이차부등식

이차부등식은 이차방정식에서 등호 대신에 부등호가 사용되면 이차부등식이 됩니다. 이차부등식의 해집합을 구할 때에는 부등호 대신에 등호를 사용해서 방정식을 먼저 생각합니다. 이 방정식의 서로 다른 실근의 개수에 따라 3가지 종류로 나누어서 이차부등식을 풉니다.

여기서는 선행(최고차) 계수가 오직 양수를 다룹니다. 선행 계수가 음수에 대해, 양변에 –1을 곱해서 선행 계수를 양수로 만들고 적용해야 합니다. 다만 음수를 곱할 때에는 부등호가 바뀌는 점을 조심하십시오.

서로 다른 2개의 실근

두 근의 사이

이차방정식이 2개의 실근을 갖는 경우의 해집합은 다음과 같이 구합니다.

$(x-\alpha )(x-\beta )<0\quad ($단, $\;\alpha <\beta )$

두 개의 실수의 곱이 음수가 되는 경우는 다음과 같은 2가지 경우가 있습니다.

${\begin{aligned}&(x-\alpha )>0\;{\text{and}}\;(x-\beta )<0&\cdots (1)\\&(x-\alpha )<0\;{\text{and}}\;(x-\beta )>0&\cdots (2)\end{aligned}}$

각각의 경우에 대한 해집합은 다음과 같습니다.

${\begin{aligned}&\alpha <x<\beta &\cdots (3)\\&\phi &\cdots (4)\end{aligned}}$

정답은 $(3)\cup (4)$이므로 $\alpha <x<\beta$입니다.

이것으로부터, 이차부등식의 계수가 양수이고 두 근을 가지는 경우에 0보다 작으면 두 근의 사이라고 외우는 것인데, 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계로 보다 그래픽적으로 이해해 두는 것이 필요합니다.

두 근의 바깥쪽

부등호의 방향이 반대인 경우에는 다음과 같습니다.

$(x-\alpha )(x-\beta )>0\quad (where,\;\alpha <\beta )$

두 개의 실수의 곱이 양수가 되는 경우는 다음과 같은 2가지 경우가 있습니다.

${\begin{aligned}&(x-\alpha )>0\;{\text{and}}\;(x-\beta )>0&\cdots (1)\\&(x-\alpha )<0\;{\text{and}}\;(x-\beta )<0&\cdots (2)\end{aligned}}$

각각의 경우에 대한 해집합은 다음과 같습니다.

${\begin{aligned}&x>\beta &\cdots (3)\\&x<\alpha &\cdots (4)\end{aligned}}$

정답은 $(3)\cup (4)$이므로 $x<\alpha \;{\text{or}}\;x>\beta$입니다.

중근인 경우

중근인 경우에는 이차식이 완전제곱식이 된다는 말입니다. 실수의 완전제곱식은 (실수)² ≥ 0이기 때문에 문제에서 주어지는 부등호에 따라 답이 달라집니다.

부등식	해집합
$(x-\alpha )^{2}\geq 0$	해는 모든 실수
$(x-\alpha )^{2}>0$	해는 $x\neq \alpha$인 실수
$(x-\alpha )^{2}\leq 0$	해는 $x=\alpha$
$(x-\alpha )^{2}<0$	해 없음

허근인 경우

실근이 없고 2개의 허근을 갖는 경우는 이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계에서 판별식이 음수인 경우입니다. 이때에는 이차식을 완전제곱식으로 바꾸면, 다음과 같이 경우입니다.

$ax^{2}+bx+c=a(x+p)^{2}+q\;(where,\;a>0,\;q>0)$

이 식은 미지수에 어떤 값을 대입하더라고 최솟값이 $q$로 반드시 양수입니다. 예를 들어 다음의 경우처럼 해집합은 쉽게 구할 수 있습니다.

부등식	해집합
$(x+2)^{2}+3\geq 0$	해는 모든 실수
$(x+2)^{2}+3>0$	해는 모든 실수
$(x+2)^{2}+3\leq 0$	해 없음
$(x+2)^{2}+3<0$	해 없음

기억해둘 만한 것

고등학교 교과과정에서 이차부등식을 푸는 것은 어려운 부분은 아닙니다. 다만, 이전 과정과는 다르게 이차부등식의 해집합을 물어보는 것보다는 어떤 이차부등식의 해집합이 주어지는 경우에 계수나 다른 것을 물어보는 경우가 많습니다.

즉, 결과를 계산하는 것보다는 결과가 나온 것에 대한 분석을 하는 쪽으로 문제의 유형이 바뀝니다.

여기서는 적어도 해집합이 이상한 모양일 때에는 어떤 경우인지 정도는 알아두어야 합니다. 해가 없는 경우는? 해가 모든 실수인 경우는? 부등식의 해가 실수 1개인 경우는?

응용예제

응용예제1

다음 연립부등식의 해가 존재하지 않을 때,

$\left\{{\begin{aligned}x^{2}-2x-8<0\cdots (1)\\|x-k|<2\cdots (2)\end{aligned}}\right.$

자연수 $k$의 최솟값을 구하십시요.

해설: mowoum:이차부등식#응용예제1

응용예제2

$0<a<3$일 때, 이차부등식 $x^{2}+2ax+2a\geq 0$의 해를 구하는 풀이과정을 서술하고 답을 구하시오.

해설: mowoum:이차부등식#응용예제2

응용예제3

이차부등식 $(x-a)(x+2a-4)<-16$을 만족시키는 실수 $x$가 존재하지 않도록 하는 실수 $a$의 최댓값을 $M$, 최솟값을 $m$이라 할 때, $4M+3m$의 값은?

해설: mowoum:이차부등식#응용예제3