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Almost all

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수학(mathematics)에서, 용어 "거의 모든(almost all)"은 "무시할-수-있는 양을 제외한 모두"를 의미합니다. 보다 정확하게, 만약 가 집합(set)이면, "의 거의 모든 원소"는 "의 모든 원소이지만 의 무시할-수-있는(negligible) 부분집합(subset) 안의 원소들"을 의미합니다. "무시할-수-있는"의 의미는 수학적 문맥에 의존합니다; 예를 들어, 그것은 유한(finite), 셀-수-있는(countable), 또는 널(null)을 의미할 수 있습니다.

대조적으로, "거의 없음(almost no)"는 무시할-수-있는 총양을 의미합니다; 즉, "의 거의 없는 원소"는 "의 원소 중 무시할-수-있는 총양"을 의미합니다.

Meanings in different areas of mathematics

Prevalent meaning

Further information: Cofinite set

수학 전반에 걸쳐, "거의 모든"은 때때로 "모든 (무한 집합(infinite set)의 원소)이지만 유한(finite)하게 많은"을 의미하기 위해 사용됩니다.[1][2] 이 사용은 마찬가지로 철학에서도 발생합니다.[3] 유사하게, "거의 모든"은 "모두 (셀-수-없는 집합(uncountable set)의 원소)이지만 셀-수-있게(countably) 많은"을 의미할 수 있습니다.[sec 1]

예제:

Meaning in measure theory

Further information: Almost everywhere
The Cantor function as a function that has zero derivative almost everywhere

실수(reals)에 대해 말할 때, 때때로 "거의 모든"은 "모든 실수이지만 널 집합(null set)을 제외"를 의미할 수 있습니다.[6][7][sec 2] 유사하게, 만약 S가 일부 실수의 집합이면, "S에서 거의 모든 숫자"는 "S에서 모든 숫자이지만 널 집합에서 숫자를 제외"를 의미합니다.[8] 실수 직선(real line)은 일-차원 유클리드 공간(Euclidean space)으로 생각될 수 있습니다. n-차원 공간의 보다 일반적인 경우에서 (여기서 n은 양의 정수), 이들 정의는 "모든 점이지만 널 집합에 있는 점을 제외"[sec 3] 또는 "S에서 모든 점이지만 널 집합에서 점을 제외"로 일반화될 수 있습니다 (이번에, S는 공간에서 점 집합입니다).[9] 훨씬 더 일반적으로, "거의 모든"은 측정 이론(measure theory)에서 "거의 모든 곳(almost everywhere)"의 의미로,[10][11][sec 4] 또는 확률 이론(probability theory)에서 "거의 확실하게(almost surely)"와 밀접하게 관련된 의미로 때때로 사용됩니다.[11][sec 5]

예제:

Meaning in number theory

Further information: Asymptotically almost surely

숫자 이론(number theory)에서, "거의 모든 양의 정수"는 "자연스러운 밀도(natural density)가 1인 집합에서 양의 정수"를 의미할 수 있습니다. 즉, 만약 A가 양의 정수의 집합이고, n이 무한대에 경향일 때 A에서 n보다 작은 A에서 양의 정수 (n보다 작은 모든 양의 정수 중)의 비율이 1로의 경향이면, 거의 모든 양의 정수는 A에 있습니다.[16][17][sec 7]

S를 짝수 양수의 집합 또는 소수(primes)의 집합과 같은 양의 정수의 무한 집합이라고 놓으며, 만약 A가 S의 부분집합이고, A에 있는 n보다 작은 S의 원소 (n보다 작은 S의 모든 원소 중)의 비율이 n이 무한대로 경향일 때 1로의 경향이면, 그것은 S의 거의 모든 원소가 A에 있다고 말합니다.

예제:

  • 양의 정수의 여-유한 집합(cofinite set)의 자연스러운 밀도는 1이므로, 그것들의 각각은 거의 모든 양의 정수를 포함합니다.
  • 거의 모든 양의 정수는 합성수(composite)입니다.[sec 7][proof 1]
  • 거의 모든 짝수 양수는 두 소수의 합으로 표현될 수 있습니다.[4]: 489 
  • 거의 모든 소수는 고립(isolated)된 것입니다. 더욱이, 모든 각 양의 정수 g에 대해, 거의 모든 소수는 그것들의 왼쪽과 그것들의 오른쪽 모두에서 g보다 큰 소수 갭(prime gap)을 가집니다; 즉, p − g와 p + g 사이에는 다른 소수가 없습니다.[18]

Meaning in graph theory

그래프 이론(graph theory)에서, 만약 A가 (유한 레이블-지정된) 그래프(graph)의 집합이면, 그것은, 만약 A에 있는 n 꼭짓점을 갖는 그래프의 비율이 n이 무한대 경향일 때 1로의 경향이면 거의 모든 그래프를 포함한다고 말할 수 있습니다.[19] 어쨌든, 그것은 때때로 확률로 작업하는 것이 더 쉬우므로,[20] 정의는 다음과 같이 다시 공식화됩니다. A 안에 있는 n 꼭짓점을 갖는 그래프의 비율은 (균등 분포(uniform distribution)로 선택된) n 꼭짓점을 갖는 확률 그래프가 A 안에 있을 확률과 같고, 이러한 방법으로 그래프를 선택하는 것은 각 꼭짓점 쌍에 대해 그것들 연결 여부를 결정하기 위해 동전을 던짐으로써 그래프를 생성하는 것과 같은 결과를 가집니다.[21] 그러므로, 앞의 정의와 동등하게, n이 무한대로 경향일 때 n 꼭짓점을 갖는 동전 던져-생성된 그래프가 A 안에 있을 확률이 1로 경향이면, 집합 A는 거의 모든 그래프를 포함합니다.[20][22] 때때로, 후자의 정의가 그 그래프가 일부 다른 방법에서 무작위로 선택되도록 수정되며, 여기서 n 꼭짓점을 갖는 모든 그래프가 같은 확률을 갖는 것은 아니고,[21] 수정된 정의가 항상 주요 정의와 동등하지는 않습니다.

그래프 이론에서 용어 "거의 모든"의 사용은 표준이 아닙니다; 용어 "점근적으로 거의 확실하게(asymptotically almost surely)"는 이 개념에 더 공통적으로 사용됩니다.[20]

예제:

Meaning in topology

토폴로지(topology)와[24] 특히 동적 시스템 이론(dynamical systems theory)[25][26][27] (경제학에서 응용을 포함)에서,[28] 토폴로지적 공간(topological space)의 점의 "거의 모두"는 "마른 집합(meagre set)에서 점을 제외하고 공간의 점의 모두"를 의미할 수 있습니다. 일부는 더 제한된 정의를 사용하며, 여기서 부분집합은 만약 그것이 일부 열린(open) 조밀 집합(dense set)을 포함하면 오직 공간의 점의 거의 모두를 포함합니다.[26][29][30]

예제:

Meaning in algebra

추상 대수학(abstract algebra)과 수학적 논리(mathematical logic)에서, 만약 U가 집합 X 위에 극단-필터(ultrafilter)이면, "X의 거의 모든 원소"는 때때로 "U의 일부 원소의 원소"를 의미합니다.[31][32][33][34] X를 둘의 서로소 집합(disjoint sets)으로 임의의 분할(partition)에 대해, 그 중 하나는 반드시 X의 거의 모든 원소를 포함할 것입니다. X 위의 필터(filter)의 원소를 X의 거의 모든 원소를, 심지어 그것이 극단-필터가 아닐지라도, 포함하는 것으로 생각할 수 있습니다.[34]

Proofs

  1. ^ According to the prime number theorem, the number of primes less than or equal to n is asymptotically equal to n/ln(n). Therefore, the proportion of primes is roughly ln(n)/n, which tends to 0 as n tends to infinity, so the proportion of composite numbers less than or equal to n tends to 1 as n tends to infinity.[17]

See also

References

Primary sources

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