Clearing denominators

수학(mathematics)에서, 분모 제거(clearing denominators)의 방법은, 역시 분수 제거(clearing fractions)라고 불리며, 각각이, 단순 분수(fraction)를 포함하는, 유리 표현(rational expression)의 합인 두 표현을 같게 하는 방정식(equation)을 단순화하는 것에 대한 기법입니다.

Example

다음 방정식을 생각해 보십시오:

{\frac {x}{6}}+{\frac {y}{15z}}=1.

분모 6과 15z의 최소 공통 배수(smallest common multiple)는 30z이므로, 우리는 양쪽 변에 30z를 곱합니다:

5xz+2y=30z.\,

결과는 분모를 갖지 않는 방정식입니다.

단순화된 방정식은 원래의 것과 전체적으로 동등하지는 않습니다. 우리가 마지막 방정식에 y = 0과 z = 0을 대입할 때에 대해, 양쪽 변은 0으로 단순화되므로, 우리는 0 = 0, 수학적 진리를 얻습니다. 그러나 원래 방정식에 적용된 같은 대입은 수학적으로 의미없는(mathematically meaningless) 것인 x/6 + 0/0 = 1를 초래합니다.

Description

일반성의 손실 없이(without loss of generality), 우리는 방정식의 오른쪽 변(right-hand side)이 0임을 가정할 수 있는데, 왜냐하면 방정식 $E$ ₁ = $E$ ₂은 형식 $E$ ₁ − $E$ ₂ = 0에서 동등하게 다시-쓸 수 있기 때문입니다.

따라서 방정식이 다음 형식을 가진다고 놓습니다:

\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=0.

첫 번째 단계는 이들 분수의 공통 분모 $D$ – $Q i$ 의 최소 공통 배수인 최소 공통 분모(least common denominator)를 결정하는 것입니다.

이것은 각 $Q i$ 가 $D$ 의 인수이므로, 분수가 아닌 어떤 표현 $R i$ 에 대해 $D$ = $R i Q i$ 임을 의미합니다. 그런-다음

{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{R_{i}Q_{i}}}={\frac {R_{i}P_{i}}{D}}\,,

$R i Q i$ 가 값 0을 가정하지 않는 조건으로 제공됩니다 – 이 경우에서 역시 $D$ 는 0과 같습니다.

따라서 우리는 이제 다음을 가집니다:

\sum _{i=1}^{n}{\frac {P_{i}}{Q_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {R_{i}P_{i}}{D}}={\frac {1}{D}}\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0.

$D$ 가 값 0을 가정하지 않는 조건으로 제공되며, 후자의 방정식은 다음의 것과 동등합니다:

\sum _{i=1}^{n}R_{i}P_{i}=0\,,

이것에서 분모는 사라집니다.

단서에서 알 수 있듯이, 주의할 점은 – 방정식의 미지수(unknown)의 함수로 보이는 – $D$ 의 영(zero)을 가짜 해(spurious solution)로 도입하지 않도록 하는 것입니다.

Example 2

다음 방정식을 생각해 보십시오:

{\frac {1}{x(x+1)}}+{\frac {1}{x(x+2)}}-{\frac {1}{(x+1)(x+2)}}=0.

최소 공통 분모는 $x$ ( $x$ + 1)( $x$ + 2)입니다.

위에 묘사된 것처럼 다음 방법은 아래의 결과를 초래합니다:

(x+2)+(x+1)-x=0.

이것을 더 단순화하면 해 $x$ = −3을 제공합니다.

$x$ ( $x$ + 1)( $x$ + 2)의 영들의 어떤 것 – 즉 $x$ = 0, $x$ = −1, 및 $x$ = −2 – 도 최종 방정식의 해가 아니므로, 가짜 해가 도입되지 않았음을 쉽게 확인할 수 있습니다.

References

Richard N. Aufmann; Joanne Lockwood (2012). Algebra: Beginning and Intermediate (3 ed.). Cengage Learning. p. 88. ISBN 978-1-133-70939-8.