스튜어트의 정리

See also: Stewart's theorem

스튜어트의 정리(Stewart's theorem)는 삼각형을 구성하는 선분들의 길이에 관한 식으로써, 스코틀랜드의 수학자 매튜 스튜어트의 이름을 따서 지어졌습니다.

스튜어트의 정리의 개념도

삼각형의 한 꼭짓점에서 마주보는 변을 내분하는 선을 그었을 때, 그 길이들 사이의 관계식이 스튜어트 정리입니다. 오른쪽 그림과 같이 $\triangle \mathrm {ABC}$의 세 변을 $a,b,c$로 나타내고 꼭짓점 $\mathrm {A}$에서 변 $a$에 그은 선을 $d$라고 표시했을 때, 변 $d$에 의해 변 $a$가 변 $m,n$으로 나누어지면 다음이 성립합니다.

$b^{2}m+c^{2}n=a(d^{2}+mn)\,$

특히 $m=n$일 때, $d$는 중앙 선이라 불리고, 관계식은 아폴로니우스의 중앙 선 정리라고 불립니다.

이를 증명하기 위해, 삼각함수를 사용하는 것이 조금 계산에서 간편함을 느낄 수 있습니다.

변 $m$과 변 $d$으로 만들어지는 각을 $\theta _{1}$이라고 나타내고, 변 $n$과 변 $d$으로 만들어지는 각을 $\theta _{2}$라고 나타내었을 때, 코사인 제 2법칙에 의해 다음 식이 성립합니다.

${\begin{aligned}c^{2}&=m^{2}+d^{2}-2dm\cos \theta _{1}&\cdots (1)\\b^{2}&=n^{2}+d^{2}-2dn\cos \theta _{2}&\cdots (2)\end{aligned}}$

여기서 $\theta _{2}=\pi -\theta _{1}$이므로 $\cos \theta _{2}=\cos(\pi -\theta _{1})$으로 나타낼 수 있습니다.

또한, 삼각함수의 덧셈정리에 의해 $\cos(\pi -\theta _{1})=\cos \pi \cos \theta _{1}+\sin \pi \sin \theta _{1}=-\cos \theta _{1}$으로 나타낼 수 있습니다.

${\begin{aligned}b^{2}&=n^{2}+d^{2}+2dn\cos \theta _{1}&\cdots (3)\end{aligned}}$

임시 변수인 $\theta _{1}$을 없애기 위해, (1)식에 $n$을 곱하고 (3)식에 $m$을 곱한 후 변변 더해줍니다. 이를 간단히 하면, 스튜어트 정리를 얻을 수 있습니다.

${\begin{aligned}b^{2}m+c^{2}n&=nm^{2}+n^{2}m+(m+n)d^{2}\\&=(m+n)\left(mn+d^{2}\right)\\&=a\left(d^{2}+mn\right)\\\end{aligned}}$

증명이 끝났습니다.

다른 증명으로, 아폴로니우스의 정리에서와 마찬가지로 피타고라스의 정리를 이용할 수 있습니다.

먼저, 꼭짓점 $\mathrm {A}$로부터 변 $\mathrm {BC}$에 수선의 발을 내려서 $\mathrm {H}$라 놓고, $\mathrm {AH} =h$, $\mathrm {DH} =x$라 놓습니다.

그런 다음, 삼각형 $\triangle {\mathrm {ADH} }$, $\triangle {\mathrm {ABH} }$, $\triangle {\mathrm {AHC} }$ 각각에 피타고라스 정리를 적용하면,

$h^{2}+x^{2}=d^{2}\cdots (1)$

$h^{2}+(m+x)^{2}=c^{2}\cdots (2)$

$h^{2}+(n-x)^{2}=b^{2}\cdots (3)$

식 (2), (3)을 전개한 후, 식 (1)을 각각 대입하면,

$d^{2}+m^{2}+2mx=c^{2}\cdots (4)$

$d^{2}+n^{2}-2nx=b^{2}\cdots (5)$

새롭게 주어진 변수 $h$는 없어졌으므로, $x$를 없애기 위해, 식 (4)×n, 식 (5)×m을 하면,

$d^{2}n+m^{2}n+2mnx=c^{2}n$

$d^{2}m+mn^{2}-2mnx=b^{2}m$

두 식을 더하고, 공통인수로 묶으면,

$(m+n)(d^{2}+mn)=b^{2}m+c^{2}n$

이때, $m+n=a$이므로, 대입하면, 따라서,

$a\left(d^{2}+mn\right)=b^{2}m+c^{2}n$

증명이 끝났습니다.