연립부등식의 영역

연립부등식의 영역은 두 개 이상의 부등식의 해를 좌표평면 위에 도시하는 것을 말합니다. 즉 부등식의 영역에서 개별적으로 다루었던 여러 함수와 도형을 한 좌표평면 위에 각각 도시를 한 후에, 해집합이 겹치는 부분을 빗금칠해 줍니다.

예를 들어, 다음 연립부등식의 영역을 표시해 보겠습니다.

\left\{{\begin{aligned}&y>x+1\cdots (1)\\&x^{2}+y^{2}<4\cdots (2)\end{aligned}}\right.

먼저 일차함수 $y = x + 1$ 를 그리고 (0, 0)을 대입하면 부등식을 만족하지 않으므로 직선의 위쪽입니다.

원 $x 2 + y 2 = 4$ 를 그리고 중심 (0, 0)을 대입하면 부등식을 만족하므로 원의 안쪽입니다.

이때 두 도형의 위치 관계에 따라 영역이 달라질 수 있습니다.

원 전체가 직선의 위쪽에 있다면 원 내부 전체를 빗금칠해야 합니다.
원과 직선이 한 곳에서 만날 때에는 경계를 제외이므로 색칠할 곳이 없습니다.
원과 직선이 두 곳에서 위쪽에 있는 활꼴에 색칠을 해야 합니다.
원 전체가 직선의 아래쪽에 있을 때에는 빗금칠할 영역이 없습니다.

이 경우는 두 곳에서 만나는 경우입니다. 그리고 등호를 포함하지 않으므로 경계선 제외를 표시해 줍니다.

곱으로 표현되는 부등식의 영역

이런 종류는 반드시 0과 비교를 해야 합니다. 즉, $f \cdot g \cdot h > 0$ 의 꼴만 해당사항이 있습니다. 부등호 방향은 처음 하나의 영역이 참인지 거짓인지 확인할 때 사용합니다.

일차함수, 이차함수, 원 등의 알려진 모양의 영역이 곱해져 있는 경우의 부등식의 영역은 좌표평면이 여러 개의영역으로 나누어집니다. 이때에는 각 영역의 진리값을 확인하지 않고 1개 영역의 진리값을 확인하면 전체 영역을 알 수 있습니다. 왜냐하면, 경계선를 넘어갈 때에는 진리값이 바뀌기 때문에 인접한 영역은 같이 빗금칠이 될 수 없습니다.

예를 들어 $xy > 0$ 의 부등식의 영역은 아래의 두 영역이 참입니다.

(x>0

그리고

y>0)

또는

(x<0

그리고

y<0)

부등식의 영역에서는 $x = 0, y = 0$ , 즉 $x, y$ 축이 경계선이 됩니다. 그러므로, 좌표평면이 각 사분면으로 나누어집니다. 먼저 1사분면의 (1,1)을 대입하면, 부등식을 만족하므로 1사분면을 빗금칠합니다. 즉, 1사분면은 양수임을 나타냅니다.

그러나 인접한 2,4사분면은 빗금칠을 해서는 안됩니다. 왜냐하면, 1사분면에서 4사분면으로 경계선을 넘어가면 $y$ 좌표만 부호가 바뀌기 때문에 전체 부호가 양수에서 음수로 바뀌기 때문입니다. 마찬가지로 1사분면에서 2사분면도 같은 이유로 빗금칠을 해서는 안됩니다.

마찬가지로 2사분면에서 3사분면으로 넘어가면 1개의 부호가 바뀌기 때문에 음수에서 양수로 바뀝니다. 빗금칠을 해야 합니다.

인접하지 않은 영역으로 넘어가는 경우는 적용할 수 없습니다. 예를 들어, 1사분면에서 3사분면으로 넘어가는 경우가 해당됩니다.

짝수 제곱에 대한 이야기

여기서 인접한 두 영역이 동시에 빗금칠이 되거나 공백으로 남는 경우는 없는가?입니다.

결론부터 말하자면, 인접한 두 영역이 같이 빗금칠이 되거나, 동시에 빗금칠이 되지 않는 경우는 애초에 두 영역으로 나눌 필요가 없는 경우입니다. 한마디로 경계선이 아니라는 것입니다.

예를 들어 $x 2 y > 0$ 의 부등식을 영역을 표시해 보겠습니다.

먼저 $x 2 y = 0$ 을 풀어서 $x = 0$ 또는 $y = 0$ 을 표시합니다. 그럼 경계선이 위의 예제와 동일해집니다. 여기서 오류가 생깁니다. 짝수 제곱은 부호가 바뀌지 않기 때문에 경계선에 포함을 해서는 안됩니다.

또한 부등식에 등호가 없기 때문에 $x 2 = 0$ 을 만족하는 부분도 제외를 해야 합니다.

그러므로 이 예제는 $y > 0$ 와 부등식의 영역이 같습니다.

반면에 $x 2 y \geq 0$ 일 때에는 등호가 있을 때에는 조금 다릅니다. 짝수 제곱이 경계선에 포함은 되지 않지만, $x 2 = 0$ 을 만족하는 $x = 0$ (y축)은 해집합에 포함이 됩니다. 그러므로 $y \geq 0$ 의 부등식의 영역에 경계선 포함과 함께 $y$ 축 포함이라는 단어를 표시해야 합니다.