Circle of a sphere

$BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}$ , where C is the center of the sphere, A is the center of the small circle, and B is a point in the boundary of the small circle. Therefore, knowing the radius of the sphere, and the distance from the plane of the small circle to C, the radius of the small circle can be determined using the Pythagorean theorem.

구의 원(circle of a sphere)은 구 위에 놓인 원입니다. 그러한 원은 구와 평면, 또는 두 개의 구의 교차점으로 형성될 수 있습니다. 구의 원은 유클리드 공간에서 일반화된 원의 구형 기하학 아날로그입니다. 평면이 구의 중심을 통과하는 구 위의 원은 유클리드 직선과 유사한 큰 원(great circle)이라고 합니다; 그렇지 않으면 그것은 유클리드 원과 유사한 작은 원(small circle)입니다. 구의 원은 구의 반지름보다 작거나 같은 반지름을 가지며, 그 원이 큰 원일 때 상등합니다.

구의 원은 역시 주어진 중심 점으로부터 균등한 거리에 있는 구 위의 점들의 궤적, 또는 상수 곡률의 구형 곡선으로 특징지을 수 있습니다.

On the earth

지구 위의 지리적 좌표 시스템(geographic coordinate system)에서, 위도(latitude)의 평행선(parallels)은 작은 원이며, 적도(Equator)는 유일한 큰 원입니다. 대조적으로, 경도(longitude)의 모든 자오선(meridians)은 다른 반구(hemisphere)에서 반대 자오선과 짝을 이루어, 큰 원을 형성합니다.

Related terminology

원의 중심을 통과하는 구의 지름은 그것의 축(axis)이라고 불리고 이 지름의 끝점은 그것의 극(poles)이라고 불립니다. 구의 원(circle of a sphere)은 역시 주어진 극점으로부터 주어진 각도 거리(angular distance)에 있는 점들의 집합으로 정의될 수 있습니다.

Sphere-plane intersection

구와 평면의 교차점이 빈 것 또는 단일 점이 아닐 때, 그것은 원입니다. 이것은 다음과 같이 볼 수 있습니다:

S를 중심 O를 갖는 구로 놓고, P를 S와 교차하는 평면이라고 놓습니다. P에 수직이고 E에서 P를 만나는 OE를 그립니다. A와 B를 교차점에서 임의의 서로 다른 두 점이라고 놓습니다. 그런-다음 AOE와 BOE는 공통 변, OE와 빗변 AO와 BO가 같은 직각 삼각형입니다. 그러므로, 남아있는 변 AE와 BE는 같습니다. 이것은 교차점에서 모든 점이 평면 P에 있는 점 E에서 같은 거리에 있음을 입증합니다. 다시 말해서, 교차점에서 모든 점은 중심 E를 갖는 원 C 위에 놓입니다.^[1] 이것은 P와 S의 교차점이 C에 포함됨을 입증합니다. OE는 원의 축임을 유의하십시오.

이제 원 C의 점 D를 생각해 보십시오. C가 P에 놓이기 때문에, D도 마찬가지입니다. 다른 한편으로, 삼각형 AOE와 DOE는 공통 변, OE를 갖고 다리 EA와 ED가 같은 직각 삼각형입니다. 그러므로, 빗변 AO와 DO는 같고, D는 S에 놓이도록 S의 반지름과 같습니다. 이것은 C가 P와 S의 교차점에 포함되어 있음을 입증합니다.

따름정리로서, 구 위에 세 개의 주어진 점을 통해 그릴 수 있는 정확하게 하나의 원이 있습니다.^[2]

증명은 원 위의 점이 모두 그것의 극점 중 하나에서 공통 각도 거리에 있음을 보여주기 위해 확장될 수 있습니다.^[3]

달걀형(ovals)을 생성할 수 있는 원뿔 단면(conic sections)도 비교하십시오.

Sphere-sphere intersection

두 구의 비-자명한 교차가 원이라는 것을 보여주기 위해, (반지름 $R$ 을 갖는) 하나의 구가 원점에 중심을 둔다고 (일반성의 손실 없이) 가정합니다. 이 구 위의 점은 다음을 만족시킵니다:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.

역시 일반성의 손실 없이, 반지름 $r$ 을 갖는 두 번째 구가 원점에서 거리 $a$ 에 있는 양의 x-축 위의 한 점에 중심을 둔다고 가정합니다. 그것의 점은 다음을 만족시킵니다:

(x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.

구의 교차점은 두 방정식을 모두 만족하는 점의 집합입니다. 방정식을 빼면 다음을 제공합니다:

{\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}

특이한 경우 $a=0$ 에서, 구는 동심입니다. 두 가지 가능성이 있습니다: 만약 $R=r$ 이면, 구가 일치하고, 교차점이 전체 구입니다; 만약 $R\not =r$ 이면, 구가 서로소이고 교차점이 빈 것입니다. $a$ 가 비-영일 때, 교차점은 이 x-좌표를 갖는 수직 평면에 있으며, 이는 두 구모두를 교차하거나, 두 구에 접하거나, 두 구 모두의 외부에 있을 수 있습니다. 결과는 구-평면 교차에 대한 이전 증명에서 따릅니다.

References

^ Proof follows Hobbs, Prop. 304
^ Hobbs, Prop. 308
^ Hobbs, Prop. 310

Hobbs, C.A. (1921). Solid Geometry. G.H. Kent. pp. 397 ff.