Biproduct

Original article: w:Biproduct

This article is about biproducts in mathematics. For an incidental product from a process, see By-product.

카테고리 이론(category theory)과 수학(mathematics)에 대한 그 응용에서, 영 대상(zero objects)을 갖는 카테고리(category)에서 대상(objects)의 유한 모임의 이중-곱(biproduct)은 곱(product)과 공동곱(coproduct) 둘 다입니다. 전덧셈 카테고리(preadditive category)에서, 곱과 공동곱의 개념은 대상의 유한 모음에 대해 일치합니다. 이중곱은 모듈의 유한 직접 합의 일반화입니다.

Definition

C를 영 사상(zero morphisms)을 갖는 카테고리(category)라고 놓습니다. C에서 대상 A₁, ..., A_n의 유한 (빈 것도 가능한) 모음이 주어졌을 때, 그것들의 이중곱(biproduct)은 다음 사상(morphisms)과 함께 C에서 대상 ${\textstyle A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$입니다:

• ${\textstyle p_{k}\!:A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}\to A_{k}}$ in C (투영 사상)
• ${\textstyle i_{k}\!:A_{k}\to A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}$ (삽입 사상)

이때 다음을 만족시킵니다

• ${\textstyle p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}}}$, $A_{k}$의 항등 사상, 및
• ${\textstyle p_{l}\circ i_{k}=0}$, $k\neq l$에 대해 영 사상(zero morphism) $A_{k}\to A_{l}$.

그리고 다음을 만족합니다:

• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},p_{k}\right)}$는 ${\textstyle A_{k}}$에 대해 곱(product)입니다, 그리고
• ${\textstyle \left(A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n},i_{k}\right)}$는 ${\textstyle A_{k}}$에 대해 공동 곱(coproduct)입니다.

만약 C가 전덧셈적이고 처음 두 개의 조건이 유지되면, 마지막 두 개의 조건 각각이 n > 0일 때 ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+\dots +i_{n}\circ p_{n}=1_{A_{1}\oplus \dots \oplus A_{n}}}$와 동등합니다. 빈, 또는 영항(nullary) 곱은 항상 카테고리에서 끝 대상(terminal object)이고, 빈 공동곱은 항상 카테고리에서 초기 대상(initial object)입니다. 따라서 빈, 또는 영항 이중곱은 항상 영 대상(zero object)입니다.

Examples

아벨 그룹(abelian groups)의 카테고리에서, 이중곱은 항상 존재하고 직접 합(direct sum)에 의해 제공됩니다. 영 대상은 자명한(trivial group)입니다.

유사하게, 이중곱은 필드(field)에 걸쳐 벡터 공간의 카테고리(category of vector spaces)에서 존재합니다. 이중곱은 다시 직접 합이고, 영 대상은 자명한 벡터 공간(trivial vector space)입니다.

보다 일반적으로, 이중곱은 링(ring)에 걸쳐 모듈의 카테고리(category of modules)에서 존재합니다.

다른 한편으로, 이중곱은 그룹의 카테고리(category of groups)에서 존재하지 않습니다. 여기서, 곱은 직접 곱(direct product)이지만, 공동곱은 자유 곱(free product)입니다.

역시, 이중곱은 집합의 카테고리(category of sets)에서 존재하지 않습니다. 왜냐하면, 곱은 데카르트 곱(Cartesian product)에 의해 주어지고, 반면에 공동곱은 서로소 합집합(disjoint union)에 의해 주어집니다. 이 카테고리는 영 대상을 가지지 않습니다.

블록 행렬(Block matrix) 대수는 행렬(matrices)의 카테고리에서 이중곱에 의존합니다.

Properties

만약 이중곱 ${\textstyle A\oplus B}$가 카테고리 C에서 대상 A와 B의 모든 쌍에 대해 존재하고, C가 영 대상을 가지면, 모든 유한 이중곱이 존재하여, C를 데카르트 모노이드 카테고리(Cartesian monoidal category)와 공동-데카르트 모노이드 카테고리 둘 다로 만듭니다.

만약 곱 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$과 공동곱 ${\textstyle A_{1}\coprod A_{2}}$ 둘 다는 대상 A₁, A₂의 일부 쌍에 대해 존재하면 다음임을 만족하는 고유한 사상 ${\textstyle f:A_{1}\coprod A_{2}\to A_{1}\times A_{2}}$이 있습니다:

• $p_{k}\circ f\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)$
• $p_{l}\circ f\circ i_{k}=0$ for ${\textstyle k\neq l.}$

따라서 이중곱 ${\textstyle A_{1}\oplus A_{2}}$가 존재하는 것과 $f$가 동형(isomorphism)인 것과 필요충분 조건입니다.

만약 C가 전덧셈 카테고리(preadditive category)이면, 모든 각 유한 곱이 이중곱이고, 모든 각 유한 공동곱은 이중곱입니다. 예를 들어, 만약 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$가 존재하면, 다음임을 만족하는 고유한 사상 ${\textstyle i_{k}:A_{k}\to A_{1}\times A_{2}}$이 있습니다:

• $p_{k}\circ i_{k}=1_{A_{k}},\ (k=1,2)$
• $p_{l}\circ i_{k}=0$ for ${\textstyle k\neq l.}$

${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$가 이제 역시 공동곱이고, 따라서 이중곱임을 보이기 위해, 일부 대상 ${\textstyle X}$에 대해 사상 ${\textstyle f_{k}:A_{k}\to X,\ k=1,2}$을 가짐을 가정합니다. ${\textstyle f:=f_{1}\circ p_{1}+f_{2}\circ p_{2}}$를 정의합니다. 그런-다음 ${\textstyle f}$는 ${\textstyle A_{1}\times A_{2}}$에서 ${\textstyle X}$로의 사상이고, ${\textstyle k=1,2}$에 대해 ${\textstyle f\circ i_{k}=f_{k}}$입니다.

이 경우에서, 항상 다음을 가집니다:

• ${\textstyle i_{1}\circ p_{1}+i_{2}\circ p_{2}=1_{A_{1}\times A_{2}}.}$

덧셈 카테고리(additive category)가 모든 유한한 이중곱이 존재하는 전덧셈 카테고리(preadditive category)입니다. 특히, 이중곱이 항상 아벨 카테고리(abelian categories)에 존재합니다.

References

• Borceux, Francis (2008). Handbook of Categorical Algebra 2: Categories and Structures. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-06122-3.