Module (mathematics)

수학(mathematics)에서, 모듈(module)은 스칼라(scalars)의 필드(field)가 링(ring)에 의해 대체되는 벡터 공간(vector space) 개념의 일반화입니다. 모듈의 개념은 아벨 그룹(abelian group)의 개념을 일반화하기도 하는데, 왜냐하면 아벨 그룹은 정확하게 정수(integers)의 링에 걸쳐 모듈이기 때문입니다.

벡터 공간과 마찬가지로, 모듈은 덧셈 아벨 그룹이고, 스칼라 곱셈은 링 또는 모듈의 원소 사이의 덧셈 연산에 걸쳐 분배적(distributive)이고 링 곱셈과 호환-가능(compatible)입니다.

모듈은 그룹(groups)의 표시 이론(representation theory)과 매우 밀접하게 관련되어 있습니다. 그것들은 역시 교환 대수(commutative algebra)와 호몰로지 대수(homological algebra)의 중심 개념 중 하나이고, 대수 기하학(algebraic geometry)과 대수 토폴로지(algebraic topology)에서 널리 사용됩니다.

Introduction and definition

Motivation

벡터 공간에서, 스칼라(scalars)의 집합은 필드(field)이고 분배 법칙(distributive law)과 같은 특정 공리를 필요로 하는 스칼라 곱에 의해 벡터에 작용합니다. 모듈에서, 스칼라는 링(ring)만 있으면 되므로, 모듈 개념은 상당한 일반화를 나타냅니다. 교환 대수에서, 아이디얼(ideals)과 몫 링(quotient rings) 둘 다는 모듈이므로, 아이디얼이나 몫 링에 대한 많은 인수가 모듈에 대한 단일 인수로 결합될 수 있습니다. 비-교환 대수학에서, 일부 링-이론적 조건이 왼쪽 아이디얼 또는 왼쪽 모듈에 대해 표현될 수 있지만 왼쪽 아이디얼, 아이디얼, 및 모듈 사이의 구분이 더 명확해집니다.

모듈 이론의 대부분은 주요 아이디얼 도메인(principal ideal domain)과 같은 "잘-행동된" 링에 걸쳐 가능한 한 많은 벡터 공간의 바람직한 속성을 모듈 영역으로 확장하는 것으로 구성됩니다. 어쨌든, 모듈은 벡터 공간보다 훨씬 더 복잡할 수 있습니다; 예를 들어, 모든 모듈이 기저(basis)를 가지는 것은 아니고, 카디널리티가 고유한 항상 (아마도 무한) 기저를 가지는 벡터 공간과 달리, 놓여있는 링이 불변 기저 숫자(invariant basis number) 조건을 만족시키면 자유 모듈(free modules)인 경우에도 고유 랭크(rank)를 가질 필요가 없습니다. (이들 마지막 두 주장은 일반적으로 선택의 공리(axiom of choice)를 요구하지만, 유한-차원 공간의 경우 또는 L^p 공간(L^p spaces)과 같이 잘-작동되는 특정 무한-차원 공간의 경우에는 그렇지 않습니다.)

Formal definition

R이 링(ring)이고, 1은 곱셈 항등원이라고 가정합니다. 왼쪽 R-모듈(left R-module) M은 아벨 그룹(abelian group) (M, +)과 R에서 모든 r, s와 M에서 x, y에 대해, 다음임을 만족하는 연산 · : R × M → M으로 구성됩니다:

$r\cdot (x+y)=r\cdot x+r\cdot y$
$(r+s)\cdot x=r\cdot x+s\cdot x$
$(rs)\cdot x=r\cdot (s\cdot x)$
$1\cdot x=x.$

연산 · 은 스칼라 곱셈(scalar multiplication)이라고 불립니다. 종종 기호 · 가 생략되지만, 이 기사에서는 이를 사용하고 R에서 곱셈을 위해 병치를 예약합니다. M이 왼쪽 R-모듈임을 강조하기 위해 _RM을 작성할 수 있습니다. 오른쪽 R-모듈(right R-module) M_R은 연산 · : M × R → M의 관점에서 유사하게 정의됩니다.

링을 단위(unital)임을 요구하지 않는 저자는 위의 정의에서 조건 4를 생략합니다; 그것들은 위에 정의된 구조를 "단위 왼쪽 R-모듈"이라고 부를 것입니다. 이 기사에서, 링 이론의 용어집과 일치하여, 모든 링과 모듈이 단위인 것으로 가정합니다.^[1]

(R,S)-쌍모듈(bimodule)은 R의 원소에 의한 왼쪽 스칼라 곱셈 · 과 S의 원소에 의한 오른쪽 스칼라 곱셈 ∗ 과 함께 아벨 그룹이며, 동시에 그것을 왼쪽 R-모듈과 오른쪽 S-모듈을 만들며, R에서 모든 r, M에서 x, 및 S에서 s에 대해 추가 조건 (r · x) ∗ s = r ⋅ (x ∗ s)를 만족시킵니다.

만약 R이 교환적(commutative)이면, 왼쪽 R-모듈은 오른쪽 R-모듈과 같고 간단히 R-모듈이라고 불립니다.

Examples

만약 K가 필드(field)이면, K-벡터 공간(vector spaces) (K에 걸쳐 벡터 공간)과 K-모듈은 동일합니다.
만약 K가 필드이고, K[x]가 일변수 다항식 링(polynomial ring)이면, K[x]-모듈 M은 M위에 K의 동작과 교환하는 M 위에 x의 추가적인 동작을 갖는 K-모듈입니다. 다시 말해서, K[x]-모듈은 M에서 M으로의 선형 맵(linear map)과 결합된 K-벡터 공간 M입니다. 이 예에 주요 아이디얼 도메인에 걸쳐 유한하게 생성된 모듈에 대해 구조 정리를 적용하면 유리형(rational)이고 조르당 정식(Jordan canonical) 형식의 존재를 보여줍니다.
Z-모듈의 개념은 아벨 그룹의 개념과 일치합니다. 즉, 모든 각 아벨 그룹(abelian group)은 고유한 방법으로 정수(integers) Z의 링에 걸쳐 모듈입니다. n > 0에 대해, n ⋅ x = x + x + ... + x (n개의 더해지는 숫자), 0 ⋅ x = 0, 및 (−n) ⋅ x = −(n ⋅ x)라고 놓습니다. 그러한 모듈에는 기저(basis)가 필요하지 않습니다—꼬임 원소(torsion elements)를 포함하는 그룹에는 기저가 없습니다. (예를 들어, 정수 모듈로(modulo) 3의 그룹에서, 3이나 6과 같은 정수가 원소를 곱할 때 그 결과가 0이기 때문에 선형 독립 집합의 정의를 만족시키는 원소를 하나도 찾을 수 없습니다. 어쨌든, 만약 유한 필드(finite field)가 링으로 취해지는 같은 유한 필드에 걸쳐 모듈로 고려되면, 그것은 벡터 공간이고 기저를 가집니다.)
십진 분수(decimal fractions) (음수 포함)는 정수에 걸쳐 모듈을 형성합니다. 오직 한원소(singletons)가 선형적으로 독립된 집합이지만, 기저로 사용할 수 있는 한원소가 없으므로, 모듈은 기저를 가지지 않고 랭크도 가지지 않습니다.
만약 R이 임의의 링이고 n이 자연수(natural number)이면, 데카르트 곱(cartesian product) Rⁿ은 만약 성분-별 연산을 사용하면 왼쪽과 오른쪽 R-모듈 둘 다입니다. n = 1일 때, R은 R-모듈이며, 여기서 스칼라 곱셈은 단지 링 곱셈입니다. 경우 n = 0은 그것의 항등 원소로만 구성되는 자명한 R-모듈 {0}입니다. 이 유형의 모듈은 자유(free)라고 불리고 만약 R이 불변 기저 숫자(invariant basis number) (예를 들어, 임의의 교환 링 또는 필드)를 가지면 숫자 n은 그때에 자유 모듈의 랭크입니다.
만약 M_n(R)이 링 R에 걸쳐 n × n 행렬(matrices)의 링이고, M이 M_n(R)-모듈이고, e_i가 (i, i)-엔트리에서 1 (및 다른 곳에서 영)을 갖는 n × n 행렬이면, e_iM는 R-모듈인데, 왜냐하면 re_im = e_irm ∈ e_iM이기 때문입니다. 따라서 M은 R-모듈의 직접 합으로 나뉘며, M = e₁M ⊕ ... ⊕ e_nM입니다. 반대로, R-모듈 M₀가 주어지면, M₀^⊕n는 M_n(R)-모듈입니다. 사실, R-모듈의 카테고리와 M_n(R)-모듈의 카테고리(category)는 동등(equivalent)합니다. 특별한 경우는 모듈 M이 단지 자체에 걸쳐 모듈로 R이면, Rⁿ이 M_n(R)-모듈이라는 것입니다.
만약 S가 비-빈(nonempty) 집합(set), M이 왼쪽 R-모듈이고, M^S가 모든 함수(functions) f : S → M의 모음이면, (f + g)(s) = f(s) + g(s)과 (rf)(s) = rf(s)에 의해 점-별로 정의된 M^S에서 덧셈과 스칼라 곱셈과 함께, M^S는 왼쪽 R-모듈입니다. 오른쪽 R-모듈 경우는 유사합니다. 특히, 만약 R이 교환적이면 R-모듈 준동형 h : M → N (아래 참조)의 모음은 R-모듈입니다 (그리고 사실 N^M의 부분-모듈입니다).
만약 X가 매끄러운 매니폴드(smooth manifold)이면, X에서 실수로의 매끄러운 함수(smooth functions)는 링 C^∞(X)을 형성합니다. X 위에 정의된 모든 매끄러운 벡터 필드(vector fields)의 집합은 C^∞(X)에 걸쳐 모듈을 형성하고 X 위에 텐서 필드(tensor fields)와 미분 형식(differential forms)도 그렇습니다. 보다 일반적으로, 임의의 벡터 다발(vector bundle)의 선택은 C^∞(X)에 걸쳐 투영 모듈(projective module)을 형성하고, 스안의 정리(Swan's theorem)에 의해, 모든 각 투영 모듈은 일부 다발의 단면의 모듈과 동형적입니다; C^∞(X)-모듈의 카테고리와 X에 걸쳐 벡터 다발의 카테고리는 동등(equivalent)합니다.
만약 R이 임의의 링이고 I가 R에서 임의의 왼쪽 아이디얼(left ideal)이면, I는 왼쪽 R-모듈이고, 유사하게 R에서 오른쪽 아이디얼은 오른쪽 R-모듈입니다.
만약 R이 링이면, 우리는 같은 놓여있는 집합(underlying set)과 같은 덧셈 연산을 가지지만, 반대 곱셈을 가지는 반대 링(opposite ring) R^op을 정의할 수 있습니다: 만약 R에서 ab = c이면, R^op에서 ba = c입니다. 임의의 왼쪽 R-모듈 M은 그런-다음 R^op에 걸쳐 오른쪽 모듈로 볼 수 있고, R에 걸쳐 임의의 오른쪽 모듈은 R^op에 걸쳐 왼쪽 모듈로 고려될 수 있습니다.
리 대수에 걸쳐 모듈(Modules over a Lie algebra)은 그것의 보편적 포락 대수(universal enveloping algebra)에 걸쳐 (결합 대수) 모듈입니다.
만약 R과 S가 링 준동형(ring homomorphism) φ : R → S을 갖는 링이면, 모든 각 S-모듈 M은 rm = φ(r)m을 정의함으로써 R-모듈입니다. 특히, S 자체는 그러한 R-모듈입니다.

Submodules and homomorphisms

M이 왼쪽 R-모듈이고 N이 M의 부분-그룹(subgroup)이라고 가정합니다. 그런-다음 N은 만약 N에서 임의의 n과 R에서 임의의 r에 대해, 곱 r ⋅ n (또는 오른쪽 R-모듈에 대해 n ⋅ r)이 N에 있으면 부분-모듈 (또는 더 정확하게 R-부분모듈)입니다.

만약 X가 R-모듈의 임의의 부분-집합(subset)이면, X에 의해 확장된 부분-모듈은 ${\textstyle \langle X\rangle =\,\bigcap _{N\supseteq X}N}$ 으로 정의되며 여기서 N은 X를 포함하거나 명시적으로 ${\textstyle \left\{\sum _{i=1}^{k}r_{i}x_{i}\mid r_{i}\in R,x_{i}\in X\right\}}$ 를 포함하는 M의 부분-모듈을 실행하며, 이는 텐서 곱의 정의에서 중요합니다.^[2]

주어진 모듈 M의 부분-모듈의 집합은 두 개의 이항 연산 + 및 ∩과 함께 모듈러 법칙(modular law)을 만족시키는 격자(lattice)를 형성합니다: N₁ ⊂ N₂를 만족하는 M의 부분-모듈 U, N₁, N₂가 주어지면, 다음 두 부분모듈은 같습니다: (N₁ + U) ∩ N₂ = N₁ + (U ∩ N₂).

만약 M과 N이 왼쪽 R-모듈이면, 맵(map) f : M → N은 M에서 임의의 m, n과 R에서 r, s에 대해 다음이면 R-모듈의 준동형(homomorphism of R-modules)입니다:

f(r\cdot m+s\cdot n)=r\cdot f(m)+s\cdot f(n)

.

이것은, 수학적 대상의 임의의 준동형(homomorphism)과 마찬가지로, 대상의 구조를 보존하는 매핑일 뿐입니다. R-모듈의 준동형에 대해 또 다른 이름은 R-선형 맵(linear map)입니다.

전단사(bijective) 모듈 준동형 f : M → N은 모듈 동형(isomorphism)이라고 불리고, 두 개의 모듈 M과 N은 동형적(isomorphic)이라고 불립니다. 두 개의 동형적 모듈은 그거들 원소에 대해 표기법만 다를 뿐 모든 실제적인 목적에 대해 동일합니다.

모듈 준동형 f : M → N의 커널(kernel)은 f에 의해 영으로 전송되는 모든 원소로 구성된 M의 부분-모듈이고, f의 이미지는 M의 모든 원소 m에 대해 값 f(m)으로 구성된 N의 부분-모듈입니다.^[3] 그룹과 벡터 공간에서 익숙한 동형 정리(isomorphism theorems)는 R-모듈에도 유효합니다.

링 R이 주어지면, 그것들의 모듈 준동형과 함께 모든 왼쪽 R-모듈의 집합은 R-Mod에 의해 표시되는 아벨 카테고리(abelian category)를 형성합니다 (모듈의 카테고리(category of modules)를 참조하십시오).

Types of modules

Finitely generated: R-모듈 M은 만약 M의 모든 각 원소가 링 R로부터 계수를 갖는 그들 원소의 선형 조합(linear combination)임을 만족하는 M에서 유한하게 많은 원소 x₁, ..., x_n이 존재하면 유한헤가 생성된(finitely generated) 것입니다.
Cyclic: 모듈은 만약 그것이 하나의 원소에 의해 생성되면 순환 모듈(cyclic module)이라고 불립니다.
Free: 자유 R-모듈(free R-module)은 기저를 가지는 모듈, 또는 동등하게, 링 R의 복사본의 직접 합(direct sum)에 동형적인 모듈입니다. 이것들은 벡터 공간과 매우 유사하게 동작하는 모듈입니다.
Projective: 투영 모듈(Projective modules)은 자유 모듈의 직접 합수(direct summands)이고 많은 바람직한 속성을 공유합니다.
Injective: 단사 모듈(Injective modules)은 투영 모듈에 이중으로 정의됩니다.
Flat: 모듈은 만약 R-모듈의 임의의 정확한 수열(exact sequence)을 갖는 모듈의 텐서 곱(tensor product)을 취하면 정확성이 보존되면 플랫(flat)이라고 불립니다.
Torsionless: 모듈이 만약 그것이 대수적 이중에 삽입되면 꼬임-없음(torsionless)이라고 불립니다.
Simple: 단순 모듈(simple module) S는 {0}가 아니고 그것의 유일한 부분-모듈이 {0}과 S인 모듈입니다. 단순 모듈은 때때로 기약(irreducible)이라고 불립니다.^[4]
Semisimple: 반-단순 모듈(semisimple module)은 단순 모듈의 직접 합 (유한 또는 아닌 것)입니다. 역사적으로, 이들 모듈은 완전하게 비-기약(completely reducible)이라고도 불립니다.
Indecomposable: 비-분해가능 모듈(indecomposable module)은 두 개의 비-영 부분-모듈의 직접 합(direct sum)으로 쓸 수 없는 비-영 모듈입니다. 모든 각 단순 모듈은 비-분해가능이지만, 단순이 아닌 비-분해가능 모듈이 있습니다 (예를 들어 균등 모듈).
Faithful: 충실한 모듈(faithful module) M은 M 위에 R에서 각 r ≠ 0의 동작이 비-자명한 것 (즉, M에서 일부 x에 대해 r ⋅ x ≠ 0)인 모듈입니다 . 동등하게, M의 소멸자(annihilator)는 영 아이디얼(zero ideal)입니다.
Torsion-free: 토션-없는 모듈(torsion-free module)은 0이 링의 정규 원소 (비 영-제수(zero-divisor))에 의해 소멸되는 유일한 원소임을 만족하는 링에 걸쳐 모듈이며, 동등하게 rm = 0은 r = 0 또는 m = 0임을 의미합니다.
Noetherian: 뇌터 모듈(Noetherian module)은 부분-모듈 위에 오름 체인 조건(ascending chain condition)을 만족시키는 모듈, 즉, 모든 각 증가하는 부분-모듈의 체인은 유한하게 많은 단계 후에 정류됩니다.입니다. 동등하게, 모든 각 부분-모듈은 유한하게 생성됩니다.
Artinian: 아르틴 모듈(Artinian module)은 부분-모듈 위에 내려가는 체인 조건(descending chain condition)을 만족시키는 모듈, 모든 각 감소하는 부분-모듈의 체인은 유한하게 많은 단계 후에 정류됩니다.
Graded: 등급화된 모듈(graded module)은 모든 x와 y에 대해 R_xM_y ⊂ M_x+y임을 만족하는 등급화된 링(graded ring) R = ⨁_x R_x에 걸쳐 직접 합 M = ⨁_x M_x으로 분해를 갖는 모듈입니다.
Uniform: 균등 모듈(uniform module)은 비-영 부분-모듈의 모든 쌍이 비-영 교집합을 갖는 모듈입니다.

Further notions

Relation to representation theory

필드 k에 걸쳐 그룹 G의 표현은 그룹 링(group ring) k[G]에 걸쳐 모듈입니다.

만약 M이 왼쪽 R-모듈이면, R에서 원소 r의 동작(action)은 각 x를 rx (또는 오른쪽 모듈의 경우에서 xr)로 보내는 맵 M → M으로 정의되고 반드시 아벨 그룹 (M, +)의 그룹 자기-사상(group endomorphism)입니다. M의 모든 그룹 자기-사상의 집합은 End_Z(M)로 표시되고 덧셈과 합성(composition) 아래에서 링을 형성하고, R의 링 원소 r을 그것의 동작에 보내는 것은 실제로 R에서 End_Z(M)로의 링 준동형(ring homomorphism)을 정의합니다.

그러한 링 준동형 R → End_Z(M)는 아벨 그룹 M에 걸쳐 R의 표현(representation)이라고 불합니다; 왼쪽 R-모듈을 정의하는 대안적이고 동등한 방법은 왼쪽 R-모듈이 그것에 걸쳐 R의 표현과 함께 아벨 그룹 M이라고 말하는 것입니다. 그러한 표현 R → End_Z(M)는 M 위에 R의 링 동작(ring action)이라고도 불릴 수 있습니다.

표현이 충실한(faithful) 것이라고 불리는 것과 맵 R → End_Z(M)이 단사(injective)인 것은 필요충분 조건입니다. 모듈의 관점에서, 이것은 만약 r이 M에서 모든 x에 대해 rx = 0을 만족하는 R의 원소이면, r = 0임을 의미합니다. 모든 각 아벨 그룹은 정수에 걸쳐 또는 정수 모듈로 n, Z/nZ의 일부 링에 걸쳐 충실한 모듈입니다.

Generalizations

링 R은 단일 대상(object)을 갖는 전덧셈 카테고리(preadditive category) R에 해당합니다. 이러한 이해와 함께, 왼쪽 R-모듈은 R에서 아벨 그룹의 카테고리 Ab로의 단지 공변 덧셈 함수자(additive functor)이고, 오른쪽 R-모듈은 반변 덧셈 함수자입니다. 이것은, 만약 C가 임의의 전덧셈 카테고리이면, C에서 Ab로의 공변 덧셈 함수자는 C에 걸쳐 일반화된 왼쪽 모듈로 고려되어야 함을 시사합니다. 이들 함수자는 모듈 카테고리 R-Mod의 자연스러운 일반화인 함수자 카테고리 C-Mod를 형성합니다.

교환 링에 걸쳐 모듈은 다른 방향으로 일반화될 수 있습니다: 링 공간(ringed space) (X, O_X)을 취하고 O_X-모듈의 뭉치(sheaves)를 생각해 보십시오 (모듈의 뭉치를 참조하십시오). 이것들은 카테고리 O_X-Mod를 형성하고, 현대 대수적 기하학(algebraic geometry)에서 중요한 역할을 합니다. 만약 X가 오직 단일 점을 가지면, 이것은 교환 링 O_X(X)에 걸쳐 오래된 의미에서 모듈 카테고리입니다.

반-링(semiring)에 걸쳐 모듈을 고려할 수도 있습니다. 링에 걸쳐 모듈은 아벨 그룹이지만, 반-링에 걸쳐 모듈은 교환 모노이드일 뿐입니다. 대부분의 모듈의 응용은 여전히 가능합니다. 특히, 임의의 반-링 S에 대해, S에 걸쳐 행렬은 S에서 원소의 튜플이 (이러한 일반화된 의미에서만) 모듈인 반-링을 형성합니다. 이것은 이론적 컴퓨터 과학에서 반-링을 통합하는 벡터 공간(vector space)의 개념을 더욱 일반화할 수 있게 합니다.

근처-링(near-rings)에 걸쳐, 근처-링 모듈, 모듈의 비-아벨 일반화를 고려할 수 있습니다.

Notes

^ Dummit, David S. & Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.
^ Mcgerty, Kevin (2016). "ALGEBRA II: RINGS AND MODULES" (PDF).
^ Ash, Robert. "Module Fundamentals" (PDF). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year.
^ Jacobson (1964), p. 4, Def. 1; Irreducible Module at PlanetMath.org.

References

F.W. Anderson and K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York, 1992, ISBN 0-387-97845-3, ISBN 3-540-97845-3
Nathan Jacobson. Structure of rings. Colloquium publications, Vol. 37, 2nd Ed., AMS Bookstore, 1964, ISBN 978-0-8218-1037-8

External links

"Module", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
module in nLab

[DummitFoote-1] Dummit, David S. & Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-43334-7.

[2] Mcgerty, Kevin (2016). "ALGEBRA II: RINGS AND MODULES" (PDF).

[3] Ash, Robert. "Module Fundamentals" (PDF). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year.

[4] Jacobson (1964), p. 4, Def. 1; Irreducible Module at PlanetMath.org.

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