Converse (logic)

논리(logic)에서, 카테고리적 또는 암시적 명제의 전환(converse)은 그것의 두 부분을 거꾸로-한 결과입니다. 함축(implication) P → Q에 대해 전환은 Q → P입니다. 카테고리적 제안(categorical proposition) 모든 S는 P이다에 대해, 전환은 모든 P가 S이다입니다. 어느 쪽이든, 전환의 진리는 일반적으로 원래 명제의 진리로부터 독립적입니다.^[1]^[2]

Implicational converse

Venn diagram of $A\leftarrow B$
(the white area shows where the statement is false)

S를 형식 P는 Q를 의미합니다 (P → Q)의 명제로 놓습니다. 그런-다음 S의 전환은 명제 Q는 P를 의미합니다 (Q → P)입니다. 일반적으로, S의 진리는 만약 전제(antecedent) P와 결론(consequent) Q가 논리적으로 동등하지 않으면 그것의 전환의 진리에 대해 아무것도 말하지 않습니다.^[1]^[3]

예를 들어, 참 명제 "만약 내가 인간이라면, 필멸의 존재입니다"를 생각해 보십시오. 해당 명제의 전환은 "만약 내가 필멸의 존재이면, 나는 인간입니다"이며, 이것은 필연적으로 참(necessarily true)은 아닙니다.

다른 한편으로, 원래 제안의 진리가 주어지면, 서로 포함하는 항을 가진 명제의 전환은 참으로 남습니니다. 이것은 정의의 전환이 참이라고 말하는 것과 동등합니다. 따라서 명제 "만약 내가 삼각형이면, 나는 3-변을 가진 다각형입니다"는 "만약 내가 세-변을 가진 다각형이면, 나는 삼각형입니다"는 논리적으로 동등한데, 왜냐하면 "삼각형"의 정의는 "세-변을 가진 다각형"이기 때문입니다.

진리 테이블은 만약 두 항이 서로를 암시하지 않으면 S와 S의 전환은 논리적으로 동등하지 않다는 것을 분명하게 만듭니다:

$P$	$Q$	$P\rightarrow Q$	$P\leftarrow Q$ (converse)
T	T	T	T
T	F	F	T
F	T	T	F
F	F	T	T

명제에서 그것의 전환의 가는 것은 결론을 단언(affirming the consequent)하는 것의 잘못입니다. 어쨌든, 만약 명제 S와 그것의 전환이 서로 동등하면 (즉, P가 참인 것과 Q가 역시 참인 것이 필요충분(iff) 조건이면), 결론을 단언하는 것은 유효할 것이다.

전환 암시는 $P$ 와 $\neg Q$ 의 논리합과 논리적으로 동등합니다:

$P\leftarrow Q$	$\Leftrightarrow$	$P$	$\lor$	$\neg Q$
	$\Leftrightarrow$		$\lor$

자연 언어에서, 이것은 "P없이 Q는 아님"을 제공할 수 있습니다.

Converse of a theorem

수학에서, 형식 P → Q의 정리의 전환은 Q → P일 것입니다. 전환은 참이 이것나 참이 아닐 수 있고, 심지어 참이더라도, 증명이 어려울 수 있습니다. 예를 들어, 네-꼭짓점 정리(Four-vertex theorem)는 1912년에 입증되었지만, 그것의 전환은 1997년에 오직 입증되었습니다.^[4]

실제에서, 수학적 정리의 전환을 결정할 때, 전제의 관점은 문맥을 확립하는 것으로 여길 수 있습니다. 즉, "P가 주어지면, 만약 Q이면 R입니다"의 전환은 "P가 주어지면, 만약 R이면 Q입니다"일 것입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)는 다음과 같이 표현될 수 있습니다:

길이 $a$ , $b$ , 및 $c$ 의 변을 갖는 삼각형이 주어지면, 만약 길이 $c$ 의 변의 반대 각이 직각 삼각형이면, $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 입니다.

역시 유클리드의 원론(Euclid's Elements) (책 I, 제안 48)에서 나타나는 전환은 다음으로 표현될 수 있습니다:

길이 $a$ , $b$ , 및 $c$ 의 변을 갖는 삼각형이 주어지면, 만약 $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ 이면, 길이 $c$ 의 변의 반대 각은 직각입니다.

Converse of a relation

만약 $R$ 이 $R\subseteq A\times B$ 을 갖는 이항 관계(binary relation)이면, 전환 관계(converse relation) $R^{T}=\{(b,a):(a,b)\in R\}$ 는 역시 전치(transpose)로 불립니다.^[5]

Notation

암시 P → Q의 전환은 Q → P, $P\leftarrow Q$ 로 쓸 수 있지만, 역시 $P\subset Q$ , 또는 (보헨스키 표기법(Bocheński notation)에서) "Bpq"로 표기법에서 쓸 수 있습니다.^{[citation needed]}

Categorical converse

전통적인 논리에서, "모든 S가 P입니다"에서 그것의 전환 "모든 P가 S입니다"로 가는 과정은 전환(conversion)이라고 불립니다. 에이서 머핸(Asa Mahan)의 말에서:

"원래 제안은 엑스포지따(exposita)라고 불립니다; 전환될 때, 그것은 전환으로 이름-짓습니다. 전환은 아무것도 엑스포지타에서 단언 또는 암시되지 않은 전환에서 주장되지 않을 때, 및 오직 않을 때, 유효합니다.^[6]

"엑스포지따"는 더 보통 "컨버텐드(convertend)"로 불립니다. 그것의 단순한 형식에서, 전환은 E와 I 제안에 대해 오직 유효합니다:^[7]

Type	Convertend	Simple converse	Converse per accidens
A	All S are P	not valid	Some P is S
E	No S is P	No P is S	Some P is not S
I	Some S is P	Some P is S	–
O	Some S is not P	not valid	–

E와 I 제안에 대해 오직 단순한 전환의 유효성은 "항은 컨버텐드에서 배분되지 않은 전환에서 배분되어서는 안됩니다"는 제한에 의해 표현될 수 있습니다.^[8] E 제안에 대해, 주제와 술어 둘 다는 분배되지만, I 제안에 대해, 둘 다 아닙니다.

A 제안에 대해, 주어는 분배되지만 술어는 분배되지 않으므로, A 명제에서 그것의 전환으로의 추론은 유효하지 않습니다. 예를 들어, A 제안 "모든 고양이는 포유 동물입니다"에 대해, 전환 "모든 포유 동물은 고양이입니다"는 분명히 거짓입니다. 어쨌든, 더 약한 명제 "일부 포유 동물은 고양이입니다"는 참입니다. 논리학자들은 이 더 약한 명제를 생성하는 과정이 되도록 전환 per accidens를 정의합니다. 명제에서 그것의 전환 per accidens으로의 추론은 일반적으로 유효합니다. 어쨌든, 삼단-논법(syllogism)에서와 같이, 보편적에서 특정으로의 이 전환은 빈 카테고리와 함께 문제를 일으킵니다: "모든 유니콘은 포유 동물입니다"는 종종 참으로 여겨지지만, 전환 per accidens는 "일부 포유 동물은 유니콘입니다"는 명백히 거짓입니다.

일-차 술어 계산(first-order predicate calculus)에서, 모든 S는 P입니다는 $\forall x.S(x)\to P(x)$ 로 표현될 수 있습니다.^[9] 따라서 카테고리적 전환은 암시적 전환과 밀접한 관련이 있고, S와 P는 "모든 S가 P입니다"에서 교환될 수 없음은 분명합니다.

References

^ ^a ^b "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Converse". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-11-27.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Robert Audi, ed. (1999), The Cambridge Dictionary of Philosophy, 2nd ed., Cambridge University Press: "converse".
^ Taylor, Courtney. "What Are the Converse, Contrapositive, and Inverse?". ThoughtCo. Retrieved 2019-11-27.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Shonkwiler, Clay (October 6, 2006). "The Four Vertex Theorem and its Converse" (PDF). math.colostate.edu. Retrieved 2019-11-26.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
^ Gunther Schmidt & Thomas Ströhlein (1993) Relations and Graphs, page 9, Springer books
^ Asa Mahan (1857) The Science of Logic: or, An Analysis of the Laws of Thought, p. 82.
^ William Thomas Parry and Edward A. Hacker (1991), Aristotelian Logic, SUNY Press, p. 207.
^ James H. Hyslop (1892), The Elements of Logic, C. Scribner's sons, p. 156.
^ Gordon Hunnings (1988), The World and Language in Wittgenstein's Philosophy, SUNY Press, p. 42.