Bounded function

수학(mathematics)에서, 실수(real) 또는 복소수(complex) 값을 갖는 일부 집합(set) X에 정의된 함수(function) f는 만약 그 값들의 집합이 경계(bounded)지면 경계진(bounded) 것이라고 불립니다. 다시 말해, X에서 모든 x에 대해 다음을 만족하는 실수 M이 존재합니다:^[1]

|f(x)|\leq M

경계지지 않은 함수는 무경계진(unbounded) 것이라고 말합니다.

만약 f가 실수-값이고 X에서 모든 x에 대해 f(x) ≤ A이면, 그 함수는 A에 의해 위로 경계진(bounded above) 것이라고 불립니다. 만약 X에서 모든 x에 대해 f(x) ≥ B이면, 그 함수는 B에 의해 아래로 경계진(bounded (from) below) 것이라고 말합니다. 실수-값 함수가 경계진 것과 그것이 위로 및 아래로 경계진 것은 필요충분 조건입니다.^[1]

중요한 특수한 경우는 경계진 수열(bounded sequence)이며, 여기서 X는 자연수의 집합 N으로 취합니다. 따라서, 수열(sequence) f = (a₀, a₁, a₂, ...)는 만약 모든 자연수 n에 대해 다음을 만족하는 실수 M이 존재하면 경계진 것입니다:

|a_{n}|\leq M

.

모든 경계진 수열의 집합은 수열 공간(sequence space) $l^{\infty }$ 을 형성합니다.

경계성의 정의는 이미지 f(X)가 Y에서 경계진 집합(bounded set)임을 요구함으로써 보다 일반적인 공간 Y에서 값을 취하는 함수 f : X → Y로 일반화될 수 있습니다.

Related notions

경계성보다 약한 것은 지역 경계성(local boundedness)입니다. 경계진 함수의 가족은 균등하게 경계진(uniformly bounded) 것일 수 있습니다.

경계진 연산자(bounded operator) T : X → Y는 이 페이지의 정의의 의미에서 경계진 함수가 아니지만 (T = 0이 아닌 한), 경계성을 보존하는 더 약한 속성을 가집니다: 경계진 집합 M ⊆ X는 경계진 집합 T(M) ⊆ Y에 매핑됩니다. 이 정의는 만약 X와 Y가 경계진 집합의 개념을 허용하면 임의의 함수 f: X → Y로 확장될 수 있습니다. 경계성은 역시 그래프를 봄으로써 결정될 수 있습니다.

Examples

사인(sine) 함수 sin : R → R는 경계지는데 왜냐하면 모든 $x\in \mathbf {R}$ 에 대해 $|\sin(x)|\leq 1$ 이기 때문입니다.^[1]^[2]

−1과 1를 제외하고 모든 실수 x에 대해 정의된 함수 $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$ 는 무경계진 것입니다. x가 −1 또는 1로 접근할 때, 이 함수의 값은 크기에서 점점 더 커지게 됩니다. 이 함수는 만약 우리가 그것의 도메인을, 예를 들어, [2, ∞) 또는 (−∞, −2]로 고려하면 경계진 것으로 만들 수 있습니다.

모든 실수 x에 대해 정의된 함수 ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$ 는 경계진 것입니다.
y = $arctan(x)$ 또는 x = $tan (y)$ 로 정의된 역 삼각 함수(inverse trigonometric function) 아크탄젠트는 모든 실수 x에 대해 증가하고 − $π$ /2 < y < $π$ /2 라디안(radians)으로 경계집니다.^[3]

경계성 정리(boundedness theorem)에 의해, f : [0, 1] → R와 같은 닫힌 구간 위에 모든 각 연속 함수(continuous function)는 경계진 것입니다.^[4] 보다 일반적으로, 컴팩트 공간(compact space)에서 메트릭 공간 속으로 임의의 연속 함수는 경계진 것입니다.

전체(entire)인 모든 실수-값 함수 f : C → C는 리우빌의 정리(Liouville's theorem)의 결과로 무경계진 또는 상수입니다.^[5] 특히, 복소 sin : C → C은 무경계진 것이어야 하는데 왜냐하면 그것은 전체이기 때문입니다.

유리수(rational number) x에 대해 값 0과 무리수(irrational number) x에 대해 값 1을 취하는 함수 f (비교. 디리클레 함수(Dirichlet function))는 경계진 것입니다. 따라서, 함수가 경계지기 위해 "좋게(nice)" 될 필요가 없습니다. [0, 1]에서 정의된 모든 경계진 함수의 집합은 해당 구간에서 연속 함수(continuous function)의 집합보다 훨씬 더 클 수 있습니다. 게다가, 연속 함수는 경계질 필요는 없습니다; 예를 들어, $g(x,y):=x+y$ 와 $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ 에 의해 정의된 함수 $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ 와 $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ 는 둘 다 연속이지만, 둘 다 경계진 것이 아닙니다.^[6] (어쨌든, 연속 함수는 만약 그것의 도메인이 닫혀있고 경계진 둘 다이면 경계져야 합니다^[6].)