Anomalous cancellation

Original article: w:Anomalous cancellation

${\begin{array}{l}\;\;\;{\dfrac {d}{dx}}{\dfrac {1}{x}}\\={\dfrac {d}{d}}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\={\dfrac {d\!\!\!\backslash }{d\!\!\!\backslash }}{\dfrac {1}{x^{2}}}\\=-{\dfrac {1}{x^{2}}}\end{array}}$

Anomalous
cancellation
in calculus

비-정규 약분(anomalous cancellation) 또는 비-본질 약분(accidental cancellation)은 수치적으로 정확한 답을 제공하는 특정 종류의 산술(arithmetic) 절차적 오류입니다. 시도는 분자(numerator)와 분모(denominator)에서 개별적인 자릿수(digit)를 약분함으로써 분수(fraction)를 줄이기(reduce) 위해 만들어집니다. 이것은 합법적인 연산이 아니고, 일반적으로 정확한 답을 제공하지 않지만, 드문 경우에서 그 결과는 정확한 절차가 적용된 것과 수치적으로 같습니다. 후행하는 영을 취소하거나 자릿수의 모두가 같은 자명한 경우는 무시됩니다.

여전히 올바른 결과를 생성하는 비-정규 약분의 예제는 다음을 포함합니다 (이거들과 그들의 역은 분수가 1과 다른 분수와 두 자릿수를 갖는 밑수 10에서 모든 경우입니다):

• ${\frac {19}{95}}={\frac {1\!\!{\not 9}}{\not 95}}={\frac {1}{5}}$
• ${\frac {16}{64}}={\frac {1\!\!{\not 6}}{\not 64}}={\frac {1}{4}}$
• ${\frac {26}{65}}={\frac {2\!\!{\not 6}}{\not 65}}={\frac {2}{5}}$
• ${\frac {49}{98}}={\frac {4\!\!{\not 9}}{\not 98}}={\frac {4}{8}}={\frac {1}{2}}.$

보아스(Boas)에 의한 기사는 밑수 10(base 10) 이외의 밑수(base)에서 두-자릿수 경우를 분석합니다. 예를 들어, 32/13 = 2/1과 그것의 역은 두 자릿수를 갖는 밑수 4에서 유일한 해입니다.

비-정규 약분은 역시 더 많은 자릿수와 함께 역시 발생합니다. 예를 들어 165/462 = 15/42와 다른 자릿수 (98/392 = 8/32)를 갖는 것들도 있습니다.

Elementary properties

밑수가 소수일때 두-자릿수 해는 존재하지 않습니다. 이것은 모순에 의해 입증될 수 있습니다: 해가 존재한다고 가정하고, 일반성의 손실 없이 우리는 이 해가 다음임을 말할 수 있습니다:

${\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}$

여기서 세로 막대는 자릿수 연쇄(digit concatenation)를 나타냅니다. 따라서 우리는 다음을 가집니다:

${\frac {ap+b}{cp+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cp=b(a-c)$

그러나 $p>a,b,a-c$이고, 그것들이 밑수 $p$에서 자릿수일 때, 여전히 $p|b(a-c)$이며 이것은 $a=c$임을 의미하므로 따라서 오른쪽 변은 영이며 이것은 왼쪽 변이 역시 영, 즉, $a=b$이어야 함을 의미하며, 모순입니다.

또 다른 속성은 밑수 $n$에서 해의 숫자가 홀수인 것과 $n$이 짝수 제곱인 것은 필요충분(iff) 조건이라는 것입니다. 이것은 위에 것과 유사하게 입증될 수 있습니다: 우리는 해가 존재함을 가정합니다:

${\frac {a||b}{c||a}}={\frac {b}{c}}$

그런-다음 같은 조작을 하여 다음을 얻습니다:

${\frac {an+b}{cn+a}}={\frac {b}{c}}\implies (a-b)cn=b(a-c)$

$a>b,c$임을 가정합니다. 그런-다음 $a,b,c\to a,a-c,a-b$가 역시 방정식에 대한 하나의 해임에 주목하십시오. 이것은 해의 집합에서 자체로의 인볼루션(involution)을 거의 설정하지만, 문제는 $b=a-c,c=a-b$일 때 발생합니다. 이 경우에서, 우리는 $(a-b)^{2}n=b^{2}$를 얻기 위해 대체할 수 있으므로 이것은 $n$가 제곱일 때 해를 유일하게 가집니다. $n=k^{2}$라고 놓습니다. 제곱 근을 하고 다시-배열하는 것은 $ak=(k+1)b$를 산출합니다. $k,(k+1)$의 최대 공통 약수(greatest common divisor)는 일이므로, 우리는 $a=(k+1)x,b=kx$임을 압니다. $a,b<k^{2}$임을 주목하면, 이것은 정확하게 해 $x=1,2,3,\ldots ,k-1$를 가집니다. 즉, 그것은 $n=k^{2}$가 짝수 제곱일 때 해로 홀수를 가집니다. 명제의 전환(converse)은 이들 해 모두가 초기 요구-사항을 만족시킨다는 점에 주목함으로써 입증될 수 있습니다.

See also

• Mathematical joke