이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계

이 부분은 이차함수의 그래프와 직선의 위치 관계에서 특별한 경우에 해당됩니다. x축도 직선의 일종이므로 이것을 별도로 이해할 필요는 없습니다.

그러나 일반적인 이차함수와 일반적인 직선이 만나는지를 표현하는 것이 쉽지 않기 때문에 먼저 이것을 서술해서 이해를 돕기 위함입니다.

먼저, 실계수 이차방정식은 판별식을 통해서 실근의 개수를 파악할 수 있었습니다. 또한 일차함수의 절편에서 일차방정식과 일차함수의 $x$절편 사이의 관계에 대해서도 설명을 했습니다.

이차방정식의 판별식이 양수인 경우

이차방정식 $x^{2}-4x+3=0$은 판별식이 $D/4=b'^{2}-ac=2^{2}-1\cdot 3=1$이므로 서로 다른 2개의 실근을 갖게 됩니다.

한편, $y=x^{2}-4x+3$의 그래프의 개형을 그려보면, 최고차항이 양수이므로 아래로 볼록입니다. 대칭축의 방정식은 $x=2$이며, 꼭짓점의 $x$좌표입니다. 꼭짓점의 $y$좌표는 $y=-1$입니다. 즉, 꼭짓점의 $y$좌표가 음의 값을 가지면서 아래로 볼록이므로 양쪽으로 올라가면서 $x$축과 만나서, $x$절편이 2개 생깁니다.

이차방정식의 판별식이 0인 경우

위의 이차방정식의 상수항을 조금 조절해서 $x^{2}-4x+4=0$로 만들면 판별식이 $D/4=b'^{2}-ac=2^{2}-1\cdot 4=0$이므로 중근(서로 같은 2개의 실근)을 갖게 됩니다.

이 경우에 $y=x^{2}-4x+4$의 그래프는 대칭축과 꼭짓점의 $x$좌표는 변화가 없고, 꼭짓점의 $y$좌표는 대입해서 $y=0$을 얻어낼 수 있습니다. 즉, 꼭짓점이 $x$축 위에 놓여서 $x$절편이 1개 생깁니다. 이 경우를 $x$축에 접한다라고 표현합니다.

이차방정식의 판별식이 음수인 경우

상수항을 조금 더 조절해서 $x^{2}-4x+5=0$로 만들면 판별식이 $D/4=b'^{2}-ac=2^{2}-1\cdot 5=-1$이므로 실근을 갖지 않습니다.

이 경우 꼭짓점의 $y$좌표는 대입해서 $y=1$을 얻어낼 수 있습니다. 즉, 꼭짓점이 $x$축보다 위에 있어서 $x$절편이 생기지 않습니다.

일반화

이차함수와 $x$축이 만나는지에 대한 문제는 아래와 같습니다.

이차함수 $y=ax^{2}+bx+c$와 $y=0$(x축)이 만나는지에 대한 문제는 두 도형에 대한 연립방정식인 $ax^{2}+bx+c=0$의 실근의 문제입니다.

이 경우에는 이차방정식이므로 판별식을 이용해서 만남의 유무를 쉽게 구할 수 있습니다. 또한 만나는 지점의 $x$좌표는 인수분해 또는 근의 공식을 이용해서 구할 수 있습니다.

응용예제

응용예제1

$x^{2}$의 계수가 1인 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$-축과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm {A,B}$라 하고, 꼭짓점을 $\mathrm {C}$라고 놓습니다. $\triangle \mathrm {ABC}$가 $\angle \mathrm {C} =90^{\circ }$인 직각삼각형일 때, $f(x)$의 최솟값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제1

응용예제2

$m,\;n$은 정수이고, $f(x)=x^{2}+2mx+n$에 대하여 다음이 성립할 때,

(가) 다항식 $f(-1)$이 음수입니다.

(나) $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 두 점이 $\mathrm {A,\;B}$이고, 꼭짓점이 $\mathrm {C}$일 때, 삼각형 $\mathrm {ABC}$의 각 변 길이의 제곱의 합이 8입니다.

$m-n$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제2

응용예제3

그림은 최고차항의 계수가 1이고 $f(-2)=f(4)=0$인 이차함수 $y=f(x)$의 그래프입니다. 함수 $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=-f(x)+4$의 그래프의 꼭짓점을 각각 $A,B$라 하고, 함수 $y=f(x)$의 그래프와 함수 $y=-f(x)+4$의 그래프가 만나는 두 점을 각각 $C,D$라 놓습니다. 사각형 $ABCD$의 넓이는?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제3

응용예제4

이차함수 $f(x)=ax^{2}+bx+c$가 다음 조건을 만족시킬 때, (ㄱ, ㄴ, ㄷ)중에서 옳은 것을 전부 고르세요. (단, $a,\;b,\;c$는 실수입니다.)

(가) 함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$-축과 만나는 점의 $x$-좌표의 곱은 영입니다.

(나) $f(-2)+f(2)<0$

(다) $-2\leq x_{1}<x_{2}\leq 2$이면 $f(x_{1})>f(x_{2})$입니다.

ㄱ. $f(1)>0$

ㄴ. $b\leq 4a$

ㄷ. 방정식 $f(x)=0$의 두 근의 합은 $-4$보다 크거나 같습니다.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제4

응용예제5

두 함수 $f(x)=x^{2}-x+k$, $g(x)=-x^{2}+3x$의 그래프의 서로 다른 두 교점을 $\mathrm {P,Q}$라고 놓습니다. 선분 $\mathrm {PQ}$와 직선 $x=3$이 만나지 않기 위한 정수 $k$의 개수는?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제5

응용예제6

이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 그림과 같을 때, 방정식

$f\left(|f(x)|\right)=0$

의 실근의 개수는 $a$이고, 실근 중에서 가장 작은 근과 가장 큰 근의 합은 $b$이다. 이때, ${\frac {a}{b}}$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제6

응용예제7

이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 두 점 $\mathrm {A,B}$에 대하여 ${\overline {\mathrm {AB} }}=l$이라 하자. $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=1$과 만나는 서로 다른 두 점 $\mathrm {C,D}$에 대하여 ${\overline {\mathrm {CD} }}=l+1$, $y=f(x)$의 그래프가 직선 $y=4$와 만나는 서로 다른 두 점 $\mathrm {E,F}$에 대하여 ${\overline {\mathrm {EF} }}=l+3$이다. $l$의 값은?

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제7

응용예제8

두 방정식

${\begin{aligned}&x^{2}+2mx+1=0&&\cdots (1),\\&x^{2}+2x+m=0&&\cdots (2)\end{aligned}}$

은 각각 서로 다른 두 실근을 갖는다. (1)의 두 근이 (2)의 두 근보다 항상 크기 위한 실수 $m$의 값의 범위가 $a<m<b$일 때, $a+b$의 값을 구하시오.

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제8

응용예제9

최고차항의 계수가 각각 ${\frac {1}{2}},2$인 두 이차함수 $y=f(x)$, $y=g(x)$가 다음 조건을 만족시킨다

(ㄱ) 두 함수 $y=f(x)$와 $y=g(x)$의 그래프는 직선 $x=p$를 축으로 한다.

(ㄴ) 부등식 $f(x)\geq g(x)$의 해는 $-1\leq x\leq 5$이다.

$p\times \left\{f(2)-g(2)\right\}$의 값을 구하시오. (단, p는 상수이다.)

해설: mowoum:이차함수의 그래프와 x축의 위치 관계#응용예제9