Line (geometry)

Original article: w:Line (geometry)

Not to be confused with Curved line.

"Ray (geometry)" redirects here. For other uses in mathematics, see Ray (disambiguation) § Science and mathematics.

The red and blue lines on this graph have the same slope (gradient); the red and green lines have the same y-intercept (cross the y-axis at the same place).

A representation of one line segment.

직선(line) 또는 일직선(straight line)의 개념은 무시할 수 있는 폭과 깊이를 가진 곧바른 대상 (즉, 곡률을 가지지 않음)을 나타내기 위해 고대 수학자들에 의해 도입되었습니다. 직선은 그러한 대상의 이상화이며, 종종 두 점(points) (예를 들어, ${\overleftrightarrow {AB}}$)의 관점에서 설명되거나, 단일 문자 (예를 들어, $\ell$)를 사용하여 참조됩니다.

17세기까지, 직선들은 다음과 같이 정의되었습니다: "[...] 양의 첫 번째 종이며, 오직 일차원, 즉 임의의 너비 또는 깊이없는 길이를 가지고, 임의의 폭을 제외하고, 길이에서 어떤 흔적을 움직이는 상상에서 떠날 [...] 점의 흐름 또는 연속에 불과합니다. [...] 직선은 그것의 점들 사이에서 똑같이 연장되는 직선입니다."

유클리드는, "자체 위의 점들에 관해 균일하게 놓여 있는", "폭이없는 길이"로 직선을 설명했습니다: 그가 기하학의 모든 것을 구성했었던 기본적인 입증될 수 없는 속성으로 여러 공준(postulate)을 소개했으며, 이것은 19세기 말 이후 도입되어 온 (비-유클리드(non-Euclidean), 투영(projective) 및 아핀 기하학(affine geometry)과 같은) 다른 기하학과의 혼동을 피하기 위해, 지금 유클리드 기하학(Euclidean geometry)이라고 불립니다.

현대 수학에서, 다양한 기하학이 주어지면, 직선의 개념은 기하학이 설명되었던 방법에 가깝게 묶입니다. 예를 들어, 해석적 기하학(analytic geometry)에서, 평면 안의 직선은 종종 그것의 좌표가 주어진 선형 방정식(linear equation)을 만족시키는 점들의 집합으로 정의되지만, 투사 기하학(incidence geometry)과 같은 보다 추상적인 설정에서, 직선은 그것 위에 놓여있는 점들의 집합으로부터 구별되는, 독립적인 대상일 수 있습니다.

기하학이 공리(axiom)의 집합에 의해 설명될 때, 직선의 개념은 보통 (소위 원시(primitive) 대상으로) 정의되지 않은 채 남겨집니다. 직선의 속성들은 그때에 그것들을 참조하는 공리에 의해 결정됩니다. 이 접근법의 한 가지 이점은 그것을 기하학의 사용자에게 제공하는 유연성입니다. 따라서 미분 기하학(differential geometry)에서, 직선은 측지선(geodesic) (점 사이의 최단 경로)으로 해석될 수 있고, 반면에 일부 투영 기하학(projective geometries)에서, 직선이 이-차원 벡터 공간 (둘의 독립 벡터의 모든 선형 조합)입니다. 이 유연성은 역시 수학을 넘어 확대되고, 예를 들어, 물리학자들에게 반직선의 경로를 직선으로 생각하는 것을 허용합니다.

Definitions versus descriptions

모든 정의는 궁극적으로 본성에서 순환적(circular)인데, 왜냐하면 그것들은 그 자체로 정의, 시작점으로 돌아가지 않고는 무기한 지속될 수 없는 의존성을 가져야 하는 개념에 의존하기 때문입니다. 이 악순환을 피하기 위해, 특정 개념은 원시(primitive) 개념; 정의없이 제공되는 용어로 취해져야 합니다. 기하학에서, 직선의 개념이 원시적으로 취해지는 경우가 자주 있습니다. 좌표 기하학(coordinate geometry)에서 처럼, 직선이 정의된 개념인 그것들 상황에서, 일부 다른 기본 아이디어가 원시적으로 취합니다. 직선 개념이 원시일 때, 직선의 동작과 속성은 그것들이 만족시켜야 하는 공리(axiom)에 의해 규정됩니다.

기하학의 비-공리적 또는 단순화된 공리적 처리에서, 원시 개념의 생각은 다루기에는 너무 추상적일 수 있습니다. 이 상황에서, 공식적으로 (언급되지 않은) 공리에 기반된 개념을 구축하도록 토대를 제공하기 위해, 원시적 개념의 설명 또는 정신적 이미지를 제공하는 것이 가능합니다. 이 유형의 설명은, 일부 저자에 의해, 이 비공식적 표시의 스타일에서 정의로 참조될 수 있습니다. 이것들은 참 정의가 아니고, 공식적인 명제의 증명에 사용될 수 없습니다. 유클리드의 원론(Euclid's Elements)에서 직선의 "정의"가 이 카테고리에 떨어집니다. 심지어 특정 기하학 (예를 들어, 유클리드 기하학(Euclidean geometry))이 고려되는 경우에서, 주제가 공식적으로 취급되지 않을 때 직선에 대한 비공식적 설명이 무엇인지에 대해 저자 사이에 일반적으로 받아들여지는 동의가 없습니다.

In Euclidean geometry

See also: Euclidean geometry

기하학이 원론(Elements)에서 유클리드(Euclid)에 의해 처음 형식화되었을 때, 그는 일반적인 선 (직선 또는 곡선)을 "폭없는 길이"로 정의했으며, 여기서 직선은 "자체 위의 점들에 관해 균일하게 놓여 있는" 직선입니다. 이들 정의는 거의 소용되지 않는데, 왜냐하면 그것들은 자체에 의해 정의되지 않는 용어를 사용하기 때문입니다. 사실, 유클리드 자신은 이 연구에서 이들 정의를 사용하지 않았고, 아마도 단지 독자에게 논의 중인 내용을 명확하게 하기 위해 그것들을 포함했을 것입니다. 현대 기하학에서, 직선은 단순히 공리(axiom)에 의해 주어진 속성을 가진 비-정의된 대상으로 취급되지만, 때로는 일부 다른 기본 개념이 비-정의된 채로 남겨질 때 선형 관계를 따르는 점의 집합으로 정의됩니다.

힐베르트(Hilbert)의 공식화와 같은 (유클리드의 원래 공리는 현대 수학자에 의해 수정되어 온 다양한 결함을 포함함), 유클리드 기하학의 공리(axiom)적 공식화에서, 직선은 다른 직선과 점(points)과 관련된 특정 속성을 가진 것으로 언급됩니다. 예를 들어, 임의의 둘의 구별되는 점에 대해, 그것들을 포함하는 고유한 직선이 있고, 임의의 둘의 구별되는 직선은 많아야 한 점에서 교차합니다. 이 차원(dimension) (즉, 유클리드 평면(plane)에서, 교차하지 않는 두 직선은 평행(parallel)이라고 불립니다. 더 높은 차원에서, 교차하지 않는 두 직선은 만약 그것들이 평면(plane)에 포함되면 평행이고, 그렇지 않으면 꼬인(skew) 것입니다.

유한하게 많은 직선의 임의의 모음은 평면을 (아마도 비-경계진) 볼록 다각형(convex polygon)으로 분할합니다; 이 분할은 직선의 배열(arrangement of lines)로 알려져 있습니다.

In Cartesian coordinates

데카르트 평면(Cartesian plane) 또는, 보다 일반적으로, 아핀 좌표(affine coordinates)에서 직선은 선형 방정식(linear equation)에 의해 특성화됩니다. 보다 정확하게, 모든 각 직선 $L$ (수직 직선을 포함함)은 그것들의 좌표(coordinates) (x, y)가 선형 방정식(linear equation); 즉, 다음을 만족시키는 모든 점의 집합입니다:

$L=\{(x,y)\mid ax+by=c\},$

여기서 a, b 및 c는 a와 b가 둘 다 영이 아님을 만족하는 (계수(coefficient)라고 불리는) 고정된 실수(real number)입니다. 이 형식을 사용하여, 수직 직선은 b = 0을 갖는 방정식에 해당합니다.

우리는 나아가서 만약 c가 영이 아니면 모든 것을 c로 나눔으로써 c = 1 또는 c = 0이라고 가정할 수 있습니다.

대수적 조작에 의해 모두 하나에서 다른 것으로 변환될 수 있는 직선의 방정식을 쓰기 위한 많은 다른 방법이 있습니다. 위의 형식은 때때로 표준 형식이라고 불립니다. 만약 상수항이 왼쪽 변에 놓이면, 방정식은 다음이 됩니다:

$ax+by-c=0,$

그리고 이것은 때때로 방정식의 일반적인 형식이라고 불립니다. 어쨌든, 이 용어는 보편적으로 수용되지 않고, 많은 저자는 이들 두 형식을 구별하지 않습니다.

이들 형식은 일반적으로 형식을 쓰기 위해 필요한 직선에 대한 정보 (데이터)의 유형에 따라 이름-지어집니다 (다른 형식에 대해 선형 방정식(Linear equation)을 참조하십시오). 직선의 중요한 데이터 중 일부는 기울기, x-절편(x-intercept), 직선 위의 알려진 점과 y-절편입니다.

둘의 다른 점 $P_{0}(x_{0},y_{0})$와 $P_{1}(x_{1},y_{1})$를 통과하는 직선의 방정식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$(y-y_{0})(x_{1}-x_{0})=(y_{1}-y_{0})(x-x_{0})$.

만약 x₀ ≠ x₁이면, 이 방정식은 다음으로 다시 쓸 수 있습니다:

$y=(x-x_{0})\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+y_{0}$

또는

$y=x\,{\frac {y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}}+{\frac {x_{1}y_{0}-x_{0}y_{1}}{x_{1}-x_{0}}}\,.$

Parametric equations

매개변수 방정식(Parametric equation)은 역시 직선을 지정하기 위해 사용될 수 있는데, 특히 삼차원(three dimensions) 이상에서 그것들에서, 왜냐하면 이차원보다 많은 것에서 직선은 단일 직선 방정식으로 표현될 수 없기 때문입니다.

이들 차원에서 직선은 자주 다음 매개변수 방정식에 의해 설명됩니다:

$x=x_{0}+at$

$y=y_{0}+bt$

$z=z_{0}+ct$

여기서:

x, y, 및 z 모두는 실수에 걸쳐 변하는 독립 변수 t의 함수입니다.

(x₀, y₀, z₀)는 직선 위의 임의의 점입니다.

a, b, 및 c는 방향 벡터(vector) (a, b, c)가 직선과 평행함을 만족하는 직선의 기울기와 관련됩니다.

더 높은 차원에서 직선에 대해 매개변수 방정식은 직선 위의 한 점과 방향 벡터의 지정을 기반으로 한다는 점에서 유사합니다.

참고로, 삼차원에서 직선은 역시 두 선형 방정식(linear equation)의 연립 해로 설명될 수 있습니다:

$a_{1}x+b_{1}y+c_{1}z-d_{1}=0$

$a_{2}x+b_{2}y+c_{2}z-d_{2}=0$

여기서 $(a_{1},b_{1},c_{1})$와 $(a_{2},b_{2},c_{2})$는 비례적이 않음을 만족해야 합니다 (관계 $a_{1}=ta_{2},b_{1}=tb_{2},c_{1}=tc_{2}$는 $t=0$임을 의미합니다). 이것은 삼차원에서 단일 선형 방정식이 전형적으로 평면(plane)을 설명하고 직선은 둘의 구별되는 교차하는 평면에 공통적인 것이기 때문임을 따릅니다.

Slope-intercept form

이차원(two dimensions)에서, 비-수직 직선에 대해 방정식은 종종 기울기-절편 형식(slope-intercept form)에 의해 제공됩니다:

$y=mx+b$

여기서:

m은 직선의 기울기(slope) 또는 그래디언트(gradient)입니다.

b는 직선의 y-절편(y-intercept)입니다.

x는 함수 y = f(x)의 독립 변수(independent variable)입니다.

$x_{a}\neq x_{b}$일 때, 점 $A(x_{a},y_{a})$와 $B(x_{b},y_{b})$를 통과하는 직선의 기울기는 $m=(y_{b}-y_{a})/(x_{b}-x_{a})$에 의해 제공되고 이 직선의 방정식은 $y=m(x-x_{a})+y_{a}$으로 쓸 수 있습니다.

Normal form

Main article: Hesse normal form

법선 형식 (역시 독일 수학자 루트비히 오토 헤세(Ludwig Otto Hesse)의 이름을 따서 지은, 헤세 법선 형식이라고 불림)은 직선에 수직인 원점(origin)에서 그려지는 선분으로 정의된 주어진 직선에 대해 법선 선분을 기반으로 합니다. 이 선분은 원점에 대한 직선 위에 가장 가까운 점과 원점을 연결합니다. 평면 위의 직선 방정식의 법선 형식은 다음에 의해 제공됩니다:

$x\cos \varphi +y\sin \varphi -p=0,$

여기서 $\varphi$는 법선 선분의 기울어짐의 각도 (x-축의 단위 벡터에서 이 선분까지의 방향화된 각도)이고, p는 법선 선분의 (양수) 길이입니다. 법선 형식은 표준 형식 $ax+by=c$을 다음으로 계수의 모두를 나눔으로써 유도될 수 있습니다:

${\frac {c}{|c|}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

기울기-절편 및 절편 형식과 달리, 이 형식은 임의의 직선을 나타낼 수 있지만 역시 둘의 유한 매개변수, $\varphi$와 p를 오직 지정하면 됩니다. 만약 p > 0이면, $\varphi$는 모듈로 2π로 고유하게 정의됩니다. 다른 한편으로, 만약 직선이 원점 (c = p = 0)을 통과하면, 우리는 $\sin \varphi$과 $\cos \varphi$를 계산하기 위해 c/|c| 항을 버리고, $\varphi$가 모듈로 π로 오직 정의됨을 따릅니다.

In polar coordinates

데카르트 평면(Cartesian plane)에서, 극 좌표(polar coordinates) (r, θ)는 다음 방정식에 의해 데카프트 좌표(Cartesian coordinates)와 관련됩니다:

$x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .$

극 좌표에서, 원점(origin)–좌표 (0, 0)을 갖는 점–을 통과하지 않는 직선의 방정식은 다음으로 쓸 수 있습니다:

$r={\frac {p}{\cos(\theta -\varphi )}},$

여기서 r > 0 및 $\varphi -\pi /2<\theta <\varphi +\pi /2$입니다. 이때, p는 직선에 수직이고 원점과 직선에 의해 구분되는 선분(line segment)의 (양수) 길이이고 $\varphi$는 x-축에서 이 선분까지의 (방향화된) 각도입니다.

x-축과 직선 사이의 각도 $\alpha =\varphi +\pi /2$의 관점에서 방정식을 표현하는 것이 유용할 수 있습니다. 이 경우에서, 방정식은 다음이 됩니다:

$r={\frac {p}{\sin(\theta -\alpha )}},$

여기서 r > 0 및 $0<\theta <\alpha +\pi$입니다.

이들 방정식은 $x=r\cos \theta$와 $y=r\sin \theta$를 설정하고, 그런-다음 사인 또는 코사인에 대해 각도 차이 항등식(angle difference identity)을 적용함으로써 직선 방정식의 법선 형식(normal form)에서 유도될 수 있습니다.

이들 방정식은 역시 직선의 점과 원점을 꼭짓점으로 가지고, 그 직선과 원점을 통과하는 그것의 수직을 변으로 가지는 직각 삼각형(right triangle)에 대한 사인과 코사인의 직각 삼각형 정의(right triangle definitions)를 적용함으로써 기하학적(geometrically)으로 입증될 수 있습니다.

이전 형식은 원점을 통과하는 직선에 대해 적용할 수 없지만, 더 단순한 형식이 쓸 수 있습니다: 원점을 통과하는 직선의 점의 극 좌표 $(r,\theta )$와 x-축과 만드는 $\alpha$의 각도는 다음을 만족하는 쌍 $(r,\theta )$입니다:

$r\geq 0,\qquad {\text{and}}\quad \theta =\alpha \quad {\text{or}}\quad \theta =\alpha +\pi .$

As a vector equation

점 A와 B를 통과하는 직선의 벡터 방정식은 $\mathbf {r} =\mathbf {OA} +\lambda \,\mathbf {AB}$에 의해 제공됩니다 (여기서 λ는 스칼라(scalar))입니다.

만약 a가 벡터 OA이고 b가 벡터 OB이면, 직선의 방정식은 다음으로 쓸 수 있습니다: $\mathbf {r} =\mathbf {a} +\lambda (\mathbf {b} -\mathbf {a} )$.

점 A에서 시작하는 반직선은 λ를 제한함으로써 설명됩니다. 하나의 반직선은 만약 λ ≥ 0이면 얻어지고, 반대 반직선은 λ ≤ 0에서 옵니다.

In higher dimension

삼-차원 공간(three-dimensional space)에서, 변수 x, y, 및 z에서 일차 방정식(first degree equation)은 평면을 정의하므로, 둘의 그러한 방정식이, 그것들이 발생하는 평면이 평행하지 않은 조건 아래에서, 평면의 교차인 직선을 정의합니다. 보다 일반적으로, n-차원 공간에서 n 좌표(coordinate) 변수에서 n-1 일차 방정식은 적절한 조건 아래에서 직선을 정의합니다.

보다 일반적인 유클리드 공간(Euclidean space), Rⁿ에서 (및 모든 각 다른 아핀 공간(affine space)에서 유사하게), (벡터로 고려된) 둘의 다른 점 a와 b를 통과하는 직선 L은 다음 부분집합입니다:

$L=\{(1-t)\,a+t\,b\mid t\in \mathbb {R} \}$

그 직선의 방향은 a (t = 0)에서 b (t = 1)로의 것이고, 또는 달리 말해서, 벡터 b − a의 방향에 있습니다. a와 b의 다른 선택은 같은 직선을 산출할 수 있습니다.

Collinear points

Main article: Collinearity

세 점은 만약 그것들이 같은 직선 위에 놓이면 공선형(collinear)이라고 말합니다. 세 점은 보통 평면(plane)을 결정하지만, 셋의 공선형 점의 경우에서 이것은 발생하지 않습니다.

아핀 좌표(affine coordinates)에서, n-차원 공간에서 점 X=(x₁, x₂, ..., x_n), Y=(y₁, y₂, ..., y_n), 및 Z=(z₁, z₂, ..., z_n)는 만약 다음 행렬(matrix)이 3보다 작은 랭크(rank)를 가지면 공선형입니다:

${\begin{bmatrix}1&x_{1}&x_{2}&\dots &x_{n}\\1&y_{1}&y_{2}&\dots &y_{n}\\1&z_{1}&z_{2}&\dots &z_{n}\end{bmatrix}}$

특히, 평면 (n = 2)에서 세 점에 대해, 위의 행렬은 정사각이고 점들이 공선형인 것과 그것의 행렬식(determinant)이 영인 것은 필요충분 조건입니다.

동등하게 평면에서 세 점에 대해, 그 점들이 공선형인 것과 점의 한 쌍 사이의 기울기가 임의의 다른 점의 쌍 사이의 기울기와 같은 것은 필요충분 조건입니다 (이 경우에서 남아있는 점의 쌍 사이에 기울기는 다른 기울기와 같을 것입니다). 확장에 의해, 평면에서 k 점이 공선형인 것과 임의의 점의 (k−1) 쌍이 같은 쌍별 기울기를 가지는 것은 필요충분 조건입니다.

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 두 점 a와 b 사이의 유클리드 거리(Euclidean distance) d(a,b)는 다음에 의한 세 점 사이의 공선형성을 표현하기 위해 사용될 수 있습니다:

점 a, b 및 c가 공선형인 것과 d(x,a) = d(c,a) 와 d(x,b) = d(c,b)가 x=c를 의미하는 것은 필요충분 조건입니다.

어쨌든, 이 속성이 참이 아닌 거리의 다른 개념이 있습니다 (예를 들어 맨해튼 거리(Manhattan distance)가 있습니다).

직선의 개념이 원시 개념(primitive notion)인 기하학에서, 일부 합성 기하학(synthetic geometry)에서 경우일 수 있을 때, 공선형성을 결정하는 다른 방법이 요구됩니다.

Types of lines

어떤 의미에서, 유클리드 기하학에서 모든 직선은 같습니다. 즉, 좌표없이, 우리는 그것들을 서로 구분할 수 없습니다. 어쨌든, 직선은 기하학에서 다른 대상과 관련하여 특별한 역할을 할 수 있고 해당 관계에 따라 유형으로 나뉩니다. 예를 들어, 원뿔형(conic) (원(circle), 타원(ellipse), 포물선(parabola) 또는 쌍곡선(hyperbola))과 관련하여, 직선은 다음과 같을 수 있습니다:

• 접선(tangent line), 이것은 원뿔형과 한 점에서 접촉합니다;
• 가름선(secant line), 이것은 원뿔형과 두 점에서 교차하고 그것의 내부를 통과합니다;
• 외부 직선, 이것은 원뿔형과 유클리드 공간의 임의의 점에서 만나지 않습니다; 또는
• 방향선(directrix), 한 저에서 그것의 거리가 그 점이 원뿔형 위에 있는지 여부를 확립하기 위해 도움이 됩니다.

유클리드 기하학에서 평행성을 결정하는 맥락에서, 횡단(transversal)은 서로 평행하거나 평행하지 않을 수 있는 둘의 다른 직선을 교차하는 직선입니다.

보다 일반적인 대수적 곡선(algebraic curve)에 대해, 직선은 역시 다음일 수 있습니다:

• i-가름선, 중복도없이 세어진 i 점에서 곡선과 만납니다, 또는
• 점근선(asymptote), 이것은 곡선이 그것에 접촉없이 임의적으로 가깝게 접근합니다.

삼각형(triangles)과 관련하여, 우리는 다음을 가집니다:

• 오일러 직선(Euler line),
• 심슨 직선(Simson line), 및
• 중앙 직선(central lines).

많아야 둘의 평행 변을 갖는 볼록(convex) 사변형(quadrilateral)에 대해, 뉴턴 직선(Newton line)은 두 대각선(diagonal)의 중앙점을 연결하는 직선입니다.

원뿔형 위에 꼭짓점을 갖는 육각형(hexagon)에 대해, 우리는 파스칼 직선(Pascal line)을 가지고, 원뿔형이 한 쌍의 직선인 특수한 경우에서, 우리는 파푸스 직선(Pappus line)을 가집니다.

평행 직선(Parallel lines)은 결코 교차하지 않는 같은 평면에 있는 직선입니다. 교차하는 직선(Intersecting lines)은 공통으로 한 점을 공유합니다. 일치하는 직선은 서로 일치합니다–둘 중 하나 위에 있는 모든 각 점은 다른 것 위에 있습니다.

수직 직선(Perpendicular lines)은 직각(right angle)으로 교차하는 직선입니다.

삼-차원 공간(three-dimensional space)에서, 꼬인 직선(skew lines)은 같은 평면에 있지 않고 따라서 서로 교차하지 않는 직선입니다.

In projective geometry

Further information: Projective geometry

투영 기하학(projective geometry)의 많은 모델에서, 직선의 표현은 유클리드 기하학에서 시각화되기 때문에 "직진 곡선"의 개념과 거의 일치하지 않습니다. 타원 기하학에서, 우리는 이것의 전형적인 예제를 봅니다. 타원 기하학의 구형 표현에서, 직선은 식별된 지름방향으로 반대 점을 갖는 구의 큰 원(great circle)으로 표시됩니다. 타원 기하학의 다른 모델에서, 직선은 원점을 통과하는 유클리드 평면(planes)으로 표시됩니다. 심지어 이들 표현은 시각적으로 구별될지라도, 그것들은 이 기하학에서 직선에 적합한 표현을 만드는 모든 속성 (예를 들어, 고유한 직선을 결정하는 두 점)을 만족시킵니다.

Extensions

Ray

한 직선과 그것 위에 임의의 점 A가 주어지면, 우리는 A를 이 직선을 두 부분으로 분해하는 것으로 고려할 수 있습니다. 각 그러한 부분은 반직선이라고 불리고 점 A는 그것의 초기 점이라고 불립니다. 그것은 역시 반-직선, 일-차원 절반-공간(half-space)으로 알려져 있습니다. 그 점 A는 반직선의 구성원으로 고려됩니다. 직관적으로, 반직선은 A를 통과하고 A에서 시작하여, 그 직선을 따라 오직 한 방향으로 무한하게 진행하는 직선 위의 점으로 구성합니다. 어쨌든, 증명에서 반직선의 이 개념을 사용하기 위해 보다 정확한 정의가 요구됩니다.

구별되는 점 A와 B가 주어지면, 그것들은 초기 점 A를 갖는 고유한 반직선을 결정합니다. 두 점이 고유한 직선을 정의하므로, 이 반직선은 A와 B (A와 B를 포함) 사이의 모든 점과 B가 A와 C 사이에 있음을 만족하는 A와 B를 통과하는 직선 위의 모든 점 C로 구성합니다. 이것은 때때로 역시 A가 B와 C 사이에 있지 않음을 만족하는 모든 점 C의 집합으로 표현됩니다. A와 B에 의해 결정된 직선 위에 있지만 B에 의해 결정된 초기 점 A를 갖는 반직선 위에 있지 않은 점 D는 초기 점 A를 가진 또 다른 반직선을 결정할 것입니다. AB 반직선과 관련하여, AD 반직선은 반대 반직선이라고 불립니다.

Ray

따라서, 우리는 두 개의 다른 점 A와 B가 직선을 정의하고 이 직선을 열린 선분 (A, B)와 두 반직선 BC와 AD의 서로소 합집합(disjoint union)으로 분해한다고 말할 수 있습니다. (점 D는 다이어그램에서 그려지지 않지만, 직선 AB 위에 A의 왼쪽에 있습니다). 이것들은 반대 반직선이 아닌데 왜냐하면 그것들은 다른 초기 점을 가지기 때문입니다.

유클리드 기하학에서, 공통 끝점을 갖는 두 반직선(angle)은 각도를 형성합니다.

반직선의 정의는 직선 위에 점에 대해 사이성의 개념에 따라 달라집니다. 반직선은 오직 이 개념이 존재하는 기하학, 전형적으로 순서화된 필드(ordered field)에 걸쳐 유클리드 기하학(Euclidean geometry) 또는 아핀 기하학(affine geometry)에 대해 오직 존재합니다. 다른 한편으로, 반직선은 투영 기하학(projective geometry)에 존재하지 않고 복소수(complex number) 또는 임의의 유한 필드(finite field)와 같은 비-순서화된 필드에 걸쳐 기하학에서도 존재하지 않습니다.

Line segment

Main article: Line segment

선분(line segment)은 둘의 구별되는 끝점에 의해 경계지고 그것의 끝점 사이의 직선 위는 모든 각 점을 포함하는 직선의 일부입니다. 선분이 정의된 방법에 따라, 두 끝점 중 하나가 선분의 일부일 수도 있고 아닐 수도 있습니다. 둘 이상의 선분은 평행, 교차 또는 꼬임과 같은 직선과 같은 관계의 일부를 가질 수 있지만, 직선과 달리 만약 그것들이 공통-평면(coplanar)에 있고 교차하지 않거나 공선형(collinear)이면 그것들은 관계의 어떤 것도 없을 수 있습니다.

Geodesics

Main article: Geodesics

직선의 "짧음" 및 "직선도"는 그것의 점의 임의의 둘 사이의 직선을 따라 거리(distance)가 최소화된다는 속성으로 해석되며 (삼각형 부등식(triangle inequality)을 참조), 일반화될 수 있고 매트릭 공간(metric space)에서 측지선(geodesic)의 개념으로 이어집니다.

See also

• Affine function
• Curve
• Distance between two lines
• Distance from a point to a line
• Imaginary line (mathematics)
• Incidence (geometry)
• Line coordinates
• Line (graphics)
• Line segment
• Locus
• Plane (geometry)
• Polyline
• Rectilinear (disambiguation)

References

• Coxeter, H.S.M (1969), Introduction to Geometry (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-18283-4
• Faber, Richard L. (1983), Foundations of Euclidean and Non-Euclidean Geometry, New York: Marcel Dekker, ISBN 0-8247-1748-1
• Pedoe, Dan (1988), Geometry: A Comprehensive Course, Mineola, NY: Dover, ISBN 0-486-65812-0
• Wylie Jr., C.R. (1964), Foundations of Geometry, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-072191-2

External links

• "Line (curve)", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Equations of the Straight Line at Cut-the-Knot