Abuse of notation

수학(mathematics)에서, 표기법의 남용(abuse of notation)은 저자가 전적으로 형식적으로 정확하지는 않지만, (아마도 오류와 혼란을 동시에 최소화하는 동안) 설명을 단순화하거나 올바른 직관(intuition)을 제안하는 데 도움이 될 수 있는 방법에서 수학적 표기법(mathematical notation)을 사용할 때 발생합니다. 어쨌든, 형식적/구문적 정확성의 개념은 시간과 문맥 둘 다에 의존하기 때문에 한 문맥에서 남용으로 플래그가 지정된 수학에서 특정 표기법은 하나 이상의 다른 문맥에서 형식적으로 정확할 수 있습니다. 시간-의존적 표기법의 남용은 이론이 처음 공식화되기 얼마 전에 새로운 표기법이 이론에 도입될 때 발생할 수 있습니다; 이것들은 이론을 확고히 및/또는 그렇지 않으면 개선함으로써 형식적으로 수정될 수 있습니다. 표기법의 남용은 표기법의 오용(misuse)과 대조되어야 하며, 이것은 전자의 표현상의 이점을 가지지 않고 피해야 합니다 (예를 들어, 적분 상수의 잘못된 사용^[1]).

관련된 개념은 언어의 남용 또는 용어의 남용이며, 여기서 표기법이 아닌 용어가 잘못사용됩니다. 언어의 남용은 본질적으로 비-표기법적인 남용에 대해 거의 동의어 표현입니다. 예를 들어, 단어 표현(representation)은 그룹(group) G에서 GL(V)로의 그룹 준동형(group homomorphism)을 적절하게 지정하지만, 여기서 V는 벡터 공간(vector space)이며, V를 "G의 표현"이라고 부르는 것이 공통적입니다. 또 다른 공통 언어의 남용은 다르지만 정식적으로 동형적(canonically isomorphic)인 둘의 수학적 객체를 식별하는 것으로 구성됩니다.^[2] 다른 예제는 그것의 값으로 상수 함수(constant function)를 식별, 그것의 놓여있는 집합의 이름으로 이항 연산으로 그룹을 식별, 또는 $\mathbb {R} ^{3}$ 를 데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)을 갖춘 삼-차원의 유클리드 공간(Euclidean space)으로 식별을 포함합니다.^[3]

Examples

Structured mathematical objects

많은 수학적 대상(mathematical object)은 수학적 연산(mathematical operation) 또는 토폴로지(topology)와 같은 일부 추가적인 구조를 갖춘 종종 놓여있는 집합이라고 불리는 집합(set)으로 구성됩니다. 놓여있는 집합과 구조화된 대상에 대해 같은 표기법을 사용하는 것 (매개변수의 억제(suppression of parameters^[3])로 알려진 현상)은 공통적인 표기법의 남용입니다. 예를 들어, $\mathbb {Z}$ 는 정수(integer)의 집합, 덧셈(addition)과 함께 정수의 그룹(group), 또는 덧셈과 곱셈(multiplication)을 갖는 정수의 링(ring)을 나타낼 수 있습니다. 일반적으로, 만약 참조 아래에서 대상이 잘 이해되면 이것을 갖는 문제가 없고 그러한 표기법의 남용을 피하는 것이 수학 텍스트를 더 현학적이고 읽기에 훨씬 더 어렵게 만들 수 있습니다. 이러한 표기법의 남용이 혼란스러울 수 있을 때, 우리는 $(\mathbb {Z} ,+)$ 를 덧셈을 갖는 그룹, 및 $(\mathbb {Z} ,+,\cdot )$ 를 정수의 링을 나타냄으로써 이들 구조 사이에 구별을 할 수 있습니다.

유사하게, 토폴로지적 공간(topological space)은 집합 $X$ (놓여있는 집합)와 토폴로지 ${\mathcal {T}}$ 로 구성되며, 토폴로지는 $X$ 의 부분집합(subset) (열린 집합(open set))의 집합에 의해 특징지어집니다. 가장 빈번하게, 우리는 $X$ 위에 오직 하나의 토폴로지를 고려하므로, $X$ 를 기본 집합과 $X$ 와 그것의 토폴로지 ${\mathcal {T}}$ — 비록 그것들이 기술적으로 구별되는 수학적 개체임에도 불구하고 – 로 구성된 쌍 둘 다로 참조하는 것에 보통 문제는 없습니다. 그럼에도 불구하고, 둘의 다른 토폴로지가 같은 집합 위에 동시에 고려되는 일부 경우가 발생할 수 있습니다. 이 경우에서, 우리는 주의를 기울여야 하고 $(X,{\mathcal {T}})$ 와 $(X,{\mathcal {T}}')$ 와 같은 표기법을 다른 토폴로지적 공간을 구별하기 위해 사용해야 합니다.

Function notation

우리는, 많은 교과서에서, " $f (x)$ 를 ...인 함수로 놓습니다"과 같은 문장을 접할 수 있습니다. 이것은 함수의 이름이 $f$ 이고 $f (x)$ 는 보통 그것의 도메인의 원소 $x$ 에 대해 함수 $f$ 의 값을 나타내기 때문에 표기법의 남용입니다. 올바른 문구는 " $f$ 를 ...인 변수 $x$ 의 함수로 놓습니다" 또는 " $x \mapsto f (x)$ 를 ...인 함수로 놓습니다"입니다. 이러한 표기법의 남용은 널리 사용되는데,^[4] 왜냐하면 그것이 공식을 단순화하고, 정확한 표기법의 시스템적인 사용이 금세 현학적이 되기 때문입니다.

유사한 표기법의 남용은 "...인 함수 $x 2 + x + 1$ 를 생각해 보십시오"와 같은 문장에서 발생하며, 실제로 $x 2 + x + 1$ 가 함수가 아닐 때 발생합니다. 그 함수는 $x 2 + x + 1$ 를 $x$ 에 결합하는 연산으로, 종종 $x \mapsto x 2 + x + 1$ 로 표시됩니다. 그럼에도 불구하고, 이러한 표기법의 남용은 널리 사용되는데, 왜냐하면 그것이 일반적으로 혼동을 주지 않으면서 현학적인 방식을 피하는 데 도움이 될 수 있기 때문입니다.

Equality vs. isomorphism

많은 수학적 구조는 특성화 속성 (종종 보편적 속성(universal property))을 통해 정의됩니다. 일단 이 원하는 속성이 정의되면, 구조를 구성하기 위한 다양한 방법이 있을 수 있고, 해당하는 결과는 형식적으로 다른 대상이지만, 정확하게 같은 속성 (즉, 동형적(isomorphic))을 가집니다. 이들 동형적 대상을 그것들의 속성으로 구분하기 위한 방법이 없기 때문에, 심지어 이것이 형식적으로 틀리더라도, 그것들을 같은 것으로 고려하는 것이 표준입니다.^[2]

이것의 한 가지 예제는 종종 결합적으로 보이는 데카르트 곱(Cartesian product)입니다:

(E\times F)\times G=E\times (F\times G)=E\times F\times G

.

그러나 이것은 엄격하게 말해서 참이 아닙니다: 만약 $x\in E$ , $y\in F$ , 및 $z\in G$ 이면, 항등식 $((x,y),z)=(x,(y,z))$ 는 $(x,y)=x$ 와 $z=(y,z)$ 를 의미할 것이고, 따라서 $((x,y),z)=(x,y,z)$ 는 어떤 것도 의미하지 않을 것입니다. 어쨌든, 이등 상등은 카테고리 이론(category theory)에서 정당화되고 엄격하게 만들어질 수 있습니다–자연스러운 동형(natural isomorphism)이라는 아이디어를 사용하는 것입니다.

또 다른 유사한 남용의 예제는 "차수 8의 둘의 비-아벨 그룹이 두 개 있습니다"와 같은 명제에서 발생하며, 이것은 더 엄격하게 말하면 "차수 8의 비-아벨 그룹의 둘의 동형 클래스가 있습니다"를 의미합니다.

Equivalence classes

[x] 대신에 x로 동치 관계(equivalence relation)의 동치 클래스(equivalence class)를 참조하는 것은 표기법의 남용입니다. 공식적으로, 만약 집합 X가 등가 관계 ~에 의해 분할(partition)되면, 각 x ∈ X에 대해, 동치 클래스 {y ∈ X | y ~ x}는 [x]로 표시됩니다. 그러나 실제에서, 만약 토론의 나머지 부분이 놓여있는 집합의 개별 원소보다 동치 클래스에 초점을 맞추면, 토론에서 대괄호를 버리는 것이 공통적입니다.

예를 들어, 모듈러 산술(modular arithmetic)에서, 차수(order) n의 유한 그룹(finite group)은 등가 관계 "x ~ y인 것과 x ≡ y (mod n)"인 것이 필요충분 조건을 통해 정수를 분할함으로써 형성될 수 있습니다. 해당 그룹의 원소는 그런-다음 [0], [1], ..., [n − 1]일 것이지만, 실제에서 그것들은 보통 단순히 0, 1, ..., n − 1로 표시됩니다.

또 다른 예제는 측정 공간(measure space)에 걸쳐 측정-가능 함수의 (클래스의) 공간 또는 르베그 적분-가능(Lebesgue integrable) 함수의 클래스이며, 여기서 동치 관계는 상등 "거의 모든 곳에서"입니다.

Subjectivity

용어 "언어의 남용" 및 "표기법의 남용"은 문맥에 따라 다릅니다. $A$ 에서 $B$ 로의 부분 함수(partial function)에 대해 " $f : A \to B$ "를 쓰는 것은 거의 항상 표기법의 남용이지만, $f$ 가 집합 및 부분 함수의 카테고리에서 사상(morphism)으로 보일 수 있는 카테고리 이론적(category theoretic) 문맥에서는 그렇지 않습니다.

References

^ "Common Errors in College Math". math.vanderbilt.edu. Retrieved 2019-11-03.
^ ^a ^b "Glossary — Abuse of notation". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.
^ ^a ^b "More about the languages of math — Suppression of parameters". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.
^ "Abuse of Math Notation". xahlee.info. Retrieved 2019-11-03.

[1] "Common Errors in College Math". math.vanderbilt.edu. Retrieved 2019-11-03.

[:1-2] "Glossary — Abuse of notation". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.

[:2-3] "More about the languages of math — Suppression of parameters". www.abstractmath.org. Retrieved 2019-11-03.

[4] "Abuse of Math Notation". xahlee.info. Retrieved 2019-11-03.

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