실수의 대소 관계

Main article: Inequality (mathematics)

실수는 수직선에 일대일 대응이 되는 수입니다. 따라서 수직선 상의 수 $a$는 다음 3가지 중의 하나입니다.

음의 실수, $0$, 양의 실수

따라서 두 실수 $a,b$의 차이인 $a-b$도 실수이므로 위의 3경우밖에 없습니다. 이를 표시하면 다음과 같습니다.

• $a-b<0\Leftrightarrow a<b$
• $a-b=0\Leftrightarrow a=b$
• $a-b>0\Leftrightarrow a>b$

또한, 실수의 대소 관계는 실수의 연산과 호환되어 다음 성질들이 성립합니다.

• $a<b\;{\text{and}}\;b<c\Rightarrow a<c$
• $a<b\Rightarrow a\pm c<b\pm c$
• $a<b,\;c>0\Rightarrow ac<bc\;{\text{or}}\;{\frac {a}{c}}<{\frac {b}{c}}$
• $a<b,\;c<0\Rightarrow ac>bc\;{\text{or}}\;{\frac {a}{c}}>{\frac {b}{c}}$
• $0<a<b,\;n>0\Rightarrow a^{n}<b^{n}$
• $0<a<b,\;n<0\Rightarrow a^{n}>b^{n}$

마지막에 보이는 음의 지수배는 주로 $n=-1$인 역수에 대한 식으로 많이 소개됩니다.

$\displaystyle 0<a<b\Rightarrow {\frac {1}{a}}>{\frac {1}{b}}$

고등학교에서는 주로 참, 거짓을 맞추는 문제로 출제가 됩니다. 그러므로 일반적인 성질을 기억할 때 주어진 조건을 정확히 기억할 필요가 있습니다. 만약 조건에 대한 결과가 명확하지 않을 때에는 조건을 몇 개의 경우로 나누어서 생각해 볼 수 있습니다.

예를 들어 부호가 정해지지 않은 경우에는 서로 부호가 달라지는 경우들을 우선적으로 고려해 볼 수 있습니다.

$a<b\Rightarrow$ 명제

• $a<b<0$
• $a<0<b$
• $0<a<b$

다른 예로는 부호가 결정되어 있을 때에는 크기에 따라 생각해 볼 수 있습니다. 어떤 숫자의 지수배는 1을 기준으로 2가지 모양으로 나누어지는데, 나중에 지수함수에서 다루어집니다.

$0<a<b\Rightarrow$ 명제

• $0<a<b<1$
• $0<a<1<b$
• $1<a<b$

기본예제

기본예제1

다음 두 실수의 대소 관계를 나타내어라.

$A=4{\sqrt {3}}-1,\quad B=3+2{\sqrt {3}}$

해설1) 차이를 구해서 대소 관계를 알아봅니다.

${\begin{aligned}A-B&=(4{\sqrt {3}}-1)-(3+2{\sqrt {3}})\\&=2{\sqrt {3}}-4={\sqrt {12}}-{\sqrt {16}}<0\end{aligned}}$

$\therefore A<B$

해설2) 해설1은 식이 복잡해지는 문제가 있습니다. 실수의 대소관계의 성질을 이용해서 식을 간단하게 하는 방법으로 접근해 보겠습니다.

A	B	계산
$4{\sqrt {3}}-1$	$3+2{\sqrt {3}}$	양변에 $2{\sqrt {3}}$을 빼줍니다.
$2{\sqrt {3}}$	$4$	양변에 1씩 더해 줍니다.
$12$	$16$	양변을 제곱합니다.

그러므로 $A<B$입니다.

이런 접근은 식이 복잡해질수록 위력을 발휘합니다.

기본예제2

다음 두 실수의 대소 관계를 나타내어라.

$A={\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}},\quad B=3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$

A	B	계산
${\sqrt {2}}+2{\sqrt {3}}$	$3{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$	양변에 ${\sqrt {2}}$을 빼줍니다.
$2{\sqrt {3}}$	$2{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$	양변에 ${\sqrt {3}}$을 빼줍니다.
${\sqrt {3}}$	$2{\sqrt {2}}$	양변을 제곱합니다.
$3$	$8$

기본예제3

다음 두 수의 대소 관계를 나타내어라.

$A=2^{30},\quad B=3^{20}$

A	B	계산
$2^{3}$	$3^{2}$	지수에 0.1을 곱합니다.

그러므로 $A<B$입니다.