Brahmagupta's formula

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유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 브라마굽타의 공식은 변의 길이가 주어지면 임의의 순환 사변형(cyclic quadrilateral) (원에 내접될 수 있는 것)의 넓이(area)를 찾기 위해 사용됩니다.

Formula

브라마굽타의 공식은 그것의 변이 길이 a, b, c, d인 순환 사변형(cyclic quadrilateral)의 넓이 K를 다음으로 제공합니다:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}$

여기서 s, 반둘레(semiperimeter)는 다음으로 정의됩니다:

$s={\frac {a+b+c+d}{2}}.$

이 공식은 삼각형(triangle)의 넓이에 대해 헤론의 공식(Heron's formula)을 일반화합니다. 삼각형은 길이 영의 한 변을 갖는 사각형으로 고려될 수 있습니다. 이러한 관점에서, d가 영에 접근할 때, 순환 사변형은 순환 삼각형 (모든 삼각형은 순환적임)으로 수렴되고, 브라마굽타의 공식은 헤론의 공식으로 단순화됩니다.

만약 반둘레가 사용되지 않으면, 브라마굽타의 공식은 다음입니다:

$K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.$

또 다른 동등한 버전은 다음입니다:

$K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot$

Proof

Diagram for reference

Trigonometric proof

여기서 오른쪽 그림에서 표기법이 사용됩니다. 순환 사변형의 넓이 K는 △ADB와 △BDC의 넓이의 합과 같습니다:

$={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.$

그러나 □ABCD가 순환 사변형이기 때문에, ∠DAB = 180° − ∠DCB입니다. 따라서 sin A = sin C입니다. 그러므로,

$K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A$

$K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A$

$4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)$

(삼각 항등식(trigonometric identity)을 사용하여)

공통 변 DB에 대해 풀면, △ADB와 △BDC에서, 코사인의 법칙(law of cosines)이 제공합니다:

$p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.$

cos C = −cos A로 대체하고 (왜냐하면 각도 A와 C는 보충(supplementary)임) 다시 정렬하면, 우리는 다음을 가집니다:

$2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.$

이것을 넓이에 대해 방정식에 대입하면,

$4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}$

$16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.$

오른쪽 변은 형식 a² − b² = (a − b)(a + b)의 것이고 따라서 다음으로 쓸 수 있습니다:

$[2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]$

이것은, 대괄호 안에 있는 항을 재배열하면, 다음을 산출합니다:

$=[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]$

$=(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).$

반둘레(semiperimeter) S = p + q + r + s/2를 도입하면,

$16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).$

제곱근을 취하여, 우리는 다음을 얻습니다:

$K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.$

Non-trigonometric proof

대안적인, 빕-삼각법 증명은 닮은 삼각형에 대한 헤론의 삼각형 넓이 공식의 두 가지 응용을 사용합니다.

Extension to non-cyclic quadrilaterals

비순환 사변형의 경우에서, 브라마굽타 공식은 사변형의 두 반대편 각도의 측정을 고려함으로써 확장될 수 있습니다:

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}$

여기서 θ는 임의의 둘의 반대편 각도의 합의 절반입니다. (반대편 각도 쌍의 선택은 관련이 없습니다: 만약 다른 두 각가 취해지면, 그것들 합의 절반은 180° − θ입니다. cos(180° − θ) = −cos θ이므로, 우리는 cos²(180° − θ) = cos² θ를 가집니다). 이러한 보다 일반적인 공식은 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)으로 알려져 있습니다.

그것은 사변형의 반대편 각의 합이 180°가 되는 것은 순환 사변형(cyclic quadrilateral) (및 궁극적으로 내접 각(inscribed angle))의 속성입니다. 결과적으로, 내접 사변형의 경우에서, θ는 90°이고, 다음 항에 의해

$abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,$

브라마굽타 공식의 기본 형식을 제공합니다. 후자의 방정식에서 순환 사변형의 넓이는 주어진 변 길이를 갖는 임의의 사변형에 대해 최대 가능한 넓이입니다.

쿨리지(Coolidge)에 의해 입증된 관련된 공식은 역시 일반적인 볼록 사변형의 넓이를 제공합니다. 그것은

$K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}$

여기서 p와 q는 사변형의 대각선의 길이입니다. 순환 사변형(cyclic quadrilateral)에서, 프톨레마이오스의 정리에 따르면 pq = ac + bd이고 쿨리지의 공식은 브라마굽타의 공식으로 줄어듭니다.

Related theorems

• 삼각형(triangle)의 넓이에 대해 헤론의 공식(Heron's formula)은 d = 0을 취함으로써 얻어진 특별한 경우입니다.
• 브라마굽타 공식의 일반적인 형식과 확장된 형식 사이의 관계는 코사인 법칙(law of cosines)이 피타고라스 정리(Pythagorean theorem)를 확장하는 방법과 유사합니다.
• 점점 더 복잡한 닫힌-형식 공식이 Maley et al.에 의해 설명된 바와 같이 원 위에 일반 다각형 넓이에 대해 존재합니다.

External links

• A geometric proof from Sam Vandervelde.
• Brahmagupta's formula at ProofWiki
• Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". MathWorld.

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