이항정리

See also: Binomial theorem

다항식의 곱셈공식은 자주 사용하는 다항식의 전개 결과를 다룹니다. 그렇지만, 차수가 올라갈수록 기억해야 할 식이 복잡해지기 때문에 높은 차수를 잘 다루지 않습니다.

한편, 곱셈공식에서 같은 식에 대해 거듭제곱만 바뀐 식이 있습니다:

$\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$\left(a+b\right)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$

이 식 (a + b)는 단항식이 아닌 이항식을 일반화한 모양입니다. 그래서, 더 복잡한 식의 전개를 다루기 전에, 가장 먼저 이 이항식의 높은 거듭제곱의 전개를 알아둘 필요가 있습니다. 이와 같이 이 이항식의 n번째 거듭제곱 $(a+b)^{n}$에 대한 결과를 다루는 것이 이항정리 또는 이항전개입니다.

예를 들어, 다음 식을 전개해 보겠습니다.

$(a+b)^{4}=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)$

전개는 곱의 법칙을 따르기 때문에, 이항식 (a + b) 각각마다 a 또는 b를 선택할 수 있으므로, 전체 2×2×2×2=16가지의 경우의 수가 발생합니다. 따라서, 전개했을 때, 16개의 항이 만들어고, 동류항을 정리하면 5개의 서로 다른 항이 만들어집니다.

먼저, 왜 5개의 서로 다른 항이 만들어질까요? 그 이유는 다음과 같습니다.

• 선택의 횟수는 전체 4번입니다.
• 각 선택마다 $a$ 또는 $b$를 선택할 수 있습니다.
• 그러므로, $a$ 또는 $b$를 선택한 횟수에 따라 서로 다른 항이 만들어집니다.
• 만약 전체 4번 모두 $a$를 선택하면, $a^{4}b^{0}$이고, 같은 이유에서,
• 다른 항들은 $a^{3}b^{1}$, $a^{2}b^{2}$, $a^{1}b^{3}$, 그리고 $a^{0}b^{4}$가 있습니다.
• 따라서, 5개의 서로 다른 항이 만들어집니다.

한편, 각 항들에 곱해지는 계수는 얼마일까요?

이항식 (a + b)는 모두 계수가 1이므로, 서로 다른 5개의 항의 계수는 동류항의 개수가 해당 항의 계수가 됩니다. 예를 들어, $a^{3}b^{1}$은 동류항은 4개가 발생합니다. 왜냐하면, 전체 선택 횟수 4번 중에 a를 3번 선택하고 남아 있는 1번은 b를 선택하기 때문입니다. 그러므로, $C(4,3)$의 조합으로 생각할 수 있습니다. 나머지 항들도 값은 논리를 적용하면 다음과 같이 전개식을 완성할 수 있습니다.

${4 \choose 4}a^{4}b^{0}+{4 \choose 3}a^{3}b^{1}+{4 \choose 2}a^{2}b^{2}+{4 \choose 1}a^{1}b^{3}+{4 \choose 0}a^{0}b^{4}$

이 형태는 a에 선택 횟수를 부여하고, 나머지에 b를 선택하는 논리로 표현한 것입니다. 반면에 b에 선택 횟수를 부여하고, 나머지에 a를 선택하는 논리로 표현한 식은 다음과 같습니다:

${4 \choose 0}a^{4}b^{0}+{4 \choose 1}a^{3}b^{1}+{4 \choose 2}a^{2}b^{2}+{4 \choose 3}a^{1}b^{3}+{4 \choose 4}a^{0}b^{4}$

물론, 위의 두 식은 조합의 성질 $C(n,k)=C(n,n-k)$에 따라 서로 같습니다.

한편, 다른 방법으로 이 계수를 구하는 방법이 있습니다. 예를 들어, $a^{3}b^{1}$의 계수는 a, b를 각각 3개, 1개를 줄세우는 것과 같습니다. 따라서 ${\frac {4!}{3!}}$으로 구할 수도 있습니다. 즉,

${\frac {4!}{4!0!}}a^{4}b^{0}+{\frac {4!}{3!1!}}a^{3}b^{1}+{\frac {4!}{2!2!}}a^{2}b^{2}+{\frac {4!}{1!3!}}a^{1}b^{3}+{\frac {4!}{0!4!}}a^{0}b^{4}$.

물론, 위의 3개의 식은 완전히 동일합니다.

이제, 이것을 확대해서, 자연수 n에 대해, $(a+b)^{n}$에 대한 전개식을 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

$(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+\cdots +{n \choose k}a^{n-k}b^{k}+\cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n}$

이를 이항정리라고 하고, 각 항의 계수

${n \choose 0},{n \choose 1},{n \choose 2},\cdots ,{n \choose k},\cdots ,{n \choose n-1},{n \choose n}$

을 이항계수라고 합니다. 또한, $C(n,k)a^{n-k}b^{k}$는 이항정리의 일반항이라고 합니다. 물론 이항정리의 일반항은 순열을 사용하여 ${\frac {n!}{(n-k)!k!}}a^{n-k}b^{k}$로 쓸 수도 있습니다.

파스칼의 삼각형

Main articles: Pascal's triangle and Pascal's rule

In Pascal's triangle, each number is the sum of the two numbers directly above it.

파스칼의 삼각형은, 이항 계수를 조합을 이용해서 구하지 않고, 삼각형 형태로 배열해 둔 후에 눈으로 찾아서 사용할 목적으로 만들어졌습니다. 계수의 삼각형 행태의 배열에서, 파스칼의 규칙, 즉, n보다 크지 않은 자연수 k–1에 대해 $C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)$를 사용하여 나열합니다.

0:									1
1:								1		1
2:							1		2		1
3:						1		3		3		1
4:					1		4		6		4		1
5:				1		5		10		10		5		1
6:			1		6		15		20		15		6		1
7:		1		7		21		35		35		21		7		1
8:	1		8		28		56		70		56		28		8		1

주어진 행들 사이의 몇 가지 특성은 다음과 같습니다:

• 어떤 행의 원소의 합은 바로 직전 행에 있는 원소의 합의 두 배입니다. 예를 들어, (제일 위의 행) 행 0는 1의 값을 가지고, 행 1은 2의 값을 가지고, 행 2는 4의 값을 가집니다. 이것은 행에서 모든 항목이 다음 행에서 두 개의 항목: 하나는 왼쪽이고 다른 하나는 오른쪽을 생성하기 때문입니다. 따라서, 행 n의 원소의 합은 2ⁿ입니다.
• 만약 각 엔트리가 십진 자릿수로 여겨지면 (그리고 9보다 큰 숫자는 적절히 올림수로 여겨지면), 행의 값은 11의 거듭제곱입니다 (행 n에 대해, 11ⁿ). 따라서, 행 2에서, ⟨1, 2, 1⟩은 11²이 되고, 반면에, 행 5에서, ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩은 (올림수가 발생 후에) 161,051이 되며, 이것은 11⁵입니다. 이 속성은 (x + 1)ⁿ의 이항 전개에서 x = 10으로 설정하고, 십진 시스템으로 값을 조정하여 설명됩니다. 그러나 x는 행을 임의의 밑수(any base)에서 표현하기 위해 선택될 수 있습니다.
  • 밑수 3에서: 1 2 1₃ = 4² (16)
  • ⟨1, 3, 3, 1⟩ → 2 1 0 1₃ = 4³ (64)
  • 밑수 9에서: 1 2 1₉ = 10² (100)
  •               1 3 3 1₉ = 10³ (1000)
  • ⟨1, 5, 10, 10, 5, 1⟩ → 1 6 2 1 5 1₉ = 10⁵ (100000)
• 행 n의 원소의 제곱의 합은 행 2n의 중간 원소와 같습니다. 예를 들어, 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 70. 일반적인 형식에서:

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$.

• n ≥ 0, 행 2ⁿ-1에서 모든 각 엔트리는 홀수입니다.
• 극성: 파스칼의 삼각형의 행의 원소가, 중간 숫자를 갖는 모든 각 행, 즉 홀수의 정수를 가진 행은, 중간 숫자로부터 연속적으로 함께 빼고 더한 것은 결과로 0을 제공합니다. 예를 들어, 행 4는 1 4 6 4 1이므로, 수식은 6 – (4+4) + (1+1) = 0이 되고; 그리고 행 6은 1 6 15 20 15 6 1이므로, 수식은 20 – (15+15) + (6+6) – (1+1) = 0이 될 것입니다. 그래서 파스칼 삼각형의 모든 각 짝수 행은, 중간 숫자를 취하고, 그런 다음 중심의 바로 옆에 있는 두 정수를 뺀 다음, 다음 두 정수를 더한 다음, 빼기 등을 수행하여 행의 끝에 도달할 때까지 반복했을 때, 0과 같아집니다.

이항 계수의 성질

Main article: Binomial coefficient

이항 정리

$(a+b)^{n}={n \choose 0}a^{n}b^{0}+{n \choose 1}a^{n-1}b^{1}+\cdots +{n \choose n-1}a^{1}b^{n-1}+{n \choose n}a^{0}b^{n}$

에서 $a=1,b=x$로 대체하면, 다음 식을 얻습니다.

$(1+x)^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}x+{n \choose 2}x^{2}+{n \choose 3}x^{3}+\cdots +{n \choose n}x^{n}\cdots$(가).

이 식은 항등식이기 때문에, $x$에 어떤 값을 대입해도 성립합니다.

먼저 $x=1$을 대입하면,

$2^{n}={n \choose 0}+{n \choose 1}+{n \choose 2}+{n \choose 3}+\cdots +{n \choose n}$

다음으로 $x=-1$을 대입하면,

$0={n \choose 0}-{n \choose 1}+{n \choose 2}-{n \choose 3}+\cdots +(-1)^{n}{n \choose n}$.

이 식은 선택되는 개수가 짝수이면 양의 부호, 홀수이면 음의 부호를 가집니다. 음의 부호를 가지는 항들을 왼쪽 변으로 옮기면,

${n \choose 1}+{n \choose 3}+{n \choose 5}+\cdots ={n \choose 0}+{n \choose 2}+{n \choose 4}+\cdots ={\frac {2^{n}}{2}}=2^{n-1}$.

즉, 선택 횟수가 홀수인 것과 짝수인 것이 서로 같으므로, 각각, 전체의 절반의 값을 가집니다.

또 다른 항등식은 하키-스틱 항등식(Hockey-stick_identity)으로 알려진 것입니다.

$\sum _{i=r}^{n}{i \choose r}={n+1 \choose r+1}\qquad {\text{ for }}n,r\in \mathbb {N} ,\quad n>r$

예를 들어,

${2 \choose 2}+{3 \choose 2}+{4 \choose 2}+{5 \choose 2}={6 \choose 3}$.

이것을 위의 그림에서 강조표시하면, 하키-스틱이나 크리스마스-스타킹처럼 보이기 때문에, 그런 이름을 가집니다. 또한, 이 식을 파스칼의 항등식을 사용하여, 다음과 같이 바꾸어서 사고하기도 합니다.

${2 \choose 0}+{3 \choose 1}+{4 \choose 2}+{5 \choose 3}={6 \choose 3}$.

이것도 강조표시하면, 하키-스틱이나 크리스마스-스타킹처럼 보입니다.

보통 하키-스틱 항등식이 잘 다루어지지 않는 이유는 위의 예제를 식

${3 \choose 0}+{3 \choose 1}+{4 \choose 2}+{5 \choose 3}$

으로 바꾸어 앞에서부터 2개씩 파스칼의 규칙을 적용하면 같은 결과를 얻기 때문입니다. 보통 학교 수업에서는 이 방법을 이용해서 답을 구할 수 있기 때문에 특별히 하키-스틱 항등식을 강조할 필요는 없다고 보입니다. 반면에 하키-스틱 항등식 자체는 파스칼의 규칙을 한번 적용한 후에 첫 번째 항을 파스칼의 규칙을 적용할 수 있도록 바꾸어야 하기 때문에 약간의 혼란을 초래할 수 있습니다. 어쨌든, 파스칼의 삼각형에서 하키-스틱 항등식이 어떻게 동작하는지는 확인해 줄 필요는 있습니다.

다른 것은 (가) 식의 양변을 $x$에 관해 미분하고 $x=1$을 대입한 식입니다.

$n2^{n-1}={n \choose 1}+2{n \choose 2}+3{n \choose 3}+\cdots +n{n \choose n}\cdots$(나)

(가) 식의 양변을 $x$에 관해 두번 미분하고 $x=1$을 대입하면, 다음 식이 제공됩니다:

$n(n-1)2^{n-2}=2{n \choose 2}+3\cdot 2{n \choose 3}+4\cdot 3{n \choose 4}+\cdots +n(n-1){n \choose n}\cdots$(다)

어쨌든, 이 식을 바로 사용하지 않고, (나) 식을 다음과 같이 바꿉니다.

$2n2^{n-2}={n \choose 1}+2{n \choose 2}+3{n \choose 3}+\cdots +n{n \choose n}\cdots$(라)

(다) 식과 (라)식을 더하면, 다음의 식을 제공합니다:

$n(n+1)2^{n-2}={n \choose 1}+2^{2}{n \choose 2}+3^{2}{n \choose 3}+\cdots +n^{2}{n \choose n}$

또한, 위의 파스칼의 삼각형에서 소개한 식

$\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}^{2}={2n \choose n}$

은 다음 식

$(1+x)^{2n}=(1+x)^{n}(1+x)^{n}$

을 전개했을 때, 양변의 $x^{n}$의 계수를 비교해서 나오는 식입니다, 즉,

${2n \choose n}={n \choose 0}{n \choose n}+{n \choose 1}{n \choose n-1}+{n \choose 2}{n \choose n-2}+\cdots +{n \choose n}{n \choose 0}$

의 식에서 파스칼의 규칙, $C(n,k)=C(n,n-k)$를 적용해서 다음과 같이 쓸 수 있습니다:

${2n \choose n}={n \choose 0}{n \choose 0}+{n \choose 1}{n \choose 1}+{n \choose 2}{n \choose 2}+\cdots +{n \choose n}{n \choose n}$

따라서,

${2n \choose n}={n \choose 0}^{2}+{n \choose 1}^{2}+{n \choose 2}^{2}+\cdots +{n \choose n}^{2}$

이것 외에 소개할만 것은 허수단위 $x=i$를 대입하는 경우입니다. 이때 공통적으로 사용되는 식은 다음과 같습니다.

$(1+i)^{2}=1+2i+i^{2}=2i$

예를 들어,

$(1+i)^{10}={10 \choose 0}+{10 \choose 1}i+{10 \choose 2}i^{2}+{10 \choose 3}i^{3}+\cdots +{10 \choose 10}i^{10}$.

이 식에서, 왼쪽 변을 $(2i)^{5}$으로 만들고, 복소수의 상등을 적용하면 다음과 같습니다.

$0={10 \choose 0}-{10 \choose 2}+{10 \choose 4}-{10 \choose 6}+{10 \choose 8}-{10 \choose 10}$

$32={10 \choose 1}-{10 \choose 3}+{10 \choose 5}-{10 \choose 7}+{10 \choose 9}$

만약 홀수일 때에는

$(1+i)^{11}={11 \choose 0}+{11 \choose 1}i+{11 \choose 2}i^{2}+{11 \choose 3}i^{3}+\cdots +{11 \choose 11}i^{11}$.

이 식에서, 왼쪽 변을 $(2i)^{5}(1+i)$으로 만들고, 복소수의 상등을 적용하면 다음과 같습니다.

$-32={11 \choose 0}-{11 \choose 2}+{11 \choose 4}-{11 \choose 6}+{11 \choose 8}-{11 \choose 10}$

$32={11 \choose 1}-{11 \choose 3}+{11 \choose 5}-{11 \choose 7}+{11 \choose 9}-{11 \choose 11}$

응용예제

응용예제1

등식 $_{8}C_{1}+4\cdot _{8}C_{2}+9\cdot _{8}C_{3}+\cdots +64\cdot _{8}C_{8}=m\cdot 2^{n}$을 만족시키는 $m,n$의 값을 각각 구하시오. (단, $m$은 홀수, $n$은 정수)

해설: mowoum:이항정리#응용예제1