Anticommutative property

Original article: w:Anticommutativity

수학(mathematics)에서, 반-교환성(anticommutativity)은 일부 비-교환(commutative) 연산(operations)의 특정 속성입니다. 대칭(symmetry)이 중요성의 중심에 있는, 수학적 물리학(mathematical physics)에서, 이들 연산은 대부분 반-대칭 연산(antisymmetric operations)이라고 불리고, 둘 보다 많은 인수(arguments)를 다루기 위해 결합(associative) 설정으로 확장됩니다. 비대칭 연산의 두 인수의 위치를 교환하는 것은 교환되지 않은 인수를 가진 결과의 역(inverse)인 결과를 산출합니다. 개념 역(inverse)은 덧셈(addition)과 같은 가능한 또 다른 연산을 가진 연산의 코도메인(codomain) 위에 그룹 구조(group structure)를 참고합니다.

뺄셈(Subtraction)은 반-교환 연산인데 왜냐하면 −(a − b) = b − a이기 때문입니다. 예를 들어, 2 − 10 = −(10 − 2) = −8입니다.

반-교환적 연산의 중요한 예제는 리 괄호(Lie bracket)입니다.

Definition

만약 $A,B$가 두 아벨 그룹(abelian group)이면, 쌍선형 맵(bilinear map) $f:A^{2}\to B$은 만약 모든 $x,y\in A$에 대해 우리가 다음을 가지면 반-교환적입니다:

$f(x,y)=-f(y,x).$

보다 일반적으로, 다중선형 맵(multilinear map) $g:A^{n}\to B$은 만약 모든 $x_{1},\dots x_{n}\in A$에 대해 우리가 다음을 가지면 반교환적입니다:

$g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})={\text{sgn}}(\sigma )g(x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},\dots x_{\sigma (n)})$

여기서 ${\text{sgn}}(\sigma )$는 순열(permutation) $\sigma$의 부호(sign)입니다.

Properties

만약 아벨 그룹 $B$가 $x=-x$이면 $x=0$을 의미하는 2-꼬임(torsion)을 가지지 않으면, 임의의 반-교환적 쌍-선형 맵 $f:A^{2}\to B$은 다음을 만족시킵니다:

$f(x,x)=0.$

보다 일반적으로, 두 원소를 전위(transposing)함으로써, 임의의 반-교환적 다중-선형 맵 $g:A^{n}\to B$은 만약 $x_{i}$의 임의의 것이 같으면, 다음을 만족시킵니다:

$g(x_{1},x_{2},\dots x_{n})=0$

그러한 맵은 교대하는(alternating) 것이라고 말합니다. 반대로, 다중선형성을 사용하여, 임의의 교대하는 맵은 반-교환적입니다. 이항 경우에서 이것은 다음처럼 작동합니다: 만약 $f:A^{2}\to B$가 교대하는 것이면, 쌍선형성에 의해 우리는 다음을 가집니다:

$f(x+y,x+y)=f(x,x)+f(x,y)+f(y,x)+f(y,y)=f(x,y)+f(y,x)=0$

그리고 다중선형 경우에서 증명은 같은 것이지만 입력의 오직 둘에서 증명되었습니다.

Examples

반교환적 이항 연산의 예제는 다음을 포함합니다:

• 교차 곱(Cross product)
• 리 대수(Lie algebra)의 리 괄호
• 리 링(Lie ring)의 리 괄호
• 뺄셈(Subtraction)

See also

• Commutativity
• Commutator
• Exterior algebra
• Graded-commutative ring
• Operation (mathematics)
• Symmetry in mathematics
• Particle statistics (for anticommutativity in physics).

References

• Bourbaki, Nicolas (1989), "Chapter III. Tensor algebras, exterior algebras, symmetric algebras", Algebra. Chapters 1–3, Elements of Mathematics (2nd printing ed.), Berlin-Heidelberg-New York City: Springer-Verlag, ISBN 3-540-64243-9, MR 0979982, Zbl 0904.00001.

External links

• Gainov, A.T. (2001) [1994], "Anti-commutative algebra", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press. Which references the Original Russian work
• Weisstein, Eric W. "Anticommutative". MathWorld.