원과 부채꼴

원은 평면 위의 한 점, 즉 중심, ${\rm {O}}$ 에서 일정한 거리에 있는 모든 점으로 이루어진 도형이며, 경계를 참조하고, 내부는 원의 일부가 아닙니다. 원과 내부를 모두 포함하는 도형은 디스크입니다. 원에서 선분 또는 직선과 관련된 일부 용어는 다음을 포함합니다:

현(chord) : 원 위의 두 점을 이은 선분
반지름(radius) : 원의 중심 ${\rm {O}}$ 와 원 위의 한 점을 이은 선분
지름(diameter) : 원의 중심 ${\rm {O}}$ 를 통과하고 두 끝점이 원 위에 놓이는 선분
가름선(secant) : 원과 두 점에서 교차하는 직선
접선(tangent) : 원과 한 점에서 교차하는 직선

그 외, 선분 또는 직선으로 나타낼 수 없는 곡선 또는 영역으로 표현되는 몇 가지 용어가 있습니다:

호(arc) : 원을 두 점으로 잘랐을 때, 만들어지는 모양입니다.
부채꼴(sector) : 디스크의 중심과 디스크의 경계 위의 두 점을 이었을 때 만들어지는 모양입니다.
활꼴(segmant) : 디스크를 현으로 잘랐을 때, 보통 작은 부분을 지칭합니다.

호는 둘이 절반으로 나뉘지 않으면, 긴 것은 주요 호(major arc)라고 불리고, 작은 것은 보조 호(minor arc)라고 불립니다. 마찬가지로, 부채꼴도 절반으로 나뉘지 않으면, 큰 것을 주요 부채꼴, 작은 것을 보조 부채꼴이라고 불립니다.

물론, 원에서도 부채꼴, 활꼴의 용어를 사용하지만, 원은 경계 부분을 오직 정의하기 때문에, 엄밀하게 부채꼴과 활꼴은 디스크에서 정의된다고 생각할 수 있습니다.

게다가, 호는 원 위의 두 점 ${\rm {A,B}}$ 사이의 호를 기호로 나타낼 때, 곡선으로 나타내어야 하지만, 여기서는 아래와 같이 표현할 것입니다:

{\widehat {AB}}

여기서 문제가 생깁니다. 위에서 설명한 것처럼, 호는 원 위의 두 점이 주어졌을 때, 주요 호와 보조 호로 나뉘는데, 위의 표현은 어떤 호를 나타내는지 구별할 수 없습니다. 따라서, 보통 그림과 함께 제공되는 것이 공통적이며, 이때, 해당하는 호는 중심 각도를 표현한 것을 참조합니다. 그림을 제공하지 않을 때, 명시적으로 작은 것 또는 큰 것 중 어떤 것인지 명시적으로 설명을 추가해야 합니다.

이 상황은 부채꼴에서도 나타나므로, 같은 이유로 중심 각도를 표현한 것이 해당하는 부채꼴입니다.

부채꼴에서 몇 가지 관계

원의 최대 중심 각도가 360도이고, 그것의 일부, 말하자면, 중심 각도가 30도이면, 부채꼴이 만들어집니다. 이때, 중심 각도의 위치는 같은 원에서 임의의 위치에 놓일 수 있고, 중심 각도가 30도인 두 부채꼴은 원점을 중심으로 회전했을 때, 서로 완전하게 겹칩니다. 따라서, 같은 원에서 중심 각도가 같으면, 부채꼴의 넓이는 서로 같습니다.

같은 이유로, 같은 원에서 중심 각도가 같은면 호의 길이가 같습니다.

이제, 중심 각도가 30도인 부채꼴을 복사해서 경계인 반지름끼리 서로 합치면, 중심 각도가 60도인 부채꼴이 만들어집니다. 이것으로부터 새롭게 만들어진 부채꼴은 이전 부채꼴의 넓이의 2배가 됩니다. 즉 중심 각도가 60도인 부채꼴의 넓이는 중심각도가 30도인 부채꼴의 넓이의 2배입니다.

같은 이유로, 호의 길이 역시 2배가 됩니다.

이로부터, 같은 원에서 부채꼴의 넓이와 호의 길이는 중심 각도의 크기에 정비례함을 알 수 있습니다.

수학적 상수 $π$

수학에서 상수로 결정되어 있는 많은 것들이 있습니다. 이 중에서 원과 관련하여 $π$ 는 그것의 지름(diameter) $d$ 에 대한 원(circle)의 둘레(circumference) $C$ 의 비율(ratio)로 정의됩니다:

\pi ={\frac {C}{d}}.

이 값은 원의 반지름이 바뀌더라도 항상 일정하기 때문에, 그의 이름 상수를 갖게 됩니다. 기호로는 그리스어 소문자 $π$ 를 사용하고, 파이라고 읽습니다.

이 정의로부터, 원의 둘레는 다음과 같이 구해집니다:

C=\pi d=2\pi r.

여기서 $r$ 은 원의 반지름입니다. 또한, 원의 넓이는 다음과 같이 구해집니다:

S=\pi r^{2}

원의 넓이에 대한 공식의 유도 방법은 구분구적법에서 다루어집니다.

부채꼴의 호의 길이와 넓이

이전 두 섹션에서 다루어진 내용으로부터, 중심 각도의 크기가 $x^{\rm {o}}$ 인 부채꼴의 호의 길이와 넓이를 구할 수 있습니다.

중심 각도와 호의 길이는 정비례하므로, 다음 관게식이 성립합니다:

360:2\pi r=x:l

전체 원의 중심 각도 : 전체 원의 둘레 = 중심 각도

x

: 부채꼴의 호의 길이

즉, 전체 원의 중심 각도일 때의 원의 둘레의 길이의 비는 중심 각도가 바뀐 경우일 때의 부채꼴의 호의 길이와 비례 관계에 있습니다. 이것으로부터 다음 공식이 유도됩니다:

l=2\pi r\times {\frac {x}{360}}\cdots (1)

마찬가지 이유로, 다음 비례 식이 성립합니다:

360:\pi r^{2}=x:S

전체 원의 중심 각도 : 전체 원의 넓이 = 중심 각도

x

: 부채꼴의 넓이

따라서, 부채꼴의 넓이 $S$ 는 다음과 같이 구해집니다:

S=\pi r^{2}\times {\frac {x}{360}}\cdots (2)

위의 두 공식 (1),(2)로부터, 다음 식을 얻을 수 있습니다:

S={\frac {1}{2}}rl

부채꼴에서 몇 가지 관계

수학적 상수 π

부채꼴의 호의 길이와 넓이

수학적 상수 $π$