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Operation (mathematics)

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Original article: wikipedia:Operation (mathematics)
Not to be confused with Operator (mathematics).
Elementary arithmetic operations:
  • +, plus (addition)
  • −, minus (subtraction)
  • ÷, obelus (division)
  • ×, times (multiplication)

수학(mathematics)에서, 연산(operation)은 영 이상의 (피연산자(operand)라고 불리는) 입력 값에서 잘-졍의된 출력 값으로 취하는 함수(function)입니다.[1] 피연산자의 개수는 연산의 애리티(arity)입니다.

가장 공통적으로 연구된 연산은 덧셈(addition)과 곱셈(multiplication)과 같은 이항 연산(binary operation) (즉, 애리티 2의 연산), 및 덧셈의 역(additive inverse)과 곱셈의 역(multiplicative inverse)과 같은 단항 연산(unary operation) (즉, 애리티 1의 연산)입니다. 애리티 영의 연산, 또는 영-항 연산(nullary operation)은 상수(constant)입니다.[2][3] 혼합된 곱(mixed product)은 애리티 3의 연산의 예제이며, 역시 삼항 연산(ternary operation)이라고 불립니다.

일반적으로, 애리티는 유한인 것으로 취합니다. 어쨌든, 무한-항 연산(infinitary operation)이 때때로 고려되며,[2] 이 경우에서, 유한 애리티의 "보통" 연산은 유한-항 연산(finitary operations)이라고 불립니다.

부분 연산(partial operation)은 연산과 유사하게 정의되지만, 함수의 자리에 부분 함수(partial function)를 가집니다.

Types of operation

A binary operation takes two arguments and , and returns the result .

연산의 두 공통 유형: 단항(unary)과 이항(binary)이 있습니다.[1] 단항 연산은 부정(negation)과 삼각 함수(trigonometric function)와 같은 오직 하나의 값을 포함합니다.[4] 이항 연산은, 다른 한편으로, 두 값을 취하고, 덧셈(addition), 뺄셈(subtraction), 곱셈(multiplication), 나눗셈(division), 및 지수화(exponentiation)를 포함합니다.[5]

연산은 숫자 이외의 수학적 대상을 포함할 수 있습니다. 논리 값(logical values) 참(true)과 거짓(false)은 그리고(and), 또는(or), 및 부정(not)과 같은 논리적 연산(logic operation)을 사용하여 결합될 수 있습니다. 벡터(Vectors)는 더해지거나 빼질 수 있습니다.[6] 회전(Rotation)은 함수 합성(function composition) 연산을 사용하여 조합될 수 있으며, 첫 번째 회전을 수행하고 그런-다음 두 번째를 수행합니다. 집합(sets)은 이항 연산 합집합(union)과 교집합(intersection) 및 여집합(complementation)의 단항 연산을 포함합니다.[7][8][9] 함수(function)에 대한 연산은 합성(composition)과 합성곱(convolution)을 포함합니다.[10][11][12]

연산은 그것의 도메인(domain)의 모든 각 가능한 값에 대해 정의되지 않을 수 있습니다. 예를 들어, 실수에서, 우리는 영으로 나눌 수 없고[13] 음수의 제곱근을 취할 수 없습니다. 연산이 정의되는 값은 정의의 도메인 또는 활성 도메인이라고 불리는 집합을 형성합니다. 생성된 값을 포함하는 집합은 코도메인(codomain)이라고 불리지만, 연산에 의해 도달된 실제 값의 집합은 정의의 코도메인, 활성 코도메인, 이미지(image) 또는 치역(range)입니다.[14] 예를 들어, 실수에서, 제곱하는 연산은 비-음의 숫자를 오직 생성합니다; 코도메인은 실수의 집합이지만, 치역은 비-음수입니다.

연산은 유사하지 않은 대상을 포함할 수 있습니다: 벡터는 또 다른 벡터를 형성하기 위해 스칼라(scalar)에 의해 곱해질 수 있고 (스칼라 곱셈(scalar multiplication)으로 알려진 연산),[15] 두 벡터에 대한 안의 곱(inner product) 연산은 스칼라인 양을 생성합니다.[16][17] 연산은 특정 속성을 가질 수도 가지지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 그것은 결합적(associative), 교환적(commutative), 반-교환적(anticommutative), 거듭상등(idempotent), 등일 수 있습니다.[1]

조합된 값은 피연산자(operands), 인수(arguments), 또는 입력(inputs)이라고 불리고, 생성된 값은 값(value), 결과(result), 또는 출력(output)이라고 불립니다. 연산은 둘보다 작거나 더 큰 입력을 가질 수 있습니다 (영 입력과 무한하게 많은 입력의 경우를 포함합니다[2]).

연산자(operator)는, 그것이 연산을 나타내기 위해 사용된 기호 또는 과정을 참조한다는 점에서 연산과 유사하고,[12] 따라서 관점이 다릅니다. 예를 들어, 우리는 피연산자와 결과에 초점을 맞출 때 "덧셈의 연산" 또는 "덧셈 연산"을 자주 언급하지만, 과정, 또는 보다 기호적 관점, 함수 +: X × X → X에 초점을 맞출 때, "덧셈 연산자" (드물게 "덧셈의 연산자")로 전환합니다.

Definition

X1, …, Xn에서 Y로의 n-항 연산 ω는 함수(function) ω: X1 × … × Xn → Y입니다. 집합 X1 × … × Xn은 연산의 도메인이라고 불리고, 집합 Y는 연산의 코도메인이라고 불리고, 고정된 비-음의 정수 n (피연산자의 숫자)는 연산의 애리티(arity)라고 불립니다. 따라서, 단항 연산(unary operation)은 애리티 일을 가지고, 이항 연산(binary operation)은 애리티 이를 가집니다.[1] 영-항(nullary) 연산이라고 불리는 애리티 영의 연산은 단순히 코도메인 Y의 원소입니다. n-항 연산은 역시 그것의 n 입력 도메인에서 전체(total)이고 그것의 출력 도메인에서 고유한(unique) 것인 (n + 1)-항 관계(relation)로 보일 수 있습니다.

X1, …, Xn에서 Y로의 n-항 부분 연산 ω는 부분 함수(partial function) ω: X1 × … × Xn → Y입니다. n-항 부분 연산은 역시 그것의 출력 도메인에서 고유한 것인 (n + 1)-항 관계로 보일 수 있습니다.

위의 내용은 유한 피연산자의 숫자 (값 n)를 참조하는 보통 유한-항 연산이라고 불리는 것을 설명합니다. 애리티가 무한 순서-숫자(ordinal) 또는 세는-숫자(cardinal),[2] 또는 심지어 피연산자를 인덱싱하는 임의의 집합으로 취해지게 되는 명백한 확장이 있습니다.

종종, 용어 연산의 사용은 함수의 도메인이 코도메인의 거듭제곱 (즉, 하나 이상의 코도메인의 복사본의 데카르트 곱(Cartesian product))을 포함한다는 것을 의미하지만,[18] 벡터가 곱해지고 스칼라를 초래하는 점 곱(dot product)의 경우에서 처럼, 결코 보편적인 것은 아닙니다. n-항 연산 ω: Xn → X은 내부 연산(internal operation)이라고 불립니다. n-항 연산 ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X은, 여기서 0 ≤ i < n이며, 스칼라 집합 또는 연산자 집합 S에 의한 외부 연산(external operation)이라고 불립니다. 특히 이항 연산에 대해, ω: S × X → X는 S에 의한 왼쪽-외부 연산이라고 불리고, ω: X × S → X는 S에 의한 오른쪽-외부 연산이라고 불립니다. 내부 연산의 예제는 벡터 덧셈(vector addition)으로, 여기서 두 벡터는 더해지고 벡터를 결과로 초래합니다. 외부 연산의 예제는 스칼라 곱셈(scalar multiplication)으로, 여기서 벡터는 스칼라에 의해 곱해지고 벡터를 결과로 초래합니다.

See also

References

  1. ^ a b c d "The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Operation". Math Vault. 2019-08-01. Retrieved 2019-12-10.
  2. ^ a b c d "Algebraic operation - Encyclopedia of Mathematics". www.encyclopediaofmath.org. Retrieved 2019-12-10.
  3. ^ DeMeo, William (August 26, 2010). "Universal Algebra Notes" (PDF). math.hawaii.edu. Retrieved 2019-12-09.
  4. ^ Weisstein, Eric W. "Unary Operation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  5. ^ Weisstein, Eric W. "Binary Operation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  6. ^ Weisstein, Eric W. "Vector". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27. Vectors can be added together (vector addition), subtracted (vector subtraction) ...
  7. ^ Weisstein, Eric W. "Union". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Intersection". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Complementation". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  10. ^ Weisstein, Eric W. "Composition". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  11. ^ Weisstein, Eric W. "Convolution". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  12. ^ a b "Compendium of Mathematical Symbols: Operators". Math Vault. 2020-03-01. Retrieved 2020-08-08.
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Division by Zero". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  14. ^ Weisstein, Eric W. "Domain". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-08.
  15. ^ Weisstein, Eric W. "Scalar Multiplication". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  16. ^ Jain, P. K.; Ahmad, Khalil; Ahuja, Om P. (1995). Functional Analysis. New Age International. ISBN 978-81-224-0801-0.
  17. ^ Weisstein, Eric W. "Inner Product". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-07-27.
  18. ^ Burris, S. N.; Sankappanavar, H. P. (1981). "Chapter II, Definition 1.1". A Course in Universal Algebra. Springer.

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