이차부등식 만들기

이차부등식이 주어진 경우에 해집합을 구하는 과정을 알아보았습니다.

여기서는 역과정인 주어진 해집합을 만족하는 이차부등식 만드는 과정에 대해 알아보겠습니다.

먼저 고려해야 할 사항은 해집합이 주어질 때, 경계점이 몇개가 주어지는지가 가장 중요한 지점입니다.

예를 들어, 해집합 $2<x<3$인 이차부등식은 이차방정식에 해당하는 부분이 서로 다른 두 실근을 갖는 경우입니다.

다른 예로, 해집합이 $x=3$인 이차부등식은 이차방정식에 해당하는 부분이 중근을 갖는 완전제곱식 모양이 됨을 의미합니다.

영역으로 주어지는 경우

해집합이 $\alpha <x<\beta$인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.

$a(x-\alpha )(x-\beta )<0,\;(a>0)$

다른 조건에 의해 $a$를 구해야 합니다.

만약 $a\leq 0$가 나오면 문제 출제가 잘못된 경우입니다.

해집합이 $x<\alpha \;$ 또는 $x>\beta$인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.

$a(x-\alpha )(x-\beta )>0,\;(a>0)$

한 점으로 주어지는 경우

해집합이 $x\neq \alpha$인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.

$a(x-\alpha )^{2}>0,\;(a>0)$

해집합이 $x=\alpha$인 이차부등식은 다음과 같이 구해집니다.

$a(x-\alpha )^{2}\leq 0,\;(a>0)$

기본예제

기본예제1

이차부등식 $ax^{2}+bx+c<0$의 해가 $-2<x<1$일 때, 부등식 $bx^{2}+cx-3a>0$의 해를 구하여라.

해설) 이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$라고 두면, 해집합이 경계점이 2개이므로 $x$축과 2곳에서 만나야 합니다. 또한 부등호의 방향으로부터 이차함수가 $x$축 아래부분에서 두 근의 사이를 해집합으로 가질려면, 그래프의 개형으로부터 이차항의 계수는 $a$는 양수이어야 합니다. 즉, 다음과 같이 이차부등식을 구성할 수 있습니다.

$a(x+2)(x-1)<0$

$a(x+x-2)<0$

원식과 비교하면, $b=a,c=-2a$임을 알 수 있습니다. 구하고자하는 식에 대입을 합니다.

$ax^{2}-2ax-3a>0$

여기서 $a$가 양수이므로 $a$로 나누어도 부등호의 방향은 바뀌지 않습니다.

$x^{2}-2x-3>0$

근이 $-1,3$으로 2개이며, 그래프를 그렸을 때 $x$축보다 위쪽에 있는 모양이 선택되어집니다. 해집합은 다음과 같습니다.

$x<-1$ 또는 $x>3$