속도와 거리(기하와 벡터)

속도와 위치 및 속도와 거리에 대한 이론적 관계는 미적분1에서와 동일합니다. 즉, 속도를 정적분한 결과는 위치의 변화량을 나타내고, 속도의 절댓값을 정적분한 결과는 움직인 거리를 나타냅니다.

한편, 평면 운동에서, 위치는 시각 $t$에 대해, 함수로 주어지기 때문에, 위치의 변화량은 시각을 각각 대입해서 위치의 값을 구한 후, 차이로부터 변화량을 직접 알 수 있습니다.

또한, 속도의 성분을 제공할 때에는 속도의 각 성분에 대한 정적분을 통해서 위치의 함수를 알아낼 수 있습니다.

반면에, 거리는 크게 2가지 형태로 식을 알아둘 필요가 있습니다.

첫 번째, 좌표평면 위를 움직이는 점 $\mathrm {P} (x,y)$의 시각 $t$에서의 위치가, 각 성분에 대해 알려져 있을 때, 즉, $x=f(t),y=g(t)$일 때, 시간 $[a,b]$에서 점 $\mathrm {P}$가 움직인 거리는 속도와 가속도에서 구한 속력으로부터,

${\begin{aligned}l&=\int _{a}^{b}|v(t)|dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {\{f'(t)\}^{2}+\{g'(t)\}^{2}}}dt\\\end{aligned}}$

두 번째, 곡선 $y=f(x)$위를 움직이는 점 $\mathrm {P} (x,y)$으로 주어지는 경우는 첫 번째 경우의 식을 이용하기 위해서, 시각 $t$를 매개변수로 갖는 식으로 성분을 나눌 필요가 있습니다.

그 중 가장 쉬운 방법은, 다음과 같이 바꾸는 것입니다.

$x=t,\;y=f(t)$

따라서, 첫 번째 경우에서 주어진 식은 다음과 같이 다시 쓰일 수 있습니다.

${\begin{aligned}l&=\int _{a}^{b}|v(t)|dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\{f'(t)\}^{2}}}dt\\&=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\{f'(x)\}^{2}}}dx\\\end{aligned}}$