Inequality (mathematics)

수학(mathematics)에서, 부등식(inequality)은 두 숫자 또는 수학적 표현 사이에 같지-않은 비교를 만드는 관계입니다.^[1]^[2] 그것은 그의 크기에 의한 숫자 직선(number line) 위의 두 숫자를 비교하기 위해 가장 자주 사용됩니다. 다른 종류의 부등식을 나타내기 위해 사용되는 몇 가지 다른 표기법이 있습니다:

표기법 a < b은 a가 b보다 작음을 의미합니다.
표기법 a > b은 a가 b보다 큼을 의미합니다.

두 경우에서, a는 b와 같지 않습니다. 이들 관계는 엄격한 부등식으로 알려져 있으며,^[2] a는 b보다 엄격하게 작음 (각각, 보다 엄격하게 큼)을 의미합니다.

엄격한 부등식과 달리, 엄격하지 않은 두 가지 유형의 불평등 관계가 있습니다:

표기법 a ≤ b 또는 a ⩽ b는, a가 b보다 작거나 같음 (또는, 동등하게, 최대(많아야, 이하) b, 또는 b보다 크지 않음)을 의미합니다.
표기법 a ≥ b 또는 a ⩾ b는, a가 b보다 크거나 같음 (또는, 동등하게, 최소(적어도, 이상) b, 또는 b보다 작지 않음)을 의미합니다.

(관계 "보다 크지 않음"은 a ≯ b ("보다 큼"에 대한 기호를 슬래시, "아님"으로 양분한 기호)로 역시 표현될 수 있습니다. 같은 것은 "보다 작지 않음" 및 a ≮ b에 대해 참입니다.)

만약 질문에서 그 값이, 정수(integer) 또는 실수(real number)와 같은, 순서화 집합(ordered set)의 원소이면, 그들은 크기에서 비교될 수 있습니다. 다른 한편으로, 표기법 a ≠ b은 a가 b와 같지 않음을 의미하고, 때때로 엄격한 부등식의 형식으로 여겨집니다.^[3] 그것은 하나가 다른 것보다 큼, 또는 심지어 그들은 크기에서 비교될 수 없음을 말하지 않습니다.

공학 과학에서, 표기법의 덜 공식적인 사용은 한 양이 다른 양보다 "훨씬 더 큰" 것, 통상적으로 여러 크기의 정도(orders of magnitude)에 의한 것임을 말하는 것입니다. 이것은 보다 작은 값은 근사(approximation)의 정확도에 작은 효과로 무시할 수 있음 (물리학에서 초상대론적 극한(ultrarelativistic limit)의 경우에서 처럼)을 의미합니다.

표기법 a ≪ b은 a가 b보다 훨씬 더 작음을 의미합니다. (측정 이론(measure theory)에서, 어쨌든, 이 표기법은 절대 연속성, 비-관계된 개념에 대해 사용됩니다.^[4])
표기법 a ≫ b은 a가 b보다 훨씬 더 큼을 의미합니다.^[5]

위의 경우의 모두에서, 서로 거울로 비춘 두 기호는 대칭입니다; a < b 및 b > a는 동등합니다, 기타 등등.

Properties on the number line

부등식은 다음 속성(properties)에 의해 제어됩니다. 이들 속성의 모두는, 만약 비-엄격한 부등식의 모두 (≤ 및 ≥)는 해당하는 엄격한 부등식 (< 및 >)으로 대체되고 – 함수를 적용하는 경우에서 – 단조로운 함수는 엄격하게 단조로운 함수(monotonic function)로 제한되면, 역시 유지됩니다.

Converse

관계 ≤ 및 ≥는 서로의 전환(converse)이며, 임의의 실수(real number) a와 b에 대해 다음인 것을 의미합니다:

a ≤ b 및 b ≥ a는 동등합니다.

Transitivity

부등식의 전이 속성은 임의의 실수(real number) a, b, c에 대해 다음임을 말합니다:^[6]

만약 a ≤ b 및 b ≤ c이면, a ≤ c입니다.

만약 전제의 둘 중 하나가 엄격한 부등식이면, 결론은 엄격한 부등식입니다:

만약 a ≤ b 및 b < c이면, a < c입니다.

만약 a < b 및 b ≤ c이면, a < c입니다.

Addition and subtraction

If x < y, then x + a < y + a.

공통 상수 c는 부등식의 양쪽 변에 더해지거나 빼질 수 있습니다.^[3] 그래서, 임의의 실수(real number) a, b, c에 대해:

만약 a ≤ b이면, a + c ≤ b + c 및 a − c ≤ b − c입니다.

달리 말해서, 부등식 관계는 덧셈 (또는 뺄셈) 아래에서 보존되고 실수는 덧셈 아래에서 순서화된 그룹(ordered group)입니다.

Multiplication and division

곱셈(multiplication) 및 나눗셈(division)을 다루는 속성은 임의의 실수 a, b 및 비-영 c에 대해 다음임을 말합니다:

만약 a ≤ b 및 c > 0이면, ac ≤ bc 및 a/c ≤ b/c입니다.

만약 a ≤ b 및 c < 0이면, ac ≥ bc 및 a/c ≥ b/c입니다.

달리 말해서, 부등식 관계는 곱셈 및 양의 상수와 함께 나눗셈 아래에서 보존되지만, 음의 상수가 포함될 때, 역전됩니다. 보다 일반적으로, 이것은 순서화된 필드(ordered field)에 대해 적용됩니다. 더 많은 정보에 대해, § 순서화된 필드(§ Ordered fields)를 참조하십시오.

Additive inverse

덧셈의 역(additive inverse)에 대해 속성은 임의의 실수 a와 b에 대해 다음임을 말합니다:

만약 a ≤ b이면, −a ≥ −b입니다.

Multiplicative inverse

만약 숫자 둘 다가 양수이면, 곱셈의 역(multiplicative inverse) 사이의 부등식 관계는 원래 숫자 사이의 관계의 반대입니다. 보다 구체적으로, 둘 다 양수(positive) (또는 둘 다 음수(negative))인 임의의 비-영 실수 a와 b에 대해

만약 a ≤ b이면, 1/a ≥ 1/b입니다.

경우의 모두는, a와 b의 경우에 대해, 다음으로, 체인화 표기법(chained notation)에서 역시 쓸 수 있습니다:

만약 0 < a ≤ b이면, 1/a ≥ 1/b > 0입니다.

만약 a ≤ b < 0이면, 0 > 1/a ≥ 1/b입니다.

만약 a < 0 < b이면, 1/a < 0 < 1/b입니다.

Applying a function to both sides

임의의 단조롭게 증가하는 함수(function)는, 정의에 의해^[7], (표현 둘 다가 해당 함수의 도메인(domain)에 있는 것으로 제공된) 부등식 관계의 깨짐없이 부등식의 양쪽 변에 적용될 수 있을 것입니다. 어쨌든, 부등식의 양쪽 변에 단조롭게 감소하는 함수를 적용하면 부등식 관계가 반대로 된다는 것을 의미합니다. 덧셈의 역 및 양수에 대해 곱셈의 역에 대해 규칙은 단조롭게 감소하는 함수를 적용하는 둘 다의 예제입니다.

만약 부등식이 엄격하고 (a < b, a > b) 하수가 엄격하게 단조로운 것이면, 부등식은 엄격하게 남습니다. 만약 이들 조건 중 오직 하나가 엄격하면, 결과 부등식은 비-엄격한 것입니다. 사실, 덧셈 및 곱셈의 역에 대해 규칙은 엄격하게 단조롭게 감소하는 함수를 적용하는 둘 다의 예제입니다.

이 규칙의 몇 가지 예제는 다음입니다:

부등식의 양쪽 변에 거듭제곱 n > 0 (동등 −n < 0)을 올리면, a와 b가 양의 실수일 때:

0 ≤ a ≤ b ⇔ 0 ≤ aⁿ ≤ bⁿ.

0 ≤ a ≤ b ⇔ a⁻ⁿ ≥ b⁻ⁿ ≥ 0.

부등식의 양쪽 변에 자연 로그(natural logarithm)를 취하면, a와 b가 양의 실수일 때:

0 < a ≤ b ⇔ ln(a) ≤ ln(b).

0 < a < b ⇔ ln(a) < ln(b).

(이것은 참인데 왜냐하면 자연 로그는 엄격하게 증가하는 함수이기 때문입니다.)

Formal Definitions and Generalizations

(비-엄격한) 부분 순서(partial order)는 반사(reflexive), 반대칭(antisymmetric), 및 전이적(transitive)인 집합(set) P에 걸쳐 이항 관계(binary relation) ≤입니다.^[8] 즉, P 안의 모든 a, b, 및 c에 대해, 그것은 다음 세 조항을 충족시켜야 합니다:

a ≤ a (반사성(reflexivity))
만약 a ≤ b 및 b ≤ a이면, a = b (반대칭성(antisymmetry))
만약 a ≤ b 및 b ≤ c이면, a ≤ c (전이성(transitivity))

부분 순서를 가진 집합은 부분적으로 순서화 집합(partially ordered set)으로 불립니다.^[9] 그들은 순서의 모든 각 종류가 만족시켜야 하는 매우 기본 공리입니다. 집합 P 위의 순서의 다른 정의에 대해 존재하는 다른 공리는 다음을 포함합니다:

P 안의 모든 각 a와 b에 대해, a ≤ b 또는 b ≤ a (전체 순서(total order))입니다.
a < b인 것에 대해 P 안의 모든 a와 b에 대해, a < c < b를 만족하는 P 안의 c가 있습니다 (조밀 순서(dense order)).
위쪽 경계를 가진 P의 모든 각 비-빈 부분-집합은 P 안의 최소 위쪽 경계(least upper bound) (상한(supremum))을 가집니다 (최소-위쪽-경계 속성(least-upper-bound property)).

Ordered fields

만약 (F, +, ×)가 필드(field)이고 F 위에 전체 순서(total order)이면, (F, +, ×, ≤)가 순서화 필드(ordered field)로 불리는 것은 다음과 필요충분 조건입니다:

a ≤ b는 a + c ≤ b + c를 의미합니다;
0 ≤ a 및 0 ≤ b는 0 ≤ a × b를 의미합니다.

(Q, +, ×, ≤) 및 (R, +, ×, ≤) 둘 다는 순서화 필드(ordered field)이지만, ≤는 (C, +, ×, ≤) 순서화 필드(ordered field)를 만들기 위해 절대 정의될 수 없는데,^[10] 왜냐하면 −1은 i의 제곱이고 그러므로 양수여야 하기 때문입니다.

순서화 필드인 것 외에도, R은 최소-위쪽-경계 속성(Least-upper-bound property)을 역시 가집니다. 사실, R은 해당 특질을 가진 유일한 순서화 필드로 정의될 수 있습니다.^[11]

Chained notation

표기법 a < b < c는 "a < b 및 b < c"를 나타내며, 이로부터, 위의 전이성 속성에 의해, 그것은 역시 a < c임을 따릅니다. 위의 법칙에 따라, 우리는 세 항 모두에 같은 숫자를 더하거나 뺄 수 있으며, 또는 세 항 모두를 비-영 같은 숫자수로 곱하거나 나눌 수 있고 만약 그 숫자수가 음수이면 모든 부등식을 거꾸로 만듭니다. 그러므로, 예를 들어, a < b + e < c는 a − e < b < c − e와 동등합니다.

이 표기법은 항의 임의의 숫자로 일반화될 수 있습니다: 예를 들어, a₁ ≤ a₂ ≤ ... ≤ a_n는 i = 1, 2, ..., n − 1에 대해 a_i ≤ a_i+1임을 의미합니다. 전이성에 의해, 이 조건은 임의의 1 ≤ i ≤ j ≤ n에 대해 a_i ≤ a_j와 동등합니다.

체인화 표기법을 사용하여 부등식을 풀 때, 그것은 독립적으로 항을 평가하는 것이 가능하고 때때로 필요합니다. 예를 들어, 부등식 4x < 2x + 1 ≤ 3x + 2을 풀기 위해, 그것은 덧셈 또는 뺄셈을 통해 부등식의 임의의 한 부분에서 x를 분리하는 것이 가능합니다. 대신에, 부등식은 반드시 독립적으로 해결되어, 각각 x < 1/2 및 x ≥ −1을 산출하며, 이것은 최종 해 −1 ≤ x < 1/2로 결합될 수 있습니다.

때때로, 체인화 표기법은 다른 방향에서 불평등과 함께 사용되며, 이 경우에서 의미는 인접한 항 사이의 부등식의 논리적 곱(logical conjunction)입니다. 예를 들어, a < b = c ≤ d는 a < b, b = c, 및 c ≤ d임을 의미합니다. 이 표기법은 파이썬(Python)과 같은 몇 가지 프로그래밍 언어(programming language)에서 존재합니다.

Sharp inequalities

부등식이, 만약 그것이 절대 완화될 수 없고 여전히 일반적으로 유효하면, 예리한 것으로 말합니다. 공식적으로, 보편적으로 정량화된(universally quantified) 부등식 φ는 만약, 모든 각 유효한 보편적 정량화 부등식 ψ에 대해, 만약 ψ ⇒ φ가 유지되면, ψ ⇔ φ도 역시 유지되면, 예리한 것으로 불립니다. 예를 들어, 부등식 ∀a ∈ ℝ. a² ≥ 0은 예리하지만, 부등식 ∀a ∈ ℝ. a² ≥ −1은 예리하지 않습니다.^{[citation needed]}

Inequalities between means

평균 사이의 많은 부등식이 있습니다. 예를 들어, 임의의 양수 a₁, a₂, …, a_n에 대해, 우리는 H ≤ G ≤ A ≤ Q를 가지며, 여기서

$H={\frac {n}{1/a_{1}+1/a_{2}+\cdots +1/a_{n}}}$	(조화 평균(harmonic mean)),
$G={\sqrt[{n}]{a_{1}\cdot a_{2}\cdots a_{n}}}$	(기하 평균(geometric mean)),
$A={\frac {a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}}{n}}$	(산술 평균(arithmetic mean)),
$Q={\sqrt {\frac {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{n}^{2}}{n}}}$	(이차 평균(quadratic mean)).

Cauchy–Schwarz inequality

코시–슈바르츠 부등식은, 안의 곱 공간(inner product space)의 모든 벡터 u와 v에 대해 그것은 다음이 참임을 말합니다:

|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \cdot \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ,

여기서 $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ 는 안의 곱(inner product)입니다. 안의 곱의 예제는 실수 및 복소수 점 곱(dot product)을 포함합니다; 표준 곱 공간을 갖는 유클리드 공간(Euclidean space) Rⁿ에서, 코시–슈바르츠 부등식은 다음입니다:

\left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}\right)

Power inequalities

"거듭제곱 부등식(power inequality)"은 형식 a^b의 항을 포함하는 부등식이며, 여기서 a와 b는 양의 실수 또는 변수 표현입니다. 그들은 종종 수학 올림피아드(mathematical olympiads) 연습-문제에서 나타납니다.

Examples

임의의 실수 x에 대해,

e^{x}\geq 1+x.

만약 x > 0 및 p > 0이면,

(x^{p}-1)/p\geq \ln(x)\geq (1-{1}/{x^{p}})/p.

p → 0의 극한에서, 위쪽 및 아래쪽 경계는 ln(x)에 수렴합니다.

만약 x > 0이면,

x^{x}\geq \left({\frac {1}{e}}\right)^{1/e}.

만약 x ≥ 1이면,

x^{x^{x}}\geq x.

만약 x, y, z > 0이면,

(x+y)^{z}+(x+z)^{y}+(y+z)^{x}>2.

임의의 구별되는 실수 a 및 b에 대해,

{\frac {e^{b}-e^{a}}{b-a}}>e^{(a+b)/2}.

만약 x, y > 0 및 0 < p < 1이면,

x^{p}+y^{p}>(x+y)^{p}.

만약 x, y, z > 0이면,

x^{x}y^{y}z^{z}\geq (xyz)^{(x+y+z)/3}.

만약 a, b > 0이면,

a^{a}+b^{b}\geq a^{b}+b^{a}.

이 부등식은 JSTOR,AMM,Vol.97,No.1,1990에서 I.Ilani에 의해 해결되었습니다.

만약 a, b > 0이면,

a^{ea}+b^{eb}\geq a^{eb}+b^{ea}.

이 부등식은 AJMAA,Vol.7,Issue 2,No.1,2010에서 S.Manyama 및 JNSA, Vol.4, Issue 2, 130–137, 2011에서 V.Cirtoaje에 의해 해결되었습니다.

만약 a, b, c > 0이면,

a^{2a}+b^{2b}+c^{2c}\geq a^{2b}+b^{2c}+c^{2a}.

만약 a, b > 0이면,

a^{b}+b^{a}>1.

Well-known inequalities

수학자들(Mathematician)은, 정확한 공식이 쉽게 계산될 수 없는 양을 경계짓기 위해 부등식을 종종 사용합니다. 일부 부등식은 너무 자주 사용되어, 그들은 이름을 가집니다:

Complex numbers and inequalities

덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)의 그의 연산과 함께 복소수(complex number) $\mathbb {C}$ 의 집합은 필드(field)이지만, 그것은 $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ 이 순서화 필드(ordered field)가 되도록 임의의 관계 ≤를 정의하는 것이 불가능합니다. $(\mathbb {C} ,+,\times ,\leq )$ 순서화 필드(ordered field)를 만들기 위해, 그것은 다음 두 속성을 만족시켜야 할 것입니다:

만약 a ≤ b이면, a + c ≤ b + c입니다;
만약 0 ≤ a 및 0 ≤ b이면, then 0 ≤ a b입니다.

≤는 전체 순서(total order)이기 때문에, 0 ≤ a 또는 a ≤ 0 중 하나입니다 (이 경우에서 위의 첫 번째 속성은 0 ≤ −a임을 의미합니다). 두 경우에서 0 ≤ a²입니다; 이것은 $i^{2}>0$ 및 $1^{2}>0$ 임을 의미합니다; 그래서 $-1>0$ 및 $1>0$ 이며, 이것은 $(-1+1)>0$ 임을 의미합니다; 모순입니다.

어쨌든, 연산 ≤은 오직 첫 번째 속성 (즉, "만약 a ≤ b이면, a + c ≤ b + c입니다")을 만족시키도록 정의될 수 있습니다. 때때로 사전식 순서(lexicographical order) 정의가 사용됩니다:

만약 $\mathrm {Re} (a)<\mathrm {Re} (b)$ 또는 $\left(\mathrm {Re} (a)=\mathrm {Re} (b)\right.$ 및 $\left.\mathrm {Im} (a)\leq \mathrm {Im} (b)\right)$ 이면, $a\leq b$ 입니다.

이 정의에 대해 a ≤ b는 a + c ≤ b + c를 의미한다는 것은 쉽게 증명될 수 있습니다.

Vector inequalities

위에 정의된 것과 비슷한 부등식 관계는 역시 열 벡터(column vector)에 대해 정의될 수 있습니다. 만약 우리가 벡터 $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ 를 허용하면 ( $x=(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})^{\mathsf {T}}$ 와 $y=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})^{\mathsf {T}}$ 임을 의미하는, 여기서 $x_{i}$ 와 $y_{i}$ 는 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해 실수입니다), 우리는 다음의 관계를 정의할 수 있습니다:

만약 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해 $x_{i}=y_{i}$ 이면, $x=y$ 입니다.
만약 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해 $x_{i}<y_{i}$ 이면, $x<y$ 입니다.
만약 $i=1,\ldots ,n$ 및 $x\neq y$ 에 대해 $x_{i}\leq y_{i}$ 이면, $x\leq y$ 입니다.
만약 $i=1,\ldots ,n$ 에 대해 $x_{i}\leq y_{i}$ 이면, $x\leqq y$ 입니다.

비슷하게, 우리는 $x>y$ , $x\geq y$ , 및 $x\geqq y$ 에 대해 관계를 정의할 수 있습니다. 이 표기법은 다중-기준 최적화(Multicriteria Optimization)에서 마티아스 에르고트(Matthias Ehrgott)에 의해 사용된 것과 일치합니다 (참고-문헌을 참조하십시오).

삼분법 속성(trichotomy property) (위에서 말한 것처럼)은 벡터 관계에 유효하지 않습니다. 예를 들어, $x=(2,5)^{\mathsf {T}}$ 및 $y=(3,4)^{\mathsf {T}}$ 일 때, 이들 두 벡터 사이에 유효한 부등식 관계가 존재하지 않습니다. 또한, 곱셈의 역(multiplicative inverse)은 이 속성이 고려되기 전에 벡터에 정의될 필요가 있습니다. 어쨌든, 앞서-말한 속성의 남은 것에 대해, 벡터 부등식에 대한 병렬 속성이 존재합니다.

General existence theorems

다항 부등식의 일반적인 시스템에 대해, 우리는 해에 대해 존재하는 조건을 찾을 수 있습니다. 먼저, 다항 부등식의 임의의 시스템은 변수와 방정식의 숫자를 증가시킴으로써 (예를 들어, 변수의 제곱을 새로운 변수와 같게 설정함으로써) 이차 부등식 시스템으로 줄일 수 있습니다. n – 1 변수의 하나의 이차 다항 부등식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

X^{T}AX\geq 0,

여기서 X는 변수 $X=(x,y,z,\ldots ,1)^{\mathsf {T}}$ 의 벡터이고, A는 행렬입니다. 이것은, 예를 들어, A의 주 대각선 위에 적어도 하나의 양의 원소가 있을 때, 하나의 해를 가집니다.

부등식의 시스템은 행렬 A, B, C 등의 관점에서 쓸 수 있고, 해의 존재에 대한 조건은 이들 행렬의 관점에서 복잡한 표현으로 쓸 수 있습니다. 두 변수에서 두 다항 부등식에 대한 해는 우리에게 두 원뿔 단면(conic section) 영역이 서로 겹침 또는 내부에 있는지 여부를 알려줍니다. 일반적인 해는 알려져 있지 않지만, 그러한 해는 이론적으로 접하는 숫자 문제(kissing number problem)와 같은 그런 해결되지 않은 문제를 해결하기 위해 사용될 수 있습니다. 어쨌든, 조건은 많은 계산 시간 또는 솜씨-좋은 알고리듬이 필요할 정도로 복잡할 것입니다.

References

^ "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Inequality". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-03.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ ^a ^b "Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.
^ ^a ^b "Inequality". www.learnalberta.ca. Retrieved 2019-12-03.
^ "Absolutely continuous measures - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-03.
^ Weisstein, Eric W. "Much Greater". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
^ Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer Science & Business Media. pp. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5.
^ "ProvingInequalities". www.cs.yale.edu. Retrieved 2019-12-03.
^ Simovici, Dan A.; Djeraba, Chabane (2008). "Partially Ordered Sets". Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)
^ Weisstein, Eric W. "Partially Ordered Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.
^ Feldman, Joel (2014). "Fields" (PDF). math.ubc.ca. Retrieved 2019-12-03.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Stewart, Ian (2007). Why Beauty Is Truth: The History of Symmetry. Hachette UK. p. 106. ISBN 0-4650-0875-5.

Sources

Hardy, G., Littlewood J. E., Pólya, G. (1999). Inequalities. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press. ISBN 0-521-05206-8.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Beckenbach, E. F., Bellman, R. (1975). An Introduction to Inequalities. Random House Inc. ISBN 0-394-01559-2.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Drachman, Byron C., Cloud, Michael J. (1998). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer-Verlag. ISBN 0-387-98404-6.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
Grinshpan, A. Z. (2005), "General inequalities, consequences, and applications", Advances in Applied Mathematics, 34 (1): 71–100, doi:10.1016/j.aam.2004.05.001
Murray S. Klamkin. "'Quickie' inequalities" (PDF). Math Strategies.
Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". Online e-book in PDF format.
Harold Shapiro (2005). "Mathematical Problem Solving". The Old Problem Seminar. Kungliga Tekniska högskolan.
"3rd USAMO". Archived from the original on 2008-02-03.
Pachpatte, B. G. (2005). Mathematical Inequalities. North-Holland Mathematical Library. Vol. 67 (first ed.). Amsterdam, The Netherlands: Elsevier. ISBN 0-444-51795-2. ISSN 0924-6509. MR 2147066. Zbl 1091.26008.
Ehrgott, Matthias (2005). Multicriteria Optimization. Springer-Berlin. ISBN 3-540-21398-8.
Steele, J. Michael (2004). The Cauchy-Schwarz Master Class: An Introduction to the Art of Mathematical Inequalities. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-54677-5.

External links

"Inequality", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
Graph of Inequalities by Ed Pegg, Jr.
AoPS Wiki entry about Inequalities

[1] "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Inequality". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-03.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[:0-2] "Inequality Definition (Illustrated Mathematics Dictionary)". www.mathsisfun.com. Retrieved 2019-12-03.

[:1-3] "Inequality". www.learnalberta.ca. Retrieved 2019-12-03.

[4] "Absolutely continuous measures - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-03.

[5] Weisstein, Eric W. "Much Greater". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.

[6] Drachman, Bryon C.; Cloud, Michael J. (2006). Inequalities: With Applications to Engineering. Springer Science & Business Media. pp. 2–3. ISBN 0-3872-2626-5.

[7] "ProvingInequalities". www.cs.yale.edu. Retrieved 2019-12-03.

[8] Simovici, Dan A.; Djeraba, Chabane (2008). "Partially Ordered Sets". Mathematical Tools for Data Mining: Set Theory, Partial Orders, Combinatorics. Springer. ISBN 9781848002012. {{cite book}}: Unknown parameter |lastauthoramp= ignored (|name-list-style= suggested) (help)

[9] Weisstein, Eric W. "Partially Ordered Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2019-12-03.

[10] Feldman, Joel (2014). "Fields" (PDF). math.ubc.ca. Retrieved 2019-12-03.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)

[11] Stewart, Ian (2007). Why Beauty Is Truth: The History of Symmetry. Hachette UK. p. 106. ISBN 0-4650-0875-5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]