쌍곡선의 평행이동

쌍곡선의 그래프의 평행이동도 역시 타원의 그래프의 평행이동과 이론적으로 동일합니다. 타원은 같은 하나의 식으로 표현되지만, 쌍곡선은 주축의 위치에 따라, 오른쪽의 부호가 달라집니다.

쌍곡선의 방정식

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1$

을 $x$-축으로 $m$만큼 $y$-축으로 $n$만큼 평행이동한 방정식은

${\frac {(x-m)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {(y-n)^{2}}{b^{2}}}=1\cdots (1)$

타원의 방정식의 일반형

물론, 고등학교 교과서에서 다루는 쌍곡선의 방정식이 일반적인 경우는 아닙니다. 쌍곡선이 일반적인 모양이 되려면, 두 초점이 놓인 직선이 임의의 직선이 될 경우인데, 꽤 복잡하기 때문에 다루지 않습니다.

어쨌든, 주축이 $x$-축 또는 $y$-축에 평행한 직선으로 제한적인 상황에서,

식 (1)을 전개한 후, 정리하면,

$Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+E=0$

이때, 포물선 또는 타원과 달리, $AB<0$라는 조건으로 쌍곡선이 그려집니다. 예를 들어,

$(x-m)^{2}-3(y-n)^{2}=-3$

쌍곡선과 직선의 위치 관계

두 도형의 위치 관계는 쌍곡선과 직선에 대해 적용이 가능합니다.

쌍곡선은 최고 차수가 2차이고, 직선은 1차이므로, 연립방정식은 이차 방정식입니다. 따라서, 이차방정식의 판별식에 의해 교점의 개수를 결정할 수 있습니다.