이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계

이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계에 대해서 알아보았습니다. 이제 개념을 확장해서 이차함수와 직선이 만나는지 유무에 대해 알아보겠습니다.

일반화

이차함수 $y=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}$와 직선 $y=mx+n$이 만나는 경우는 이 둘을 연립방정식을 풀었을 때, $a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1}=mx+n$ 실근을 갖게 되는 경우입니다. 여기서 표현되지 않는 $x=k$와 같은 직선도 같은 방법으로 사용가능합니다.

왜냐하면, 위의 식을 항을 정리해서 만들어지는 $a_{1}x^{2}+(b_{1}-m)x+(c_{1}-n)=0$은 이차함수 $y=a_{1}x^{2}+(b_{1}-m)x+(c_{1}-n)$와 $y=0$(x축) 사이의 위치 관계에 해당되기 때문입니다. 즉, $a_{1}=a,(b_{1}-m)=b,(c_{1}-n)=c$로 치환하면, $y=ax^{2}+bx+c$의 일반적인 이차함수가 되기 때문입니다.

예를 들어, $y=x^{2}$과 $y=4x-3$이 만나는 문제는:

연립방정식 $x^{2}=4x-3$을 거쳐서

$x^{2}-4x+3=0$으로 정리한 후에

$y=x^{2}-4x+3$와 $y=0$(x축)과 위치 관계로 다룰 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

그림과 같이 이차함수 $y=x^{2}-5x+5$의 그래프가 $x$-축과 만나는 점을 각각 $A,B$라 놓습니다. 점 $A$와 점 $(0,-1)$을 지나는 직선 $l$이 이차함수와 만나는 점의 $x$ 좌표를 $q$라 하고, 점 $B$와 점 $(0,-3)$을 지나는 직선 $m$이 이차함수와 만나는 점의 $x$좌표를 $p$라 할 때, $6p+8q$의 값은 얼마일까요?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제1

응용예제2

이차항의 계수가 –2인 이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 모두 만족합니다.

(가) 이차함수 $y=f(x)$의 그래프의 대칭축의 방정식은 $x=1$입니다.

(나) 이차함수 $y=f(x)$의 그래프는 직선 $y=2x-1$과 접합니다.

이때, 함수 $y=f(x)$의 그래프와 $x$-축의 교점의 $x$-좌표를 $\alpha ,\beta$라 할 때, $|\alpha -\beta |$의 값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제2

응용예제3

그림과 같이 이차함수 $y=x^{2}-3x-4$의 그래프와 직선 $y=x+6$이 만나는 서로 다른 두 점 $A,\;B$와 원점 $O$에 대하여 삼각형 $\mathrm {OAB}$의 넓이를 $S$라 할 때, ${\frac {1}{9}}S^{2}$의 값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제3

응용예제4

$y=2x-ka+a^{2}$이 실수 $k$의 값에 관계없이 이차함수 $y=x^{2}+kx-4$의 그래프와 만날 때, 실수 $a$의 최댓값을 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제4

응용예제5

다음 그림과 같은 두 직각이등변삼각형 $\mathrm {ABC} ,\;\mathrm {DEF}$가 있습니다. 이차함수 $y=ax^{2}-4ax+4a\;(a>0)$의 그래프와 두 삼각형 $\mathrm {ABC} ,\;\mathrm {DEF}$의 교점의 개수를 $f(a)$라 할 때, 보기 중 옮은 것은?

(가) $f\left({\frac {1}{4}}\right)=4$

(나) $0<a<{\frac {1}{36}}$이면 $f(a)=1$

(다) $a>1$이면 $f(a)=4$

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제5

응용예제6

다음 함수

$y=\left\{{\begin{aligned}x^{2}-3x-4&\quad (x<-1\;{\mbox{or}}\;x>4)\\-x^{2}+3x+4&\quad (-1\leq x\leq 4)\end{aligned}}\right.$

의 그래프와 직선 $y=-x+k$가 서로 다른 네 점에서 만나도록 하는 실수 $k$의 범위를 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제6

응용예제7

그림과 같이 이차함수 $f(x)=x^{2}-5x+m$과 일차함수 $g(x)=ax+b$에 대하여 $y=f(x),\;y=g(x)$의 그래프가 서로 다른 두 점 $\mathrm {P} ,\;\mathrm {Q}$에서 만납니다. 점 $\mathrm {P}$의 $x$-좌표가 $3-{\sqrt {11}}$이고, $h(x)=g(x)-f(x)$라 할 때, 함수 $h(x)$는 $x=p$에서 최댓값 $q$를 가집니다. $p+q$의 값은? (단, $a,\;b,\;m$은 유리수)

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제7

응용예제8

이차함수 $y=x^{2}+(a+2)x+b-4$의 그래프가 직선 $y=3x+2$와 점 $(-1,-1)$에서 접할 때, 실수 $a,b$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제8

응용예제9

이차함수 $f(x)$가 다음 조건을 만족시킵니다.

(가) $f(2)=0$

(나) 모든 실수 $x$에 대하여 $f(x)\leq f(5)$

다음 중 옳은 것을 전부 고르세요.

ㄱ. $f(3)=f(7)$

ㄴ. 이차함수 $f(x)$의 그래프는 제2사분면을 지나지 않습니다.

ㄷ. $f(1)=k$라 할 때, 이차함수 $f(x)$의 그래프와 직선 $y=kx$의 서로 다른 두 교점의 $x$-좌표의 합은 10입니다.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제9

응용문제10

이차함수 $y=f(x)$와 원점을 지나는 일차함수 $y=g(x)$가 두 점 $\mathrm {A,B}$에서 만납니다. 이차함수의 꼭짓점이 점 (1,2)이고 선분 $\mathrm {AB}$의 중점이 점 $\left({\frac {1}{2}},1\right)$일 때, 두 함수 $f(x),g(x)$를 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제10

응용예제11

이차함수 $y=-x^{2}+2x$위의 점 중에서 직선 $y=-2x+5$에 이르는 거리가 최소인 점의 좌표를 구하여라.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제11

응용예제12

이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$가 점 (1,1)을 지나고, 점 (2,–1)에서 직선 $y=x-3$과 접할 때, 상수 $a,b,c$의 값을 구하여라.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제12

응용예제13

두 직선 $y=ax+1,\;y=bx+1$은 서로 수직 관계이고, 이차함수 $y=-x^{2}+2x+{\frac {c}{4}}$의 그래프와 두 직선은, 각각, 한 점에서 만납니다. 이때, $a+b+c$의 값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제13

응용예제14

조각별로 정의된 함수

$f(x)=\left\{{\begin{aligned}(x-1)^{2}&\quad 0<x<3\\5&\quad 3\leq x<4\\-3x+17&\quad 4\leq x\leq 6\end{aligned}}\right.$

위의 한 점(x ≠ 4)과 점 $(4,5)$를 지나는 직선의 방정식의 기울기의 최댓값을 $\mathrm {M}$, 최솟값을 $m$이라 하자. $2\mathrm {M} +m$의 값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제14

응용예제15

이차방정식 $x^{2}-(4a+2)x+2a+3=0$이 $-1\leq x\leq 5$에서 실근을 갖도록 하는 $a$ 값의 범위를 구하는 풀이과정과 답을 서술하시오. [10점, 부분점수 있음]

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제15

응용예제16

이차방정식 $x^{2}-(m+1)x+2m=0$이 $-1\leq x\leq 1$에서 적어도 한 개의 실근을 갖도록 하는 실수 $m$의 값의 범위는 $p\leq m\leq q$이다. 이때, ${\frac {9}{2}}p+q$의 값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제16

응용예제17

이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식

$f(|x|)+3=0$

의 모든 실근의 합을 구하여라.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제17

응용예제18

이차함수 $y=x^{2}-1$의 그래프와 직선 $y=ax\;(a>0)$의 두 교점을 $\mathrm {P,Q}$라 하면 ${\overline {\mathrm {OP} }}\times {\overline {\mathrm {OQ} }}=17$이 성립할 때, 상수 $a$의 값을 구하시오. (단, O는 원점이다.)

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제18

응용예제19

그림과 같이 이차함수 $y=x^{2}-1$의 그래프와 직선 $y=kx$의 서로 다른 두 교점을 $\mathrm {A,B}$라 하고, 두 점 $\mathrm {A,B}$에서 각각 이차함수 $y=x^{2}-1$의 그래프에 접하는 직선을 그었을 때의 두 직선의 교점을 $\mathrm {C}$라 하자. 두 점 $\mathrm {A,B}$의 $x$-좌표를 각각 $\alpha ,\;\beta$라 할 때, $\alpha +\beta =4$를 만족시키는 삼각형 $\mathrm {ACB}$의 넓이를 구하시오. (단, $k$는 상수이다.)

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제19

응용예제20

그림과 같이 일차함수 $y=f(x)$의 그래프는 점 $(8,0)$을 지나고, 이차함수 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=8$을 축으로 한다. 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프가 만나는 서로 다른 두 점의 $x$-좌표가 각각 4, 16일 때, 방정식 $|f(x)|+g(x)=0$의 모든 실근의 곱을 구하시오.

(단, 두 함수 $f(x),g(x)$의 선행 계수의 계수는 양수이다.)

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제20

응용예제21

함수 $f(x)=x^{2}-4ax+a$에서 $O<x<1$일 때의 함숫값이 항상 양수가 되도록 하는 상수 $a$의 값의 범위를 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제21

응용예제22

그림과 같이 일차함수 $y=x$의 그래프와 이차함수 $y=x^{2}$의 그래프로 둘러싸인 도형이 있다. 이차함수 $y=x^{2}$의 그래프 위에 두 점 $\mathrm {A,B}$를 잡고, 직선 $y=x$ 위에 두 점 $\mathrm {C,D}$를 잡아 이 도형 위에 정사각형 $\mathrm {ABCD}$를 그린다. 이 정사각형 $\mathrm {ABCD}$의 대각선의 길이가 $2{\sqrt {a}}+b$일 때, $a+b$의 값을 구하시오. (단, a, b는 유리수이다.)

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계#응용예제22