Adherent point

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수학(mathematics)에서, 토폴로지적 공간(topological space) X의 부분집합 A의 밀착 점(adherent point, 역시 클로저 점(closure point) 또는 클로저의 점(point of closure) 또는 접촉 점(contact point))은 x의 모든 각 이웃(neighbourhood) (즉, x를 포함하는 모든 각 열린 집합(open set))이 A의 적어도 하나의 점을 포함함을 만족하는 X 안의 점 x입니다. 점 x가 A에 대해 밀착 점인 것과 x가 A 클로저(closure) 안에 있는 것, 따라서 다음 인것은 필요충분 조건입니다:

$x\in \operatorname {Cl} ({A})\iff \forall U\subset X{\text{ open}}:x\in U\implies U\cap A\neq \emptyset .$

이 정의는 극한 점(limit point)의 정의와 다르며, 그것에서 극한 점에 대해 x를 포함하는 모든 각 열린 집합은 x와 다른 A의 적어도 하나의 점을 포함하는 것을 요구합니다. 따라서 모든 각 극한 점은 밀착 점이지만, 전환은 참이 아닙니다. A의 밀착 점은 A의 극한 점 또는 A의 원소 (또는 둘 다) 중 하나입니다. 극한 점이 아닌 밀착 점은 고립된 점(isolated point)입니다.

직관적으로, 일부 경계 내의 영역 (포함하지 않음)으로 정의된 열린 집합 A를 가지면, A의 밀착 점은 경계를 포함한 A의 밀착 점입니다.

Examples

• 만약 S가 위로 경계진 R의 비-빈 부분집합이면, sup S는 S에 밀착됩니다.
• 메트릭 공간(metric space) M의 부분집합 S가 그것의 밀착 점의 모두를 포함하는 것과 S가 M에서 (수열적으로(sequentially)) 닫힌 것은 필요충분 조건입니다.
• 구간 (a, b]에서, a는 R의 보통 위상과 함께 구간 안에 있지 않은 밀착 점입니다.
• 만약 S가 토폴로지적 공간의 부분집합이면 S에서 수렴하는 수열의 극한(limit)은 반드시 S에 속하지는 않습니다. 어쨌든, 그것은 항상 S의 밀착 점입니다. (x_n)_n∈N를 그러한 수열로 놓고 x를 그것의 극한으로 놓습니다. 그런-다음 정의에 의해, x의 모든 열린 이웃(neighbourhood) U에 대해, 모든 n ≥ N에 대해 x_n ∈ U를 만족하는 N ∈ N이 존재합니다. 특히, x_N ∈ U이고 역시 x_N ∈ S이므로, x는 S의 밀착 점입니다.
• 앞의 예제와 달리, S에서 수렴하는 수열의 극한이 반드시 S의 극한 점은 아닙니다; 예를 들어 S = {0}를 R의 부분집합으로 생각해 보십시오. 그런-다음 S에서 유일한 수열은 그것의 극한이 0인 상수 수열 (0)이지만, 0은 S의 극한 점이 아닙니다; 그것은 S의 단지 밀착 점입니다.

See also

• Limit point
• Closure (topology)

References

• Adamson, Iain T., A General Topology Workbook, Birkhäuser Boston; 1st edition (November 29, 1995). ISBN 978-0-8176-3844-3.
• Apostol, Tom M., Mathematical Analysis, Addison Wesley Longman; second edition (1974). ISBN 0-201-00288-4
• Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
• L.A. Steen, J.A.Seebach, Jr., Counterexamples in topology, (1970) Holt, Rinehart and Winston, Inc..
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