 를 (양-쪽 극한에 대해) $c$ 를 포함하는 열린 구간(open interval) 또는 (한-쪽 극한(one-sided limit), 또는 만약 $c$ 가 무한대이면, 무한대에서 극한(limit at infinity)에 대해) 끝점 $c$ 를 가진 열린 구간으로 놓습니다. 실수-값 함수 $f$ 와 $g$ 는 아마도 $c$ 를 제외한 $I$ 위에 미분-가능(differentiable)이고, 추가적으로 아마도 $c$ 를 제외한 $I$ 위에 $g'(x)\neq 0$ 임을 가정합니다. 역시 $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ 임으로 가정됩니다. 따라서 규칙은 도함수의 비율이 유한 또는 무한 극한을 가지는 상황에 적용되지만, $x$ 가 $c$ 에 가까워질수록 해당 비율이 영구적으로 변동되는 경우에서 적용되지 않습니다.

만약

\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0

또는

\lim _{x\to c}|f(x)|=\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty ,

이면, 다음입니다:

\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L.

비록 우리가 전체에 x → c를 썼을지라도, 극한은, $c$ 가 $I$ 의 유한 끝점일 때, 역시 한-쪽 극한 (x → c⁺ 또는 x → c⁻)일 수 있습니다.

두 번째 경우에서, $f$ 가 무한대로 발산한다(diverges)는 가설은 증명에서 사용되지 않습니다 (증명 섹션의 끝에 있는 주의를 참조하십시오); 따라서 규칙의 조건이 위에서 처럼 통상적으로 말해지면, 규칙의 절차가 유효하기 위한 두 번째 충분 조건은 보다 간단하게 $\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty$ 로 말할 수 있습니다.

$g'(x)\neq 0$ 인 가설은 문헌에서 가장 공통적으로 나타나지만, 일부 저자들은 어떤 딴곳에 다른 가설을 더함으로써 이 가설을 회피합니다. 하나의 방법^[5]은 극한 함수가 아마도 $c$ 를 제외한 관련된 구간 위의 모든 곳에서 정의된다는 추가적인 요구-사항을 가진 함수의 극한을 정의하는 것입니다.^[c] 또 다른 방법^[6]은 $f$ 와 $g$ 둘 다가 $c$ 를 포함한 구간 위의 모든 곳에서 미분-가능인 것을 요구하는 것입니다.

Requirement that the limit exist

다음 극한

\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}

이 존재한다는 요구-사항은 본질적입니다. 이 조건없이, $f'$ 또는 $g'$ 는, $x$ 가 $c$ 에 접근할 때, 약화되지-않는 진동을 나타낼 수 있으며, 그 경우에서 로피탈의 규칙은 적용할 수 없습니다. 예를 들어, 만약 $f(x)=x+\sin(x)$ , $g(x)=x$ 및 $c=\pm \infty$ 이면, 다음입니다:

{\frac {f'(x)}{g'(x)}}={\frac {1+\cos(x)}{1}};

이 표현은, $x$ 가 $c$ 로 갈 때, 극한에 접근하지 않는데, 왜냐하면 코사인 함수는 $1$ 과 $-1$ 사이를 진동하기 때문입니다. 그러나 원래 함수로 작동하면, $\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 는 존재하는 것을 보일 수 있습니다:

\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {\sin(x)}{x}}\right)=1.

이와 같은 경우에서, 결론 지을 수 있는 모든 것은, 만약 f/g의 극한이 존재하면, 그것은 f′/g′의 하부 및 상부 극한 사이에 반드시 놓이도록, 다음인 것입니다:

\liminf _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}\leq \limsup _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}},

(위의 예제에서, 이것은 참인데, 왜냐하면 1은 사실 0과 2 사이에 놓이기 때문입니다.)

Examples

다음은 지수 함수를 포함한 기본 예제이며, 그것은 $x = 0$ 에서 불확정 형식 0/0을 포함합니다:

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}-1}{x^{2}+x}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {{\frac {d}{dx}}(e^{x}-1)}{{\frac {d}{dx}}(x^{2}+x)}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {e^{x}}{2x+1}}\\&=1.\end{aligned}}

이것은 0/0을 포함하는 좀 더 정교한 예제입니다. 로피탈의 규칙을 한 번 적용하면 여전히 불확정 형식의 결과를 낳습니다. 이 경우에서, 극한은 규칙을 세 번 적용함으로써 평가될 수 있을 것입니다:

{\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{\frac {2\sin(x)-\sin(2x)}{x-\sin(x)}}&=\lim _{x\to 0}{\frac {2\cos(x)-2\cos(2x)}{1-\cos(x)}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\sin(x)+4\sin(2x)}{\sin(x)}}\\&=\lim _{x\to 0}{\frac {-2\cos(x)+8\cos(2x)}{\cos(x)}}\\&={\frac {-2+8}{1}}\\&=6.\end{aligned}}

다음은 0/0을 포함하는 예제입니다:

\lim _{x\to \infty }x^{n}\cdot e^{-x}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {nx^{n-1}}{e^{x}}}=n\cdot \lim _{x\to \infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}}}.

지수가 (만약

n

이 정수이면) 영 또는 (만약

n

이 분수이면) 음수가 될 때까지 로피탈의 규칙을 반복적으로 적용하여 극한이 영이라고 결론을 내립니다.

다음은 불확정 형식 $0 \cdot \infty$ 를 포함하는 예제이며 (아래를 참조하십시오), 이것은 형태 ∞/∞로 다시-쓸 수 있습니다:

\lim _{x\to 0^{+}}x\ln x=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\ln x}{\frac {1}{x}}}=\lim _{x\to 0^{+}}{\frac {\frac {1}{x}}{-{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{x\to 0^{+}}-x=0.

다음은 모기지 상환 공식(Mortgage repayment formula) 및 0/0을 포함하는 예제입니다. $P$ 를 원금 (대출 금액), $r$ 을 기간당 이자율 및 $n$ 을 기간의 숫자로 놓습니다. $r$ 이 영일 때, 기간 당 상환 금액은 ${\frac {P}{n}}$ 입니다 (왜냐하면 오직 원금아 상환되기 때문입니다); 이것은 비-영 이자율에 대해 공식과 일치합니다:

{\begin{aligned}\lim _{r\to 0}{\frac {Pr(1+r)^{n}}{(1+r)^{n}-1}}&=P\lim _{r\to 0}{\frac {(1+r)^{n}+rn(1+r)^{n-1}}{n(1+r)^{n-1}}}\\&={\frac {P}{n}}.\end{aligned}}

우리는 다음 정리를 입증하기 위해 로피탈의 법칙을 역시 사용할 수 있습니다. 만약 $f$ 가 $x$ 의 이웃에서 두번-미분가능이면, 다음입니다:

{\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)+f(x-h)-2f(x)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x-h)}{2h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f''(x+h)+f''(x-h)}{2}}\\&=f''(x).\end{aligned}}

때때로 로피탈의 규칙이 까다로운 방법으로 호출됩니다: $x \to \infty$ 일 때 $f (x) + f'(x)$ 가 수렴하고 $e^{x}\cdot f(x)$ 가 양 또는 음의 무한대로 수렴한다고 가정합니다. 그런-다음:

\lim _{x\to \infty }f(x)=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}\cdot f(x)}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}}{e^{x}}}=\lim _{x\to \infty }{\bigl (}f(x)+f'(x){\bigr )}

및 그래서,

\lim _{x\to \infty }f(x)

가 존재하고

\lim _{x\to \infty }f'(x)=0

입니다.

결과는

e^{x}\cdot f(x)

는 양 또는 음의 무한대로 수렴하는 추가적인 가설없이 참을 유지하지만, 정당화는 그런-다음 불완전입니다.

Complications

때때로 로피탈의 규칙은 몇 가지 추가 단계가 적용되지 않으면 유한 숫자의 단계로 답으로 이어지지 않습니다. 예제는 다음을 포함합니다:

두 번 적용이 평가되는 원래 표현의 반환으로 이어질 수 있습니다:

\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\cdots .

이 상황은

y=e^{x}

를 치환하고

y

가,

x

가 무한대로 갈 때, 무한대로 가는 것을 주목함으로써 처리될 수 있습니다; 이 치환과 함께, 이 문제는 규칙의 한번 적용으로 풀 수 있습니다:

\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.

대안적으로, 분자와 분모 둘 다는

e^{x}

에 의해 곱해짐으로써, 그 점에서 로피탈의 규칙은 즉시 성공적으로 적용될 수 있습니다:^[7]

\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {2e^{2x}}{2e^{2x}}}=1.

임의로 많은 숫자의 적용이 심지어 반복없이 답으로 결코 이어질 수 없습니다:

\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}-{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}{{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {1}{2}}}+{\frac {1}{2}}x^{-{\frac {3}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}+{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}{-{\frac {1}{4}}x^{-{\frac {3}{2}}}-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{2}}}}}=\cdots .

이 상황도 변수의 변환에 의해 처리될 수 있으며, 이 경우에서

y={\sqrt {x}}

:

\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {y+y^{-1}}{y-y^{-1}}}=\lim _{y\to \infty }{\frac {1-y^{-2}}{1+y^{-2}}}={\frac {1}{1}}=1.

다시한번, 대안적인 접근은 로피탈의 규칙을 적용하기 전에

x^{1/2}

에 의해 분자와 분모를 곱하는 것입니다:

\lim _{x\to \infty }{\frac {x^{\frac {1}{2}}+x^{-{\frac {1}{2}}}}{x^{\frac {1}{2}}-x^{-{\frac {1}{2}}}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {x+1}{x-1}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {1}{1}}=1.

공통적인 함정은 차이 몫(difference quotient)을 통해 도함수를 계산하기 위해 일부 순환 추론(circular reasoning)과 함께 로피탈의 규칙을 사용하는 것입니다. 예를 들어, x의 거듭제곱(powers of x)에 대한 도함수 공식을 증명하는 것의 임무를 생각해 보십시오:

\lim _{h\to 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}=nx^{n-1}.

로피탈의 법칙을 적용하고 분자와 분모의 $h$ 애 관한 도함수를 찾으면 예상처럼 $n x n -1$ 을 산출합니다. 어쨌든, 분자를 미분하면 입증된 바로 그 사실의 사용을 요구합니다. 이것은 선결문제 요구의 오류의 예제인데, 왜냐하면 우리는 증명의 과정 동안 입증해야 할 사실을 가정하지 않아야 하기 때문입니다.

Counterexamples when the derivative of the denominator is zero

$c$ 근처에서 $g'(x)\neq 0$ 인 조건의 필요성은 오토 슈톨츠(Otto Stolz)에 기인하는 다음 반례에 의해 알 수 있습니다:^[8] $f(x)=x+\sin x\cos x$ 및 $g(x)=f(x)e^{\sin x}$ 으로 놓습니다. 그런-다음 $x\to \infty$ 일 때 ${\frac {f(x)}{g(x)}}$ 에 대해 극한은 없습니다. 어쨌든,

{\begin{aligned}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}&={\frac {2\cos ^{2}x}{(2\cos ^{2}x)e^{\sin x}+(x+\sin x\cos x)e^{\sin x}\cos x}}\\[4pt]&={\frac {2\cos x}{2\cos x+x+\sin x\cos x}}e^{-\sin x},\end{aligned}}

이것은 $x\to \infty$ 일 때, 0으로 경향입니다. 이런 유형의 추가 예제는 랄프 필립 보아 주니어(Ralph P. Boas Jr.)에 의해 발견되었습니다.^[9]

Other indeterminate forms

$1 \infty$ , $00$ , $\infty 0$ , $0 \cdot \infty$ , 및 $\infty - \infty$ 와 같은, 다른 불확정 형식은 로피탈의 규칙을 사용하여 때때로 평가될 수 있습니다. 예를 들어, $\infty - \infty$ 를 포함하는 극한을 평가하기 위해, 두 함수의 차이를 몫으로 변환합니다:

{\begin{aligned}\lim _{x\to 1}\left({\frac {x}{x-1}}-{\frac {1}{\ln x}}\right)&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x-x+1}{(x-1)\cdot \ln x}}&\quad (1)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {\ln x}{{\frac {x-1}{x}}+\ln x}}&\quad (2)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {x\cdot \ln x}{x-1+x\cdot \ln x}}&\quad (3)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{1+1+\ln x}}&\quad (4)\\[6pt]&=\lim _{x\to 1}{\frac {1+\ln x}{2+\ln x}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}},\end{aligned}}

여기서 로피탈의 규칙은 (1)로부터 (2)로 갈 때 적용되고 (3)에서 (4)로 갈 때 다시 적용됩니다.

로피탈의 규칙은 "지수를 아래로 이동"하는 로그(logarithm)를 사용하여 지수(exponents)를 포함하는 불확정 형식에 사용될 수 있습니다. 다음은 불확정 형식 $00$ 을 포함하는 예제입니다:

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}\left(e^{\ln x}\right)^{x}=\lim _{x\to 0^{+}}e^{x\cdot \ln x}=e^{\lim \limits _{x\to 0^{+}}(x\cdot \ln x)}.

지수 함수는 연속(continuous)이기 때문에, 지수 함수(exponential function) 안에서 극한을 이동하는 것이 유효합니다. 이제 지수 $x$ 는 "아래로 이동"되었습니다. 극한 $\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x$ 은 불확정 형식 $0 \cdot \infty$ 이지만, 위의 예제에서 보이는 것처럼, 로피탈의 법칙은 다음을 결정하기 위해 사용될 수 있습니다:

\lim _{x\to 0^{+}}x\cdot \ln x=0.

따라서

\lim _{x\to 0^{+}}x^{x}=e^{0}=1.

Stolz–Cesàro theorem

슈톨츠–체사로 정리는 수열의 극한을 포함하는 유사한 결과이지만, 그것은 도함수(derivative)가 아닌 유한 차분 연산자(difference operator)를 사용합니다.

Geometric interpretation

두 함수 모두 연속과 함께, 그의 $x$ -좌표가 $g (t)$ 로 주어지고 그의 $y$ -좌표가 $f (t)$ 로 주어지는 평면에서 곡선, 즉, 형식 $[g (t), f (t)]$ 의 점의 자취(locus)를 생각해 보십시오. $f (c) = g (c) = 0$ 을 가정합니다. $t \to c$ 일 때 비율 $f (t) / g (t)$ 의 극한은 점 $[g (c), f (c)] = [0,0]$ 에서 곡선에 대한 접선의 기울기입니다. 점 $[g (t), f (t)]$ 에서 곡선에 대한 접선은 $[g'(t), f'(t)]$ 에 의해 제공됩니다. 로피탈의 규칙은 그런-다음 $t = c$ 일 때의 곡선의 기울기가, 이것이 정의되는 것에 제공되는, 곡선이 원점에 접근할 때 곡선에 대한 접선의 기울기의 극한이라고 말합니다.

Proof of L'Hôpital's rule

Special case

로피탈의 규칙의 증명은 $f$ 와 $g$ 가 점 $c$ 에서 연속적으로 미분-가능(continuously differentiable)이고 유한 극한이 미분화 첫 번째 적용 후에 구해지는 경우에서 간단합니다. 그것은 일반적인 로피탈의 규칙에 대한 증명은 아닌데, 왜냐하면 그것은 그것의 정의에서 더 엄격하며, 미분-가능성과 c가 실수인 것 둘 다를 필요로 하기 때문입니다. 많은 공통 함수는 연속적인 도함수를 가지므로 (예를 들어, 다항식(polynomial), 사인(sine) 및 코사인(cosine), 지수 함수(exponential function)), 그것은 주의할 필요가 있는 특별한 경우입니다.

$f$ 와 $g$ 가 실수 $c$ 에서 연속적으로 미분-가능이고, $f(c)=g(c)=0$ 이고, 및 $g'(c)\neq 0$ 을 가정합니다. 그런-다음

{\begin{aligned}&\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-0}{g(x)-0}}=\lim _{x\to c}{\frac {f(x)-f(c)}{g(x)-g(c)}}\\[6pt]={}&\lim _{x\to c}{\frac {\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {f(x)-f(c)}{x-c}}\right)}{\lim \limits _{x\to c}\left({\frac {g(x)-g(c)}{x-c}}\right)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}.\end{aligned}}

이것은 도함수의 차이-몫 정의에서 따릅니다. 마지막 상등은 $c$ 에서 도함수의 연속성에서 따릅니다. 결론에서 극한은, $g'(c)\neq 0$ 이기 때문에, 불확정 형식이 아닙니다.

로피탈의 규칙의 보다 일반적인 버전의 증명은 아래에 주어집니다.

General proof

다음 증명은 Taylor (1952)에 의한 것이며, 여기서 0/0 및 ±∞/±∞ 불확정 형식에 대해 통합된 증명이 주어집니다. 테일러는, 다른 증명은 Lettenmeyer (1936) 및 Wazewski (1949)에서 발견될 수 있음을 주목했습니다.

f와 g를 일반적인 형식(General form) 섹션에서 가설을 만족시키는 함수로 놓습니다. ${\mathcal {I}}$ 을 끝점 c를 가진 가설에서 열린 구간으로 놓습니다. 이 구간 위에 $g'(x)\neq 0$ 이고 g가 연속임을 고려하면, ${\mathcal {I}}$ 은 g가 ${\mathcal {I}}$ 에서 비-영이 되도록 더 작은 것으로 선택될 수 있습니다.^[d]

구간에서 각 x에 대해, $\xi$ 는 x와 c 사이의 모든 값에 걸쳐 변할 때, $m(x)=\inf {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ 및 $M(x)=\sup {\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ 를 정의합니다. (기호 inf 및 sup는 하한(infimum) 및 상한(supremum)을 나타냅니다.)

${\mathcal {I}}$ 위의 f와 g의 미분-가능성으로부터, 코시의 평균 값 정리(Cauchy's mean value theorem)는 ${\mathcal {I}}$ 안의 임의의 두 구별되는 점 x와 y에 대해 ${\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ 을 만족하는 x와 y 사이의 $\xi$ 가 존재함을 보증합니다. 결론적으로, 구간 안의 구별되는 x와 y의 모든 선택에 대해 $m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}\leq M(x)$ 입니다. 값 g(x)-g(y)는 구간에서 구별되는 x와 y에 대해 항상 비-영인데, 왜냐하면 만약 그것이 아니었다면, 평균 값 정리(mean value theorem)는 g' (p)=0을 만족하는 x와 y 사이의 p의 존재를 암시할 것입니다.

m(x)와 M(x)의 정의는 확장된 실수의 결과일 것이고, 그래서 값 ±∞를 취하는 것이 그들에게 가능합니다. 다음 두 경우에서, m(x)와 M(x)는 비율 f/g에서 경계를 설정할 것입니다.

경우 1: $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$

구간 ${\mathcal {I}}$ 에서 임의의 x, 및 x와 c 사이의 점 y에 대해,

m(x)\leq {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {{\frac {f(x)}{g(x)}}-{\frac {f(y)}{g(x)}}}{1-{\frac {g(y)}{g(x)}}}}\leq M(x)

및 따라서 y가 c에 접근할 때, ${\frac {f(y)}{g(x)}}$ 및 ${\frac {g(y)}{g(x)}}$ 는 영이 되고, 그래서 다음입니다:

m(x)\leq {\frac {f(x)}{g(x)}}\leq M(x)

.

경우 2: $\lim _{x\to c}|g(x)|=\infty$

구간 ${\mathcal {I}}$ 에서 모든 각 x에 대해, $S_{x}=\{y\mid y{\text{ is between }}x{\text{ and }}c\}$ 를 정의합니다. x와 c 사이의 모든 점 각 y에 대해,

m(x)\leq {\frac {f(y)-f(x)}{g(y)-g(x)}}={\frac {{\frac {f(y)}{g(y)}}-{\frac {f(x)}{g(y)}}}{1-{\frac {g(x)}{g(y)}}}}\leq M(x).

y가 c에 접근할 때, ${\frac {f(x)}{g(y)}}$ 와 ${\frac {g(x)}{g(y)}}$ 둘 다는 영이 되고, 따라서 다음입니다:

m(x)\leq \liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq \limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\leq M(x)

.

극한 상부(limit superior) 및 극한 하부(limit inferior)가 요구되는데, 왜냐하면 f/g의 극한의 존재는 여전히 확립되지 않았기 때문입니다.

그것은 역시 다음인 것의 경우입니다:

\lim _{x\to c}m(x)=\lim _{x\to c}M(x)=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L

.

^[e] 및

\lim _{x\to c}\left(\liminf _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}

및

\lim _{x\to c}\left(\limsup _{y\in S_{x}}{\frac {f(y)}{g(y)}}\right)=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}.

경우 1에서, 조임 정리(squeeze theorem)는 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 가 존재하고 L과 같음을 확증합니다. 경우 2에서, 및 조임 정리는 $\liminf _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\limsup _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ 인 것, 및 그래서 극한 $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}$ 은 존재하고 L과 같음을 다시 주장합니다. 이것이 입증되어야 하는 결과입니다.

경우 2에서 f(x)가 무한대로 발산한다는 가정은 증명 안에서 사용되지 않았습니다. 이것은 |g(x)|는, 만약 x가 c에 접근할 때, 무한대로 발산하고, f와 g 둘 다는 로피탈의 규칙에 대한 가설을 만족시키면, 추가적인 가정은 f(x)의 극한에 대해 필요하지 않다는 것을 의미합니다: 그것은 심지어 f(x)의 극한이 존재하지 않는 경우일 수 있습니다. 이런 경우에서, 로피탈의 정리는 실제로 체사로–슈톨즈의 결과입니다.^[10]

|g(x)|가, x가 c에 접근할 때, 무한대로 발산하고 f(x)가 c에서 유한 극한으로 수렴할 때의 경우에서, 로피탈의 규칙은 적용-가능하지만, 절대적으로 필수적인 것은 아닌데, 왜냐하면 기본 극한 미적분은 x가 c에 접근할 때 f(x)/g(x)의 극한이 반드시 영이어야 한다는 것을 보여줄 것이기 때문입니다.

Corollary

로피탈의 규칙의 단순하지만 매우 유용한 결과는 미분 가능성에 대해 잘-알려진 기준입니다. 그것은 다음임을 말합니다: f가 a에서 연속이고, $f'(x)$ 가 아마도 $x=a$ 를 제외하고 a를 포함하는 어떤 열린 구간에서 모든 x에 대해 존재한다고 가정합니다. 게다가, $\lim _{x\to a}f'(x)$ 가 존재한다고 가정합니다. 그런-다음 $f'(a)$ 가 역시 존재하고, 다음입니다:

f'(a)=\lim _{x\to a}f'(x).

특히, f'는 a에서 역시 연속입니다.

Proof

함수 $h(x)=f(x)-f(a)$ 및 $g(x)=x-a$ 을 생각해 보십시오. a에서 f의 연속성은 $\lim _{x\to a}h(x)=0$ 임을 우리에게 말해줍니다. 게다가, $\lim _{x\to a}g(x)=0$ 인데, 왜냐하면 다항 함수는 모든 곳에서 항상 연속이기 때문입니다. 로피탈의 규칙을 적용하면 $f'(a):=\lim _{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}=\lim _{x\to a}{\frac {h(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}f'(x)$ 임을 보여줍니다.

Notes

^ In the 17th and 18th centuries, the name was commonly spelled "l'Hospital", and he himself spelled his name that way. However, French spellings have been altered: the silent 's' has been removed and replaced with the circumflex over the preceding vowel. The former spelling is still used in English where there is no circumflex.
^ "Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [see Figure 130] ) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c’est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD. [Solution: ]...si l’on prend la difference du numérateur, & qu’on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l’on aura la valeur cherchée de l’appliquée bd ou BD." Translation : "Let there be a curve AMD (where AP = X, PM = y, AB = a) such that the value of the ordinate y is expressed by a fraction whose numerator and denominator each become zero when x = a; that is, when the point P falls on the given point B. One asks what shall then be the value of the ordinate BD. [Solution: ]... if one takes the differential of the numerator and if one divides it by the differential of the denominator, after having set x = a = Ab or AB, one will have the value [that was] sought of the ordinate bd or BD."^[2]
^ The functional analysis definition of the limit of a function does not require the existence of this connected interval.
^ Since g' is nonzero and g is continuous on the interval, it is impossible for g to be zero more than once on the interval. If it had two zeros, the mean value theorem would assert the existence of a point p in the interval between the zeros such that g' (p) = 0. So either g is already nonzero on the interval, or else the interval can be reduced in size so as not to contain the single zero of g.
^ The limits $\lim _{x\to c}m(x)$ and $\lim _{x\to c}M(x)$ both exist as they feature nondecreasing and nonincreasing functions of x, respectively. Consider a sequence $x_{i}\to c$ . Then $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ , as the inequality holds for each i; this yields the inequalities $\lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)$ The next step is to show $\lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Indeed, fix a sequence of numbers $\varepsilon _{i}>0$ such that $\lim _{i}\varepsilon _{i}=0$ , and a sequence $x_{i}\to c$ . For each i, choose $x_{i}<y_{i}<c$ such that ${\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\geq \sup _{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ , by the definition of $\sup$ . Thus $\lim _{i}M(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}$ as desired. The argument that $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ is similar.

References

^ O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Retrieved 21 December 2008.
^ L’Hospital. "Analyse des infiniment petits": 145–146. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)
^ Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3. Extract of page 321
^ Weisstein, Eric W. "L'Hospital's Rule". MathWorld.
^ (Chatterjee 2005, p. 291)
^ (Krantz 2004, p.79)
^ Multiplying by $e^{-}x$ instead yields a solution to the limit without need for l'Hôpital's rule.
^ Stolz, Otto (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [About the limits of quotients]. Mathematische Annalen (in German). 15: 556–559. doi:10.1007/bf02086277.
^ Boas Jr., Ralph P. (1986). "Counterexamples to L'Hopital's Rule". American Mathematical Monthly. 93 (8): 644–645. doi:10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR 2322330.
^ "L'Hopital's Theorem". IMOmath. International Mathematical Olympiad.

Sources

Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd, ISBN 81-203-2678-4
Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables. With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., pp. xiv+201, doi:10.1007/978-0-8176-8128-9, ISBN 0-8176-4329-X, MR 2015447
Lettenmeyer, F. (1936), "Über die sogenannte Hospitalsche Regel", Journal für die reine und angewandte Mathematik, 174: 246–247, doi:10.1515/crll.1936.174.246
Taylor, A. E. (1952), "L'Hospital's rule", Amer. Math. Monthly, 59: 20–24, doi:10.2307/2307183, ISSN 0002-9890, MR 0044602
Wazewski, T. (1949), "Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations", Prace Mat.-Fiz. (in French), 47: 117–128, MR 0034430

[1] In the 17th and 18th centuries, the name was commonly spelled "l'Hospital", and he himself spelled his name that way. However, French spellings have been altered: the silent 's' has been removed and replaced with the circumflex over the preceding vowel. The former spelling is still used in English where there is no circumflex.

[4] "Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [see Figure 130] ) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c’est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD. [Solution: ]...si l’on prend la difference du numérateur, & qu’on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l’on aura la valeur cherchée de l’appliquée bd ou BD." Translation : "Let there be a curve AMD (where AP = X, PM = y, AB = a) such that the value of the ordinate y is expressed by a fraction whose numerator and denominator each become zero when x = a; that is, when the point P falls on the given point B. One asks what shall then be the value of the ordinate BD. [Solution: ]... if one takes the differential of the numerator and if one divides it by the differential of the denominator, after having set x = a = Ab or AB, one will have the value [that was] sought of the ordinate bd or BD."^[2]

[8] The functional analysis definition of the limit of a function does not require the existence of this connected interval.

[13] Since g' is nonzero and g is continuous on the interval, it is impossible for g to be zero more than once on the interval. If it had two zeros, the mean value theorem would assert the existence of a point p in the interval between the zeros such that g' (p) = 0. So either g is already nonzero on the interval, or else the interval can be reduced in size so as not to contain the single zero of g.

[14] The limits $\lim _{x\to c}m(x)$ and $\lim _{x\to c}M(x)$ both exist as they feature nondecreasing and nonincreasing functions of x, respectively. Consider a sequence $x_{i}\to c$ . Then $\lim _{i}m(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(x_{i})}{g'(x_{i})}}\leq \lim _{i}M(x_{i})$ , as the inequality holds for each i; this yields the inequalities $\lim _{x\to c}m(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\leq \lim _{x\to c}M(x)$ The next step is to show $\lim _{x\to c}M(x)\leq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ . Indeed, fix a sequence of numbers $\varepsilon _{i}>0$ such that $\lim _{i}\varepsilon _{i}=0$ , and a sequence $x_{i}\to c$ . For each i, choose $x_{i}<y_{i}<c$ such that ${\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}\geq \sup _{x_{i}<\xi <c}{\frac {f'(\xi )}{g'(\xi )}}$ , by the definition of $\sup$ . Thus $\lim _{i}M(x_{i})\leq \lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\varepsilon _{i}=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}+\lim _{i}\varepsilon _{i}=\lim _{i}{\frac {f'(y_{i})}{g'(y_{i})}}$ as desired. The argument that $\lim _{x\to c}m(x)\geq \lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ is similar.

[2] O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". The MacTutor History of Mathematics archive. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. Retrieved 21 December 2008.

[3] L’Hospital. "Analyse des infiniment petits": 145–146. {{cite journal}}: Cite journal requires |journal= (help)

[5] Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics (3rd illustrated ed.). John Wiley & Sons. p. 321. ISBN 978-0-470-63056-3. Extract of page 321

[6] Weisstein, Eric W. "L'Hospital's Rule". MathWorld.

[7] (Chatterjee 2005, p. 291)

[9] (Krantz 2004, p.79)

[10] Multiplying by $e^{-}x$ instead yields a solution to the limit without need for l'Hôpital's rule.

[stolz-11] Stolz, Otto (1879). "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [About the limits of quotients]. Mathematische Annalen (in German). 15: 556–559. doi:10.1007/bf02086277.

[boas-12] Boas Jr., Ralph P. (1986). "Counterexamples to L'Hopital's Rule". American Mathematical Monthly. 93 (8): 644–645. doi:10.1080/00029890.1986.11971912. JSTOR 2322330.

[15] "L'Hopital's Theorem". IMOmath. International Mathematical Olympiad.

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