Additive map

대수학(algebra)에서, 덧셈의 맵(additive map), Z-선형 맵(Z-linear map) 또는 덧셈의 함수(additive function)는 f의 도메인(domain)에서 원소 $x$ 와 $y$ 의 모든 각 쌍에 대해 덧셈의 연산을 보존하는 함수(function) f입니다:^[1]

f(x+y)=f(x)+f(y)

.

예를 들어, 임의의 선형 맵(linear map)은 덧셈적입니다. 그 도메인이 실수(real numbers)일 때, 이것은 코시의 함수형 방정식(Cauchy's functional equation)입니다. 이 정의의 특정 경우에 대해, 덧셈의 다항식(additive polynomial)을 참조하십시오.

보다 공식적으로, 덧셈의 맵은 Z-모듈 준동형(module homomorphism)입니다. 아벨 그룹은 Z-모듈(module)이므로, 그것은 아벨 그룹 사이의 그룹 준동형(group homomorphism)으로 정의될 수 있습니다.

전형적인 예제는 링(ring), 벡터 공간(vector space), 또는 덧셈 그룹(additive group)을 보존하는 모듈(module) 사이의 맵을 포함합니다. 덧셈의 맵은 대상의 임의의 다른 구조, 예를 들어, 링의 곱 연산을 반드시 보존하지는 않습니다.

만약 $f$ 와 $g$ 가 덧셈 맵이면, (점별(pointwise)로 정의된) 맵 $f + g$ 는 덧셈적입니다.

두 인수 각각에 개별적으로 덧셈적인 맵 $V \times W \to X$ 은 쌍-덧셈 맵(bi-additive map) 또는 Z-쌍선형 맵(Z-bilinear map)이라고 불립니다.

References

^ Leslie Hogben (2013), Handbook of Linear Algebra (3 ed.), CRC Press, pp. 30–8, ISBN 9781498785600

Roger C. Lyndon; Paul E. Schupp (2001), Combinatorial Group Theory, Springer

[1] Leslie Hogben (2013), Handbook of Linear Algebra (3 ed.), CRC Press, pp. 30–8, ISBN 9781498785600

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