Trace (linear algebra)

선형 대수(linear algebra)에서, 정사각 행렬 $A$ 의 대각합(trace)은, $tr(A)$ 로 표시되며,^[1] $A$ 의 (위쪽 왼쪽에서 아래쪽 오른쪽까지) 주요 대각선에 있는 원소의 합으로 정의됩니다. 대각합은 정사각 행렬 ( $n \times n$ )에 대해서만 정의됩니다.

행렬의 대각합은 (복소) 고윳값 (중복도로 계산)의 합이라는 것이 입증될 수 있습니다. 역시 임의의 두 행렬 $A$ 와 $B$ 에 대해 $tr(AB) = tr(BA)$ 임이 입증될 수 있습니다. 이것은 닮은 행렬(similar matrices)이 같은 대각합을 가진다는 것을 의미합니다. 결과로써, 유한-차원 벡터 공간(vector space)을 자체로 매핑하는 선형 연산자(linear operator)의 대각합을 정의할 수 있는데, 왜냐하면 기저에 관해 그러한 연산자를 설명하는 모든 행렬이 닮았기 때문입니다.

대각합은 행렬식(determinant)의 도함수와 관련됩니다 (야코비의 공식을 참조).

Definition

$n \times n$ 정사각 행렬 $A$ 의 대각합은 다음으로 정의됩니다:^[1]^[2]^[3]^: 34 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+\dots +a_{nn}$ 여기서 $a ii$ 는 $A$ 의 $i$ -번째 행과 $i$ -번째 열의 엔트리를 나타냅니다. $A$ 의 엔트리는 실수(real numbers) 또는 (보다 일반적으로) 복소수(complex numbers)일 수 있습니다. 대각합은 비-정사각 행렬에 대해 정의되지 않습니다.

$tr(exp(A))$ 와 같은 표현은, 여기서 $A$ 는 정사각 행렬이며, 일부 분야 (예를 들어, 다변수 통계적 이론)에서 너무 자주 발생하여, 속기 표기법이 공통적이 되었습니다: $\operatorname {tre} (A):=\operatorname {tr} (\exp(A)).$

$tre$ 는 때때로 지수 대각합(exponential trace) 함수로 참조됩니다; 그것은 골든-톰슨 부등식(Golden–Thompson inequality)에서 사용됩니다.

Example

$A$ 를 다음과 같은 행렬이라고 놓습니다: $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&3\\11&5&2\\6&12&-5\end{pmatrix}}$

그런-다음 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{3}a_{ii}=a_{11}+a_{22}+a_{33}=1+5+(-5)=1$

Properties

Basic properties

대각합은 선형 매핑(linear mapping)입니다. 즉, 모든 정사각 행렬 $A$ 와 $B$ , 및 스칼라 $c$ 에 대해,^[1]^[2]^[3]^: 34 ${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\end{aligned}}$ 행렬과 그 전치(transpose)는 같은 대각합을 가집니다:^[1]^[2]^[3]^: 34 $\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right).$

이것은 정사각 행렬을 전치해도 주요 대각선을 따른 원소에 영향을 미치지 않는다는 사실에서 바로 이어집니다.

Trace of a product

두 개의 실수 행렬의 곱인 정사각 행렬의 대각합은 그것들의 원소의 엔트비-별 곱의 합, 즉, 그것들의 아다마르 곱(Hadamard product)의 모든 원소의 합으로 다시 쓸 수 있습니다. 직접 표현하자면, 만약 $A$ 와 $B$ 가 2개의 $m \times n$ 실수 행렬이면, 다음과 같습니다: $\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\mathbf {B} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {A} \mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\mathbf {A} \right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} \mathbf {A} ^{\mathsf {T}}\right)=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ij}\;.$

만약 임의의 $m \times n$ 실수 행렬을 길이 $mn$ 의 벡터로 본다면 (벡터화(vectorization)라고 하는 연산), $A$ 와 $B$ 에 대한 위의 연산은 표준 점 곱(dot product)과 일치합니다. 위 표현에 따르면, $tr(A ⊤ A)$ 는 제곱의 합이고 따라서 비-음수이고, 영과 같은 것과 $A$ 가 영인 것은 필요충분 조건입니다.^[4]^: 7 게다가, 위의 공식에서 언급된 것처럼, $tr(A ⊤ B) = tr(B ⊤ A)$ . 이들은 안의 곱에 요구되는 양수-한정성과 대칭을 보여줍니다; $tr(A ⊤ B)$ 를 $A$ 와 $B$ 의 프로베니우스 안의 곱(Frobenius inner product)이라고 부르는 것이 공통적입니다. 이것은 고정된 차원의 모든 실수 행렬의 벡터 공간(vector space) 위에 자연스러운 안의 곱입니다. 이 안의 곱에서 파생된 노름(norm)은 프로베니우스 노름(Frobenius norm)이라고 불리고, 그것은 부분곱셈 속성을 만족시키는데, 왜냐하면 코시-슈바르츠 부등식(Cauchy–Schwarz inequality)으로 입증될 수 있기 때문입니다: $0\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )\right]^{2}\leq \operatorname {tr} \left(\mathbf {A} ^{2}\right)\operatorname {tr} \left(\mathbf {B} ^{2}\right)\leq \left[\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\right]^{2}\left[\operatorname {tr} (\mathbf {B} )\right]^{2}\ ,$ 이때 $A$ 와 $B$ 가 같은 크기의 실수 양수 반-한정 행렬(positive semi-definite matrices)입니다. 프로베니우스 안의 곱과 노름은 행렬 미적분(matrix calculus)과 통계(statistics)에서 자주 발생합니다.

프로베니우스 안의 곱은 고정된 크기의 모든 복소수 행렬의 복소수 벡터 공간(complex vector space) 위에 $B$ 를 그것의 복소수 켤레(complex conjugate)로 대체함으로써 에르미트 안의 곱(hermitian inner product)으로 확장될 수 있습니다.

프로베니우스 안의 곱의 대칭은 다음과 같이 보다 직접적으로 표현될 수 있습니다: 곱의 대각합에서 행렬은 결과를 변경 없이 전환될 수 있습니다. 만약 $A$ 와 $B$ 가 각각 $m \times n$ 과 $n \times m$ 실수 또는 복소수 행렬이면, 다음과 같습니다:^[1]^[2]^[3]^: 34^{[note 1]}

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} )$

이것은 $AB$ 가 보통 $BA$ 와 같지 않다는 사실과 둘 중 하나의 대각합이 보통 $tr(A)tr(B)$ 와 같지 않기 때문에 주목할 만합니다.^{[note 2]} 같은 차원의 임의의 정사각 행렬 $A$ 와 역-가능 행렬 $P$ 에 대한 $tr(A) = tr(P -1 AP)$ 를 의미하는 대각합의 닮음-불변성(similarity-invariance)은 토대적인 결과입니다. 이것은 다음과 같이 입증됩니다: $\operatorname {tr} \left(\mathbf {P} ^{-1}(\mathbf {A} \mathbf {P} )\right)=\operatorname {tr} \left((\mathbf {A} \mathbf {P} )\mathbf {P} ^{-1}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ 닮음 불변성은 아래와 같이 선형 변환(linear transformations)의 대각합을 논의하기 위해 대각합의 치명적인 속성입니다.

추가적으로, 실수 열 벡터 $\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}$ 와 $\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}$ 에 대해, 밖의 곱의 대각합은 안의 곱과 동등합니다:

$\operatorname {tr} \left(\mathbf {b} \mathbf {a} ^{\textsf {T}}\right)=\mathbf {a} ^{\textsf {T}}\mathbf {b}$

Cyclic property

보다 일반적으로, 대각합은 원형 이동(circular shifts)에서 불변합니다. 즉,

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} )=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {D} \mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} ).$

이것은 순환 속성(cyclic property)으로 알려져 있습니다.

임의적인 순열은 허용되지 않습니다: 일반적으로, $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ).$

어쨌든, 3개의 대칭(symmetric) 행렬의 곱이 고려되면, 다음과 같은 이유로 임의의 순열이 허용됩니다: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} )=\operatorname {tr} \left(\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \mathbf {C} \right)^{\mathsf {T}}\right)=\operatorname {tr} (\mathbf {C} \mathbf {B} \mathbf {A} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {C} \mathbf {B} ),$ 여기서 첫 번째 상등은 행렬의 대각합과 전치가 같기 때문입니다. 세 개보다 많은 인수에 대해서는 일반적으로 참이 아님에 주목하십시오.

Trace of a Kronecker product

두 행렬의 크로네커 곱(Kronecker product)의 대각합은 그 대각합의 곱입니다: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\operatorname {tr} (\mathbf {B} ).$

Characterization of the trace

다음 세 가지 속성은: ${\begin{aligned}\operatorname {tr} (\mathbf {A} +\mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )+\operatorname {tr} (\mathbf {B} ),\\\operatorname {tr} (c\mathbf {A} )&=c\operatorname {tr} (\mathbf {A} ),\\\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )&=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ),\end{aligned}}$ 다음 의미에서 스칼라 배수까지(up to) 대각합을 특성화합니다: 만약 $f$ 가 $f(xy)=f(yx)$ 를 만족시키는 정사각 행렬의 공간 위에 선형 함수형(linear functional)이면, $f$ 와 $\operatorname {tr}$ 은 비례합니다.^{[note 3]}

$n\times n$ 행렬에 대해, 정규화 $f(\mathbf {I} )=n$ 를 부과하는 것은 $f$ 를 대각합과 같게 만듭니다.

Trace as the sum of eigenvalues

임의의 $n \times n$ 실수 또는 복소수 행렬 $A$ 에 대해, 다음이 있습니다:

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}$

여기서 $λ 1, ..., λ n$ 는 중복도와 함께 센 $A$ 의 고윳값(eigenvalues)입니다. 이것은 심지어 $A$ 가 실수 행렬이고 고윳값의 일부 (또는 전체)가 복소수이더라도 참을 보유합니다. 이것은 위에서 논의된 대각합의 닮음-불변성과 함께 조르당 정식 형식(Jordan canonical form)의 존재 결과로 여길 수 있습니다.

Trace of commutator

$A$ 와 $B$ 둘 다는 $n \times n$ 행렬일 때, $A$ 와 $B$ 의 (링-이론적) 교환자(commutator)의 대각합은 사라집니다: $tr([A, B]) = 0$ , 왜냐하면 $tr(AB) = tr(BA)$ 이고 $tr$ 은 선형이기 때문입니다. 스칼라의 교환자가 자명하기 때문에 (그것은 아벨 리 대수임), 이것을 "대각합은 연산자에서 스칼라로의 리 대수 $gl n \to k$ 의 맵입니다"라고 말할 수 있습니다. 특히, 닮음 불변성을 사용하여, 항등 행렬이 행렬의 임의의 쌍의 교환자와 결코 닮지 않음이 따라옵니다.

반대로, 영 대각합을 갖는 정사각 행렬은 행렬의 쌍의 교환자의 선형 조합입니다.^{[note 4]} 게다가, 영 대각합을 갖는 정사각 행렬은 모두 영으로 구성된 대각선을 갖는 정사각 행렬과 유니태리적으로 동등(unitarily equivalent)합니다.

Traces of special kinds of matrices

$n \times n$ 항등 행렬(identity matrix)의 대각합은 공간의 차원, 즉 $n$ 입니다.

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n

이것은 대각합을 사용하여 차원의 일반화(generalizations of dimension using trace)로 이어집니다.

에르미트 행렬(Hermitian matrix)의 대각합은 실수인데, 왜냐하면 대각선 위의 원소가 실수이기 때문입니다.
순열 행렬(permutation matrix)의 대각합은 해당하는 순열의 고정된 점(fixed points)의 개수인데, 왜냐하면 대각 항 $a ii$ 은 $i$ -번째 점이 고정되면 1이고 그렇지 않으면 0이기 때문입니다.
투영 행렬(projection matrix)의 대각합은 대상 공간의 차원입니다.

{\begin{aligned}\mathbf {P} _{\mathbf {X} }&=\mathbf {X} \left(\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\mathbf {X} \right)^{-1}\mathbf {X} ^{\mathsf {T}}\\[3pt]\Longrightarrow \operatorname {tr} \left(\mathbf {P} _{\mathbf {X} }\right)&=\operatorname {rank} (\mathbf {X} ).\end{aligned}}

행렬

P X

는 거듭상등입니다.

보다 일반적으로, 임의의 거듭상등 행렬(idempotent matrix)의 대각합, 즉, $A 2 = A$ 을 갖는 것은 자체의 랭크(rank)와 같습니다.
거듭제곱영 행렬(nilpotent matrix)의 대각합은 영입니다.

기저 필드의 특성이 영일 때, 전환은 항상 유지됩니다: 만약 모든

k

에 대해

tr(A k) = 0

이면,

A

는 거듭제곱영입니다.

특성

n > 0

이 양수일 때,

n

차원에서 항등 행렬은 반대예제인데,

\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}^{k}\right)=\operatorname {tr} \left(\mathbf {I} _{n}\right)=n\equiv 0

이지만, 항등 행렬은 거듭제곱영이 아니기 때문입니다.

Relationship to eigenvalues

만약 $A$ 가 실수 또는 복소수 엔트리를 갖는 정사각 행렬에 의해 표현된 선형 연산자이고 $λ 1, ..., λ n$ 가 (그것들의 대수적 중복도에 따라 목록화된) $A$ 의 고윳값(eigenvalues)이면,

$\operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum _{i}\lambda _{i}$

이것은 $A$ 가 주요 대각선에 $λ 1, ..., λ n$ 을 가지는 위쪽 삼각 행렬(triangular matrix), 조르당 형식(Jordan form)과 항상 닮았다는 사실에서 비롯됩니다. 대조적으로, $A$ 의 행렬식(determinant)은 그 고윳값의 곱(product)입니다; 즉, $\det(\mathbf {A} )=\prod _{i}\lambda _{i}.$

Derivative relationships

만약 $ΔA$ 가 작은 엔트리를 갖는 정사각 행렬이고 $I$ 가 항등 행렬(identity matrix)을 나타내면, 근사적으로 다음을 가집니다:

$\det(\mathbf {I} +\mathbf {\Delta A} )\approx 1+\operatorname {tr} (\mathbf {\Delta A} ).$

정확하게 이것은 대각합이 항등 행렬에서 행렬식(determinant) 함수의 도함수(derivative)임을 의미합니다. 다음 야코비의 공식(Jacobi's formula)은

$d\det(\mathbf {A} )=\operatorname {tr} {\big (}\operatorname {adj} (\mathbf {A} )\cdot d\mathbf {A} {\big )}$

보다 일반적이고 임의적인 정사각 행렬에서 행렬식의 미분(differential)을 행렬의 대각합과 수반(adjugate)의 측면에서 설명합니다.

이것으로부터 (또는 대각합과 고윳값 사이의 연결로부터), 대각합 함수, 행렬 지수(matrix exponential) 함수, 및 행렬식 사이의 관계를 도출할 수 있습니다: $\det(\exp(\mathbf {A} ))=\exp(\operatorname {tr} (\mathbf {A} )).$

대각합의 관련된 특성화는 선형 벡터 필드(vector fields)에 적용됩니다. 행렬 $A$ 가 주어졌을 때, $F (x) = Ax$ 에 의해 $R n$ 위에 벡터 필드 $F$ 를 정의합니다. 이 벡터 필드의 구성 요소는 ( $A$ 의 행에 의해 주어진) 선형 함수입니다. 그것의 다이버전스(divergence) $div F$ 는 그 값이 $tr(A)$ 와 같은 상수 함수입니다.

다이버전스 정리(divergence theorem)에 의해, 이것을 흐름의 관점에서 해석할 수 있습니다: 만약 $F (x)$ 가 위치 $x$ 에서 유체의 속도를 나타내고 $U$ 가 $R n$ 에서 영역이면, $U$ 에서 나가는 유체의 알짜 흐름(net flow)은 $tr(A) \cdot vol(U)$ 에 의해 주어지며, 여기서 $vol(U)$ 는 $U$ 의 부피(volume)입니다.

대각합은 선형 연산자이며, 따라서 그것은 도함수와 교환합니다: $d\operatorname {tr} (\mathbf {X} )=\operatorname {tr} (d\mathbf {X} ).$

Trace of a linear operator

일반적으로, 선형 맵 $f : V \to V$ 가 주어지면 (여기서 $V$ 는 유한-차원 벡터 공간)가 주어지면, $f$ 의 행렬 표현(matrix representation)의 대각합을 고려함으로써, 즉, $V$ 에 대해 기저(basis)를 선택하고 $f$ 를 이 기저에 관련하여 행렬로 기술하고, 이 정사각 행렬의 대각합을 취함으로써 이 맵의 대각합을 정의할 수 있습니다. 결과는 선택된 기저에 의존하지 않을 것인데, 왜냐하면 서로 다른 기저는 닮은 행렬(similar matrices)을 생성할 것이며, 선형 맵의 대각합에 대한 기저-독립적인 정의의 가능성을 허용하기 때문입니다.

그러한 정의는 $V$ 위의 선형 맵의 공간 $End(V)$ 와 $V \otimes V *$ 사이의 정식의 동형(canonical isomorphism)을 사용하여 제공될 수 있으며, 여기서 $V *$ 는 $V$ 의 이중 공간(dual space)입니다. $v$ 를 $V$ 안에 있다고 놓고 $f$ 를 $V *$ 안에 있다고 놓습니다. 그런-다음 비-분해가능 원소 $v \otimes f$ 의 대각합은 $f (v)$ 로 정의됩니다; 일반적인 원소의 대각합은 선형성에 의해 정의됩니다. $V$ 에 대한 명시적 기저와 $V *$ 에 대해 대응하는 이중 기저를 사용하여, 이것이 위에서 주어진 것과 같은 대각합의 정의를 제공한다는 것을 보여줄 수 있습니다.

Numerical algorithms

Stochastic estimator

대각합은 "Hutchinson's trick"에 의해 편향 없이 추정될 수 있습니다:^[5]

임의의 행렬 $W\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ 과 $E[uu^{T}]=I$ 를 갖는 임의의 무작위 $u\in \mathbb {R} ^{n}$ 가 주어졌을 때, $E[u^{T}Wu]=tr(W)$ 를 가집니다. (증명: 기대를 직접 전개하십시오.)

보통, 확률 벡터는 $N(0,I)$ (정규 분포) 또는 $\{\pm n^{-1/2}\}^{n}$ (라더마허 분포(Rademacher distribution))에서 표본화됩니다.

대각합의 보다 정교한 확률적 추정기가 개발되어 왔습니다.^[6]

Applications

만약 2 x 2 실수 행렬이 영 대각합을 가지면, 그것의 제곱은 대각 행렬(diagonal matrix)입니다.

2 × 2 복소수 행렬(complex matrix)의 대각합은 뫼비우스 변환(Möbius transformations)을 분류하기 위해 사용됩니다. 먼저, 행렬은 행렬식(determinant)을 1과 같게 만들기 위해 정규화됩니다. 그런-다음, 만약 대각합의 제곱이 4이면, 해당 변환은 포물선(parabolic)입니다. 만약 제곱이 구간 [0,4) 안에 있으면, 그것은 타원형(elliptic)입니다. 마지막으로, 만약 제곱이 4보다 크면, 변환은 록소드리믹(loxodromic)입니다. 뫼비우스 변환의 분류(classification of Möbius transformations)를 참조하십시오.

대각합은 그룹 표현(group representations)의 캐릭터(characters)를 정의하기 위해 사용됩니다. 그룹 $G$ 의 두 표현 $A, B : G \to GL (V)$ 는 모든 $g \in G$ 에 대해 $tr(A (g)) = tr(B (g))$ 이면 ( $V$ 위의 기저의 변경까지) 동등합니다.

대각합은 역시 이차 형식(quadratic forms)의 분포에서 중심적인 역할을 합니다.

Lie algebra

대각합은 $n$ -차원 공간 ( $K$ 에서 엔트리를 갖는 $n \times n$ 행렬) 위에 선형 연산자의 리 대수 ${\mathfrak {gl}}_{n}$ 에서 스칼라의 리 대수 $K$ 로의 리 대수 $\operatorname {tr} :{\mathfrak {gl}}_{n}\to K$ 의 맵입니다; $K$ 가 아벨이므로 (리 괄호가 사라짐), 이것이 리 대수의 맵이라는 사실은 정확히 괄호의 대각합이 사라진다는 명제입니다: $\operatorname {tr} ([\mathbf {A} ,\mathbf {B} ])=0{\text{ for each }}\mathbf {A} ,\mathbf {B} \in {\mathfrak {gl}}_{n}.$

이 맵의 커널, 그 자취가 영(zero)인 행렬은 종종 자취가 없거나 대각합-없음(traceless 또는 trace free)이라고 말하고, 이들 행렬은 행렬식 1을 갖는 행렬의 특수 선형 그룹(special linear group)의 리 대수(Lie algebra)인 단순 리 대수(simple Lie algebra) ${\mathfrak {sl}}_{n}$ 을 형성합니다. 특수 선형 그룹은 부피를 변경하지 않는 행렬로 구성되고, 반면 특수 선형 리 대수(special linear Lie algebra)는 무한소(infinitesimal) 집합의 부피를 변경하지 않는 행렬입니다.

실제로, 연산자/행렬의 ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ 를 대각합-없는 연산자/행렬과 스칼라 연산자/행렬로 내부적으로 직접 합(direct sum) 분해가 있습니다. 스칼라 연산자 위로의 투영 맵은 대각합 측면에서 구체적으로 다음과 같이 표현될 수 있습니다: $\mathbf {A} \mapsto {\frac {1}{n}}\operatorname {tr} (\mathbf {A} )\mathbf {I} .$

형식적으로, "스칼라의 포함"의 단위 맵 $K\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ 으로 대각합 (counit 맵)를 합성하여 스칼라 위로의 매핑하고, $n$ 을 곱하여 맵 ${\mathfrak {gl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}$ 을 얻습니다. $n$ 으로 나누는 것은 이것을 투영으로 만들어, 위의 공식을 산출합니다.

짧은 정확한 수열(short exact sequences)의 관점에서, 다음을 가집니다: $0\to {\mathfrak {sl}}_{n}\to {\mathfrak {gl}}_{n}{\overset {\operatorname {tr} }{\to }}K\to 0$ 이는 리 그룹에 대해 다음과 유사합니다: $1\to \operatorname {SL} _{n}\to \operatorname {GL} _{n}{\overset {\det }{\to }}K^{*}\to 1$ 여기서 $K^{*}=K\setminus \{0\}$ 입니다. 어쨌든, 대각합은 자연스럽게 ( $1/n$ 곱하기 스칼라를 통해) 분할되므로 ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus K$ 이지만, 행렬식의 분할은 $n$ -번째 근 곱하기 스칼라와 같을 것이고, 이것은 일반적으로 함수를 정의하지 않으므로, 행렬식은 분할되지 않고 일반 선형 그룹이 분해되지 않습니다: $\operatorname {GL} _{n}\neq \operatorname {SL} _{n}\times K^{*}.$

Bilinear forms

다음과 같은 쌍선형 형식(bilinear form)은 (여기서 $X$ , $Y$ 는 정사각 행렬) $B(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\operatorname {ad} (\mathbf {Y} ))\quad {\text{where }}\operatorname {ad} (\mathbf {X} )\mathbf {Y} =[\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]=\mathbf {X} \mathbf {Y} -\mathbf {Y} \mathbf {X}$ 리 대수의 분류에 사용되는 킬링 형식(Killing form)이라고 불립니다.

대각합은 쌍선형 형식을 정의합니다: $(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\mapsto \operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} ).$

그 형식은 대칭, 비-퇴화^{[note 5]} 및 다음이라는 의미에서 결합적입니다: $\operatorname {tr} (\mathbf {X} [\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ])=\operatorname {tr} ([\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]\mathbf {Z} ).$

복소수 단순 리 대수 (예를 들어, ${\mathfrak {sl}}$ )에 대해, 모든 각 그러한 쌍선형 형식은 서로 비례합니다; 특히, 킬링 형식에 비례적입니다.

두 행렬 $X$ 와 $Y$ 는 만약 다음이면 대각합 직교(orthogonal)라고 말합니다: $\operatorname {tr} (\mathbf {X} \mathbf {Y} )=0.$

$\rho$ 가 리 대수 $\rho :{\mathfrak {g}}\rightarrow {\text{End}}(V)$ 의 준동형임을 만족하는 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 일반적인 표현 $(\rho ,{\mathfrak {g}},V)$ 에 대한 일반화가 있습니다. ${\text{End}}(V)$ 위에 대각합 형식 ${\text{tr}}_{V}$ 는 위에서와 같이 정의됩니다. 다음 쌍선형 형식은 $\phi (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )={\text{tr}}_{V}(\rho (\mathbf {X} )\rho (\mathbf {Y} ))$ 대칭이고 순환성으로 인해 불변입니다.

Generalizations

행렬의 대각합의 개념은 힐베르트 공간(Hilbert spaces) 위에 컴팩트 연산자(compact operators)의 대각합 클래스(trace class)로 일반화되고, 프로베니우스 노름(Frobenius norm)의 아날로그는 힐베르트-슈미트(Hilbert–Schmidt) 노름이라고 불립니다.

만약 $K$ 가 대각합-클래스 연산자이면, 임의의 직교정규 기저(orthonormal basis) $(e_{n})_{n}$ 에 대해, 대각합은 다음에 의해 주어집니다: $\operatorname {tr} (K)=\sum _{n}\left\langle e_{n},Ke_{n}\right\rangle ,$ 그리고 유한하고 직교정규 기저와 독립입니다.^[7]

부분 대각합(partial trace)은 연산자-평가된 대각합의 또 다른 일반화입니다. 곱 공간 $A \otimes B$ 에 있는 선형 연산자 $Z$ 의 대각합은 $A$ 와 $B$ 에 걸쳐 부분 대각합과 같습니다: $\operatorname {tr} (Z)=\operatorname {tr} _{A}\left(\operatorname {tr} _{B}(Z)\right)=\operatorname {tr} _{B}\left(\operatorname {tr} _{A}(Z)\right).$

더 많은 속성과 부분 대각합의 일반화에 대해, traced monoidal categories를 참조하십시오.

만약 $A$ 가 필드 $k$ 에 걸쳐 일반 결합 대수(associative algebra)이면, $A$ 위에 대각합은 는 종종 임의의 임의의 맵 $tr : A \mapsto k$ 로 정의되며, 이는 교환자에서 사라집니다; 모든 $a, b \in A$ 에 대해 $tr([a, b]) = 0$ 입니다. 그러한 대각합은 고유하게 정의되지 않습니다; 그것은 항상 적어도 비-영 스칼라에 의한 곱셈에 의해 수정될 수 있습니다.

극단-대각합(supertrace)은 초월-대수(superalgebras)의 설정에 대한 대각합의 일반화입니다.

텐서 수축(tensor contraction)의 연산은 대각합을 임의적인 텐서로 일반화합니다.

Traces in the language of tensor products

벡터 공간 $V$ 가 주어졌을 때, $(v, φ)$ 를 스칼라 $φ(v)$ 로 보냄으로써 주어지는 자연스러운 쌍선형 맵 $V \times V * \to F$ 가 있습니다. 텐서 곱(tensor product) $V \otimes V *$ 의 보편적 속성(universal property)은 자동으로 이 쌍선형 맵이 $V \otimes V *$ 위에 선형 함수형에 의해 유도됨을 의미합니다.^[8]

마찬가지로, $(v, φ)$ 을 선형 맵 $w \mapsto φ(w) v$ 에 보냄으로써 주어지는 자연스러운 쌍선형 맵 $V \times V * \to Hom(V, V)$ 가 있습니다. 텐서 곱의 보편적인 속성은, 이전에 사용된 것과 같이, 이 쌍선형 맵이 선형 맵 $V \otimes V * \to Hom(V, V)$ 에 의해 유도된다고 말합니다. 만약 $V$ 가 유한-차원이면, 이 선형 맵은 선형 동형(linear isomorphism)입니다.^[8] 이 토대적인 사실은 $V$ 의 (유한한) 기저가 존재하는 직접적인 결과이고, 임의의 선형 맵 $V \to V$ 는 (유한하게 많은) 랭크-1 선형 맵의 합으로 쓸 수 있다고 말하는 것으로 표현될 수 있습니다. 위에서 얻은 선형 함수형과 동형의 역을 합성하는 것은 $Hom(V, V)$ 위에 선형 함수형을 초래합니다. 이 선형 함수형은 대각합과 정확하게 같습니다.

대각합의 정의를 대각 원소의 합으로 사용하여, 행렬 공식 $tr(AB) = tr(BA)$ 은 입증하기 쉽고, 위에 나와 있습니다. 현재의 관점에서, $V$ 에서 임의의 $u$ 에 대해 $S (u) = Σ φ i (u) v i$ 와 $T (u) = Σ ψ j (u) w j$ 를 만족하는 선형 함수형 $φ i$ 와 $ψ j$ 및 비-영 벡터 $v i$ 와 $w j$ 가 있도록 선형 맵 $S$ 와 $T$ 를 고려하고, 그것들을 랭크-1 맵의 합으로 보는 것입니다. 그런-다음, $V$ 에서 임의의 $u$ 에 대해,

(S\circ T)(u)=\sum _{i}\varphi _{i}\left(\sum _{j}\psi _{j}(u)w_{j}\right)v_{i}=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(u)\varphi _{i}(w_{j})v_{i}

랭크-1 선형 맵 $u \mapsto ψ j (u) φ i (w j) v i$ 은 대각합 $ψ j (v i) φ i (w j)$ 을 가지고 따라서

\operatorname {tr} (S\circ T)=\sum _{i}\sum _{j}\psi _{j}(v_{i})\varphi _{i}(w_{j})=\sum _{j}\sum _{i}\varphi _{i}(w_{j})\psi _{j}(v_{i}).

$S$ 와 $T$ 를 뒤집은 같은 절차에 따라, 정확히 같은 공식을 찾아, $tr(S \circ T)$ 가 $tr(T \circ S)$ 와 같다는 것을 입증합니다.

위의 증명은 $End(V)$ 와 $V \otimes V *$ 의 토대적 항등이 랭크-1 선형 맵의 합으로 임의의 선형 맵의 표현-가능성과 동등하다는 점에서 텐서 곱을 기반으로 하는 것으로 고려될 수 있습니다. 이를테면, 증명은 텐서 곱의 표기법으로 쓸 수 있습니다. 그런-다음, $(v, φ, w, ψ)$ 를 $φ (w) v \otimes ψ$ 로 보냄으로써 주어지는 다중선형 맵 $V \times V * \times V \times V * \to V \otimes V *$ 를 고려할 수 있습니다. 대각합 맵을 갖는 추가적인 합성은 $φ (w) ψ (v)$ 를 초래하고, 이것은 대신 $(w, ψ, v, φ)$ 로 시작했다면 변경되지 않습니다. $(f, g)$ 를 합성 $f \circ g$ 으로 보냄으로써 주어지는 쌍선형 맵 $End(V) \times End(V) \to End(V)$ 를 고려할 수도 있으며, 이는 그런-다음 선형 맵 $End(V) \otimes End(V) \to End(V)$ 에 의해 유도됩니다. 이것은 선형 맵 $V \otimes V * \otimes V \otimes V * \to V \otimes V *$ 와 일치함을 알 수 있습니다. 대각합 맵과 합성할 때 설정된 대칭은 두 대각합의 상등을 설정합니다.^[8]

임의의 유한-차원 벡터 공간 $V$ 에 대해, 자연스러운 선형 맵 $F \to V \otimes V'$ 가 있습니다; 선형 맵의 언어에서, 그것은 스칼라 $c$ 에 선형 맵 $c \cdotid V$ 를 할당합니다. 때때로 이것은 공동-평가 맵(coevaluation)이라고 불리고, 대각합 $V \otimes V' \to F$ 은 평가 맵(evaluation map)이라고 불립니다.^[8] 이들 구조는 카테고리 이론(category theory)의 추상적 설정에서 카테고리적 대각합(categorical traces)을 정의하기 위해 공리화될 수 있습니다.

Notes

^ This is immediate from the definition of the matrix product: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$
^ For example, if $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ then the product is $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ and the traces are $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 = tr(A)tr(B)$ .
^ Proof: Let $e_{ij}$ the standard basis and note that $f\left(e_{ij}\right)=0$ if and only if $i\neq j$ and $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ More abstractly, this corresponds to the decomposition ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ as $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ (equivalently, $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) defines the trace on ${\mathfrak {sl}}_{n},$ which has complement the scalar matrices, and leaves one degree of freedom: any such map is determined by its value on scalars, which is one scalar parameter and hence all are multiple of the trace, a nonzero such map.
^ Proof: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ is a semisimple Lie algebra and thus every element in it is a linear combination of commutators of some pairs of elements, otherwise the derived algebra would be a proper ideal.
^ This follows from the fact that $tr(A * A) = 0$ if and only if $A = 0$ .

References

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External links

"Trace of a square matrix", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]

[5] This is immediate from the definition of the matrix product: $\operatorname {tr} (\mathbf {A} \mathbf {B} )=\sum _{i=1}^{m}\left(\mathbf {A} \mathbf {B} \right)_{ii}=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{ji}=\sum _{j=1}^{n}\sum _{i=1}^{m}b_{ji}a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}\left(\mathbf {B} \mathbf {A} \right)_{jj}=\operatorname {tr} (\mathbf {B} \mathbf {A} ).$

[6] For example, if $\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},$ then the product is $\mathbf {AB} ={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}},$ and the traces are $tr(AB) = 1 \neq 0 \cdot 0 = tr(A)tr(B)$ .

[7] Proof: Let $e_{ij}$ the standard basis and note that $f\left(e_{ij}\right)=0$ if and only if $i\neq j$ and $f\left(e_{jj}\right)=f\left(e_{11}\right)$ $f(\mathbf {A} )=\sum _{i,j}[\mathbf {A} ]_{ij}f\left(e_{ij}\right)=\sum _{i}[\mathbf {A} ]_{ii}f\left(e_{11}\right)=f\left(e_{11}\right)\operatorname {tr} (\mathbf {A} ).$ More abstractly, this corresponds to the decomposition ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus k,$ as $\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)$ (equivalently, $\operatorname {tr} ([A,B])=0$ ) defines the trace on ${\mathfrak {sl}}_{n},$ which has complement the scalar matrices, and leaves one degree of freedom: any such map is determined by its value on scalars, which is one scalar parameter and hence all are multiple of the trace, a nonzero such map.

[8] Proof: ${\mathfrak {sl}}_{n}$ is a semisimple Lie algebra and thus every element in it is a linear combination of commutators of some pairs of elements, otherwise the derived algebra would be a proper ideal.

[11] This follows from the fact that $tr(A * A) = 0$ if and only if $A = 0$ .

[:1-1] "Rank, trace, determinant, transpose, and inverse of matrices". fourier.eng.hmc.edu. Retrieved 2020-09-09.

[:2-2] Weisstein, Eric W. (2003). "Trace (matrix)". In Weisstein, Eric W (ed.). CRC Concise Encyclopedia of Mathematics (Second edition of 1999 original ed.). Boca Raton, FL: Chapman & Hall. doi:10.1201/9781420035223. ISBN 1-58488-347-2. MR 1944431. Zbl 1079.00009. Retrieved 2020-09-09.

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