이차방정식의 근의 공식

이차방정식이 인수분해가 되지 않으면, 완전제곱식으로 변형해서 근을 구할 수 있습니다. 그러나 매번 이 과정을 반복하기는 귀찮기 때문에 이차방정식의 일반꼴을 완전제곱식으로 변형해서 근을 구합니다. 이 구해진 식을 이차방정식의 근의 공식이라고 합니다.

이차방정식의 근의 공식의 유도과정은 다음과 같습니다.

$ax^{2}+bx+c=0$ 에서, $a$ 는 $0$ 이 아니므로 양변을 $a$ 로 나눌 수 있습니다. 이렇게 이차항 $x^{2}$ 의 계수를 $1$ 로 만듭니다. 왜냐하면, 완전제곱식이 되기 위해서 더해질 상수항을 쉽게 구하기 위함입니다.

\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0

이제 상수항만 우변으로 이항합니다.

\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}

완전제곱식을 만들기 위해 일차항 $x$ 의 계수를 $2$ 로 나누고 제곱한 값을 양변에 더해줍니다.

\displaystyle x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}

\left(\displaystyle x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}={-{4ac}+{b^{2}} \over {4a^{2}}}

완전제곱식에 대한 해는 제곱근으로 구해집니다.

\ x+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}{2a}}

여기서 분모의 제곱근을 잠시 살펴보겠습니다. $\pm {\sqrt {4a^{2}}}=\pm 2|a|$ 이지만, 앞에 부호가 $\pm$ 이 있을 때에는 절댓값이 의미가 없어집니다. 그래서 $\pm 2a$ 라고 쓸 수 있습니다. 또한 분자쪽에도 $\pm$ 이 있기 때문에 분모에는 쓰지 않아도 상관없으므로 $2a$ 라고 씁니다.