절댓값 기호를 포함한 일차부등식

절댓값 기호를 포함한 일차방정식에서 절댓값에 대한 정의와 해법을 배웠습니다. 여기서는 등식이 아닌 부등식일 때 해집합을 구하는 것에 대해 알아보겠습니다.

부등식은 경계점에 대한 방정식을 풀고 방향을 결정함으로써 해집합을 구할 수 있습니다. 그러므로 부등식을 풀기 전에 방정식에 대한 이해가 반드시 선행되어야 합니다.

기본꼴

부등식 $|x|<2$ 의 해를 구해 보겠습니다. 부등식을 풀기전에 $|x|=2$ 의 해 $x=\pm 2$ 먼저 구합니다. 거리가 2가 되는 지점으로부터 거리가 작아져야 하기 때문에 기준점( $0$ )으로 다가오는 쪽이 해집합을 구성합니다.

-2<x<2

반면에 $|x|>2$ 의 해집합은 기준점으로부터 멀어져야 하기 때문에 다음과 같은 해집합을 갖게 됩니다.

x<-2\;{\mbox{or}}\;x>2

기본꼴 변형

$|x-3|<2$ 인 경우에도, 방정식 $|x-3|=2$ 의 해인 $x=5,1$ 를 먼저 구해 둡니다.

이 경우에도 기준점으로 거리가 짧아져야 하기 때문에 안쪽으로 모이는 다음과 같은 해집합을 갖습니다.

1<x<5

응용꼴

절댓값이 2개 이상있을 때에는 절댓값 기호를 벗는 방법으로 문제를 해결할 수 있습니다.

방정식 $|x-1|+|x-3|<6$ 을 풀어라.

해설) 절댓값의 부호가 바뀌는 지점은 $1,3$ 이므로 전체 실수집합을 3개의 부분으로 나누어 해집합을 구합니다.

조건	풀이	임시 해집합
$x<1$	$-(x-1)-(x-3)<6$	$x>-1$
$1\leq x\leq 3$	$(x-1)-(x-3)<6$	해는 모든 실수
$x>3$	$(x-1)+(x-3)<6$	$x<5$

먼저 조건 아래에서 해집합을 구한다는 것은 조건과 구해진 임시 해집합을 교집합해야 함을 의미합니다. 이 후에 각각의 조건을 나누어진 구해진 해집합은 합쳐서 최종적인 해집합을 구성합니다.

-1<x<5

부호가 바뀌는 지점보다 나누어지는 구간은 1개 더 많아집니다.

응용예제

응용예제1

두 부등식 $|x+1|+|x-3|\leq 8$ , $|x-a|\leq 4$ 의 해가 서로 같을 때, 상수 $a$ 의 값은?

해설: mowoum:절댓값 기호를 포함한 일차부등식#응용예제1

응용예제2

수직선 위의 두 점 $\mathrm {A} (4)$ , $\mathrm {B} (8)$ 에 대하여 $\mathrm {P} (x)$ 가 ${\overline {\mathrm {AP} }}+{\overline {\mathrm {BP} }}\leq 10$ 을 만족시킨다. ${\overline {\mathrm {OP} }}$ 의 길이의 최댓값을 $M$ , 최솟값을 $m$ 이라 할 때, $M+m$ 의 값을 구하시오. (단, $\mathrm {O}$ 는 원점이다.)