이차방정식

Main article: Quadratic equation

이차 방정식이란, 최고차항의 차수가 2인 다항 방정식을 말합니다. $x$에 관한 이차 방정식의 일반적인 모양은

$ax^{2}+bx+c=0,\quad a\neq 0$

와 같습니다.

여기서 주로 계수 $a,b,c$는 실수을 다루는데, 왜냐하면 이차방정식의 판별식을 이용하기 위해서, 계수는 반드시 실수여야 하기 때문입니다.

또한 이차함수와의 연계성을 위해서도 오직 실수계수 이차방정식을 다룹니다. 이차방정식의 판별식에서 중근의 경우는 계수가 복소수라도 가능합니다.

이차방정식의 풀이

이차방정식이 유리수 범위에서 인수분해가 가능하다면, 인수분해를 해서 근을 구하는 것이 가장 쉬운 방법입니다.

무리수나 복소수도 인수분해를 해서 풀 수도 있지만, 쉽게 계산이 되지 않기 때문에 잘 사용하지는 않습니다.

즉, $x$에 대한 이차방정식이 $a(x-\alpha )(x-\beta )=0$의 꼴로 인수분해가 된다면, 근은 아래와 같습니다.

$x=\alpha$ 또는 $x=\beta$

또는 $x$에 대한 이차방정식이 $(ax-b)(cx-d)=0$의 꼴로 인수분해가 된다면, 근은 아래와 같습니다.

$x={\frac {b}{a}}$ 또는 $x={\frac {d}{c}}$

인수분해가 되면 근을 구할 수 있는 것처럼, 2개의 근이 주어지면 이로부터 2차방정식을 유도할 수 있습니다. 이때 양변에 비-영의 임의의 숫자를 곱할 수 있으므로, 주어진 조건으로부터, 계수는 별도로 구해야 합니다.

인수분해가 되지 않거나 인수분해를 하기 싫은 경우에는 이차방정식의 근의 공식에 대입해서 해를 구할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

이차방정식 $x^{2}-x+1=0$의 한 근을 $\omega$라 놓습니다. $n$이 두 자리 자연수일 때, $\omega ^{3n}\times (\omega -1)^{2n}$의 값이 양의 실수가 되도록 하는 $n$의 개수는?

해설: mowoum:이차방정식#응용예제1

응용예제2

$a,b,c$가 실수일 때, $x$에 관한 방정식 $(x-a)(x+b)(x-c)=(x+a)(x-b)(x+c)$의 근에 대한 설명으로 옳은 것을 모두 고르시오.

(ㄱ) $a=1,b=1,c=2$이면 실근을 갖지 않습니다.

(ㄴ) $abc=0$이면 실근을 가집니다.

(ㄷ) $abc\neq 0$이고 $a=b=c$이면 실근을 가집니다.

해설: mowoum:이차방정식#응용예제2

응용예제3

그림과 같이 밑변의 두 변의 길이가 각각 $a\;(a>5)$와 4이고 높이가 4인 정육면체 $\mathrm {ABCD} -\mathrm {EFGH}$에서 선분 $\mathrm {DE}$와 선분 $\mathrm {CF}$ 위에 각각 선분 ${\overline {\mathrm {DP} }}={\overline {\mathrm {FQ} }}={\sqrt {2}}$인 점 $\mathrm {P}$와 $\mathrm {Q}$를 잡는다. 점 $\mathrm {P}$에서 직육면체의 겉면을 따라 점 $\mathrm {Q}$에 도달하는 최단거리가 $2{\sqrt {34}}$일 때, $30a$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차방정식#응용예제3

응용예제4

$x+y=10,\;xy=1$을 만족하는 실수 $x,\;y$에 대하여 $T_{n}={\frac {1}{2}}\left(x^{n}+y^{n}\right)$이라 할 때, 다음 중 $T_{2014}+T_{2016}$의 값과 같은 것은? (단, $n$은 자연수)

(ㄱ) $10T_{2015}\quad$ (ㄴ) $T_{2015}+10\quad$ (ㄷ) $5_{2015}$

(ㄹ) $T_{2015}+6\;$ (ㅁ) $5T_{2015}+6$

해설: mowoum:이차방정식#응용예제4

응용예제5

이차다항식 $f(x)$가 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x^{2})+f(x)f(x+1)=0$을 만족시키며 이차방정식 $f(x)=0$이 적어도 하나의 실수인 근을 가진다고 할 때, 이차방정식 $f(x)=0$의 모든 실근의 합을 구하시오.

해설: mowoum:이차방정식#응용예제5