삼각형의 무게중심

Main article: Centroid

삼각형의 무게 중심(center of gravity)은 삼각형의 세 꼭짓점에서 각 꼭짓점의 대변의 중점을 연결한 선분(중선)의 교점을 말합니다.

삼각형의 무게중심은 세 중선을 꼭짓점으로부터 $2:1$로 내분합니다. 이 특징을 이용해서 삼각형의 꼭짓점의 좌표가 주어졌을 때, 무게중심의 좌표를 구해보겠습니다.

$\triangle \mathrm {ABC}$의 세 꼭짓점의 좌표가

$\mathrm {A} (x_{1},y_{1}),\mathrm {B} (x_{2},y_{2}),\mathrm {C} (x_{3},y_{3})$

로 주어졌을 때, 선분 $\mathrm {BC}$의 중점 $\mathrm {M}$은 수직선 위의 내분점에 따라 다음과 같이 구해집니다.

$\displaystyle \mathrm {M} \left({\frac {x_{2}+x_{3}}{2}},{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}\right)$

또한, 선분 $\mathrm {AM}$을 $2:1$로 내분하는 무게중심 $\mathrm {G}$의 좌표는 다음과 같이 구해집니다.

$\displaystyle \mathrm {G} \left({\frac {2\cdot {\frac {x_{2}+x_{3}}{2}}+x_{1}}{2+1}},{\frac {2\cdot {\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}+y_{1}}{2+1}}\right)$

그러므로 삼각형의 무게중심 $\mathrm {G}$의 좌표는 다음과 같습니다.

$\displaystyle \mathrm {G} \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)$

기억할 만한 것

삼각형의 각 변을 같은 방향으로 같은 비율로 내분한 세 점으로 이루어지는 삼각형도 원래 삼각형의 무게중심과 동일합니다. 또한 같은 방법으로 외분한 점들로 구성된 삼각형도 원래 삼각형의 무게중심과 같습니다. 한마디로 별도로 계산할 필요가 없다는 것입니다.

예를 들어, 오른쪽 그림과 같이 $\triangle \mathrm {ABC}$의 각 선분을 $1:3$으로 내분하는 점 $\mathrm {P,Q,R}$로 만들어지는 $\triangle \mathrm {PQR}$의 무게중심은 $\triangle \mathrm {ABC}$의 무게중심과 동일합니다. 그러므로 $\triangle \mathrm {PQR}$의 무게중심을 구하기 위해서 점 $\mathrm {P,Q,R}$의 좌표를 구할 필요는 없습니다. 원래 주어지는 점 $\mathrm {A,B,C}$의 좌표로 구해도 같은 무게중심의 좌표를 나타냅니다.

응용예제

응용예제1

$\mathrm {A} (2,2)$이고 무게중심이 원점인 정삼각형 $\mathrm {ABC}$가 있습니다. 다음을 구하시오.

(ㄱ) 정삼각형의 한 변의 길이

(ㄴ) 꼭짓점 $\mathrm {B,C}$의 좌표를 구하여라. (단 점 $\mathrm {B}$의 $x$-좌표는 음수입니다.)

해설: mowoum:삼각형의 무게중심#응용예제1

응용예제2

그림과 같이 두 직선 $y={\frac {1}{2}}x$와 $y=3x$가 직선 $y=-2x+k$와 만나는 점을 각각 $\mathrm {A,B}$라 하자. 원점 $\mathrm {O}$와 두 점 $\mathrm {A,B}$를 꼭짓점으로 하는 삼각형 $\mathrm {OAB}$의 무게중심 좌표가 $\mathrm {G} (3,4)$일 때, 보기에서 옮은 것을 있는 대로 고른 것은?

(ㄱ) 상수 $k$의 값은 15이다.

(ㄴ) $\angle \mathrm {AOB}$의 이등분선과 선분 $\mathrm {AB}$의 교점을 $\mathrm {R}$이라 할 때, $\mathrm {R}$의 좌표는 $(5,5)$이다.

(ㄷ) $\triangle \mathrm {ABO}$의 넓이를 $S_{1}$, $\triangle \mathrm {BGR}$의 넓이를 $S_{2}$라고 할 때, $3S_{2}=(2-{\sqrt {2}})S_{1}$을 만족한다.

해설: mowoum:삼각형의 무게중심#응용예제2

응용예제3

그림과 같이 삼각형 $\mathrm {ABC}$에서 무게중심 $\mathrm {G}$의 좌표는 $\left(1,{\frac {4}{3}}\right)$이고, 직선 $\mathrm {BC}$의 방정식은 $y=2x+1$이다. 점 $\mathrm {A}$에서 변 $\mathrm {BC}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm {H}$라 할 때, 선분 $\mathrm {AH}$의 길이를 구하시오.

해설: mowoum:삼각형의 무게중심#응용예제3

응용예제4

삼각형 ${\rm {ABC}}$에서 선분 ${\rm {AB}}$의 연장선 위에 ${\rm {AQ=2BQ}}$를 만족시키는 점을 ${\rm {Q}}$, 선분 ${\rm {BC}}$ 위에 ${\rm {2BP=CP}}$를 만족시키는 점을 ${\rm {Q}}$, 삼각형 ${\rm {ABC}}$의 무게중심을 ${\rm {G}}$라 할 때, 다음에서 옮은 것을 있는 대로 고른 것은?

ㄱ. 선분 ${\rm {PQ}}$와 선분 ${\rm {AB}}$는 서로 평행하다.

ㄴ. 점 ${\rm {P}}$는 삼각형 ${\rm {AQC}}$의 무게중심이다.

ㄷ. 삼각형 ${\rm {ABC}}$의 넓이는 삼각형 ${\rm {BPG}}$의 넓이의 9배이다.

해설: mowoum:삼각형의 무게중심#응용예제4