Equation

The first use of an equals sign, equivalent to 14x + 15 = 71 in modern notation. From The Whetstone of Witte by Robert Recorde of Wales (1557).^[1]

수학(mathematics)에서. 방정식(equation)은 두 표현의 상등(equality)을 주장하는 명제입니다. 다른 언어에서 단어 방정식과 그것의 동족어(cognate)는 미묘하게 다른 의미를 가질 수 있습니다; 예를 들어, 프랑스어(French)에서 équation은 하나 이상의 변수(variables)를 포함하는 것으로 정의되지만, 영어(English)에서 임의의 상등이 방정식입니다.^[2]

변수를 포함하는 방정식을 푸는 것(Solving an equation)은 변수의 어떤 값이 상등을 참으로 만드는 것을 결정하는 것으로 구성됩니다. 변수는 미지수(unknowns)라고 역시 불리고 등식을 만족시키는 미지수의 값은 방정식의 해(solutions)라고 불립니다. 두 가지 방정식: 항등식(identities)과 조건부 방정식이 있습니다. 항등식은 변수의 모든 값에 대해 참입니다. 조건부 방정식은 변수의 특정 값에 대해 오직 참입니다.^[3]^[4]

방정식은 같은 기호(equals sign) ("=")로 연결된 두 표현(expressions)으로 쓰입니다. 같은-기호의 두 변(sides)에 대한 표현은 방정식의 "왼쪽 변"과 "오른쪽 변"이라고 불립니다.

가장 공통적인 유형의 방정식은 대수적 방정식(algebraic equation)이며, 이것에서 두 변은 대수적 표현(algebraic expression)입니다. 대수적 방정식의 각 변은 하나 이상의 항(terms)을 포함할 것입니다. 예를 들어, 다음 방정식은

Ax^{2}+Bx+C=y

왼쪽 변 $Ax^{2}+Bx+C$ 을 가지고, 이것은 세 항을 가지고, 오른쪽 변 $y$ 는 오직 하나의 항으로 구성됩니다. 미지수는 x와 y이고 매개변수는 A, B, 및 C입니다.

방정식은 가중이 배치되는 스케일과 유사합니다. 같은 무게의 물체 (예를 들어 곡물)가 두 팬에 넣어질 때, 두 무게가 저울을 균형 잡힘을 초래하고 같다고 말합니다. 만약 곡물의 양이 저울의 한 팬에서 제거되면, 곡물의 같은 양이 저울의 균형을 유지하기 위해 다른 팬에서 제거되어야 합니다. 마찬가지로, 방정식의 균형을 유지하기 위해, 덧셈, 뺄셈, 곱셈 및 나눗셈과 같은 연산이 그것에 대해 참을 유지하기 위해 방정식의 양쪽 변에 대해 수행되어야 합니다.

기하학(geometry)에서, 방정식은 기하학적 그림(geometric figures)을 설명하기 위해 사용됩니다. 암시적 방정식(implicit equation) 또는 매개-변수의 방정식(parametric equation)과 같은 고려되는 방정식이 무한하게 많은 해를 가질 때, 목표는 이제 달라집니다: 해를 명시적으로 제시하거나 그들을 세는, 이것은 불가능하며, 대신에 우리는 그림의 속성을 연구하는 것에 대해 방정식을 사용합니다. 이것이 해석적 기하학(algebraic geometry), 수학의 중요한 영역의 시작하는 아이디어입니다.

대수학(Algebra)은 방정식의 두 주요 가족: 다항 방정식(polynomial equations)과 그들 사이에, 선형 방정식(linear equations)의 특수한 경우를 연구합니다. 오직 하나의 변수가 있을 때, 다항 방정식은 형식 P(x) = 0를 가지며, 여기서 P는 다항식(polynomial)이고, 선형 방정식은 형식 ax + b = 0를 가지며, 여기서 a와 b는 매개-변수(parameters)입니다. 어느 한 가족의 방정식을 풀기 위해, 우리는 선형 대수(linear algebra) 또는 수학적 해석학(mathematical analysis)에서 비롯된 알고리듬 또는 기하학적 기법을 사용합니다. 대수학은 역시 계수와 해가 정수(integers)인 디오판토스 방정식(Diophantine equations)을 연구합니다. 사용된 기법은 다르고 숫자 이론(number theory)에서 비롯됩니다. 이들 방정식은 일반적으로 어렵습니다; 우리는 종종 해의 존재 또는 부재를 단지 찾기 위해, 만약 그들이 존재하면, 해의 숫자를 세기 위해 탐구합니다.

미분 방정식(Differential equations)은 하나 이상의 함수와 그들의 도함수를 포함하는 방정식입니다. 그들은 도함수를 포함하지 않는 함수에 대해 표현을 찾음으로써 해결됩니다. 미분 방정식은 변수의 변화율을 포함하는 과정을 모델링하기 위해 사용되고 물리학, 화학, 생물학, 및 경제와 같은 영역에서 사용됩니다.

모든 각 방정식에 나타나는 "=" 기호는 1557년에 로버트 레코드(Robert Recorde)에 의해 발명되었으며, 그는 같은 길이를 갖는 평행한 직선보다 더 같은 것은 없다고 여겼습니다.^[1]

Introduction

Analogous illustration

방정식은 저울(weighing scale), 천칭 또는 시소(seesaw)와 유사합니다.

방정식의 각 변은 저울의 한 변에 해당합니다. 다른 양은 양쪽 변에 위치될 수 있습니다: 만약 양쪽의 무게가 같으면, 저울에서 나타내는 상등과 유사하게 저울 균형은 역시 균형을 이룹니다 (그렇지 않으면, 균형의 결여는 비-방정식(inequation)에 의해 나타낸 부등식(inequality)에 해당합니다).

예시에서, x, y 및 z는 원형 무게로 나타낸 모두 다른 양 (이 경우에서 실수(real numbers))이고, x, y 및 z의 각각은 다른 무게를 가집니다. 덧셈은 더해지는 무게에 해당하지만, 뺄셈은 이미 존재하는 것에서 무게를 제거하는 것에 해당합니다. 상등이 유지될 때, 각 변에서 전체 무게는 같습니다.

Parameters and unknowns

방정식은 종종 미지수 이외의 항을 포함합니다. 알려진 것으로 가정되는 이들 다른 항은, 보통 상수, 계수 또는 매개-변수라고 불립니다.

미지수로 x와 y 및 매개변수로 R을 포함하는 방정식의 예제는 다음입니다:

x^{2}+y^{2}=R^{2}.

R이 2의 값을 가지는 것으로 선택될 때 (R = 2), 이 방정식은, 데카르트 좌표(Cartesian coordinates)에서 그려질 때, 반지름 2를 갖는 특정 원에 대한 방정식으로 인식될 것입니다. 따라서, 지정되지-않은 R을 갖는 방정식은 원에 대한 일반적인 방정식입니다.

보통, 미지수는 알파벳의 끝에서 문자, x, y, z, w, ...로 표시되지만, 계수 (매개변수)는 시작하는 것에서 문자, a, b, c, d, ...로 표시됩니다. 예를 들어, 일반적인 이차 방정식(quadratic equation)은 보통 ax² + bx + c = 0으로 쓰입니다. 해를 구하는 것, 또는, 매개변수의 경우에서, 매개변수의 관점에서 미지수를 표현하는 과정은 방정식을 푸는 것(solving the equation)이라고 불립니다. 매개-변수의 관점에서 해의 그러한 표현은 해라고 역시 불립니다.

방정식의 시스템(system of equations)은, 보통 여러 미지수에서, 연립 방정식(simultaneous equations)의 집합이며, 이것에 대해 공통 해가 구해집니다. 따라서 시스템에 대한 해는 미지수의 각각에 대해 값의 집합이며, 이것은 함께 시스템에서 각 방정식에 대한 해를 형성합니다. 예를 들어, 다음 시스템

{\begin{aligned}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{aligned}}

은 고유한 해 x = −1, y = 1를 가집니다.

Identities

항등식은 그것이 포함된 변수의 모든 가능한 값에 대해 참이 되는 방정식입니다. 많은 항등식은 대수학과 미적분학에서 알려져 있습니다. 방정식을 푸는 과정에서, 항등식은 방정식을 더 쉽게 풀 수 있도록 하기 위해 종종 사용됩니다.

대수학에서, 항등식의 예제는 두 제곱의 차이(difference of two squares)입니다:

x^{2}-y^{2}=(x+y)(x-y)

이것은 모든 x와 y에 대해 참입니다.

삼각법(Trigonometry)은 많은 항등식이 존재하는 영역입니다; 이것들은 삼각 방정식(trigonometric equation)을 조작하거나 푸는 것에서 유용합니다. 사인(sine) 및 코사인(cosine) 함수를 포함하는 많은 것 중 두 가지는 다음입니다:

\sin ^{2}(\theta )+\cos ^{2}(\theta )=1

및

\sin(2\theta )=2\sin(\theta )\cos(\theta )

이것은 θ의 모든 값에 대해 둘 다 참입니다.

예를 들어, 방정식을 만족시키는 θ의 값에 대해 풀기 위해:

3\sin(\theta )\cos(\theta )=1\,,

여기서 θ는 0과 45도 사이로 제한되는 것으로 알려져 있으며, 우리는 곱에 대해 다음을 제공하기 위해 위의 항등식을 사용할 수 있습니다:

{\frac {3}{2}}\sin(2\theta )=1\,,

θ에 대해 해를 산출합니다:

\theta ={\frac {1}{2}}\arcsin \left({\frac {2}{3}}\right)\approx 20.9^{\circ }.

사인 함수는 주기 함수(periodic function)이므로, 만약 θ에 제한이 없으면 무한하게 많은 해가 있습니다. 이 예에서, θ가 0과 45도 사이의 제한은 오직 하나의 해가 있음을 의미합니다.

Properties

두 방정식 또는 두 방정식의 시스템이 만약 그들이 같은 해의 집합을 가지면 동등합니다. 다음 연산은 방정식 또는 방정식의 시스템을 동등한 것으로 변환합니다 – 그 연산은 그것이 적용된 표현에 대해 의미가 있음을 조건으로 합니다:

방정식의 양쪽 변에 같은 양을 더함(Adding) 또는 뺍니다(subtracting). 이것은 모든 각 방정식이 오른쪽 변이 영인 방정식과 동등함을 보여줍니다.
방정식의 양쪽 변에 비-영 양을 곱함(Multiplying) 또는 나눕니다(dividing).
방정식의 한 변을 변환하기 위해 항등식(identity)을 적용합니다. 예를 들어, 곱을 전개(expanding) 또는 합을 인수화(factoring)합니다.
시스템에 대해: 방정식의 양쪽 변에 또 다른 방정식의 해당하는 변에, 같은 양을 곱한 것을 더합니다.

만약 일부 함수(function)가 방정식의 양쪽 변에 적용되면, 결과 방정식은 그것의 해 중 초기 방정식의 해를 가지지만, 관계-없는 해(extraneous solution)라고 불리는 추가적인 해를 가질 수 있습니다. 예를 들어, 방정식 $x=1$ 의 해는 $x=1$ 입니다. 양쪽 변에 지수 2를 올리면 (이것은 방정식의 양쪽 변에 함수 $f(s)=s^{2}$ 를 적용한다는 의미입니다) 방정식을 $x^{2}=1$ 로 변경하며, 이것은 이전 해뿐만 아니라, 관계-없는 해 $x=-1$ 을 도입합니다. 게다가, 만약 함수가 일부 값에서 정의되지 않으면 (x = 0에 대해 정의되지 않은 1/x과 같은 것), 그들 값에서 존재하는 해는 잃어버릴 수 있습니다. 따라서, 주의가 그러한 변환을 방정식에 적용할 때 기울여야 합니다.

위의 변환은 가우스 소거법(Gaussian elimination)와 같은 일부 덜 기본 방법뿐만 아니라 방정식을 푸는 것에 대해 대부분의 기본 방법의 기초입니다.

Algebra

Polynomial equations

The *solutions* –1 and 2 of the *polynomial equation* x² – x + 2 = 0 are the points where the graph of the quadratic function y = x² – x + 2 cuts the x-axis.

일반적으로, 대수적 방정식 또는 다항 방정식(polynomial equation)은 다음 형식의 방정식입니다:

P=0

, 또는

P=Q

여기서 P와 Q는 어떤 필드(field) (실수, 복소수 등)에서 계수를 갖는 다항식(polynomial)이며, 이것은 종종 유리수(rational number)의 필드입니다. 대수적 방정식은 만약 그것이 오직 하나의 변수(variable)를 포함하면 일변수(univariate)입니다. 다른 한편으로, 다항 방정식이 여러 변수를 포함할 수 있으며, 이 경우에서 그것은 다변수(multivariate) (여러 변수, x, y, z, 등.)라고 불립니다. 용어 다항 방정식은 보통 대수적 방정식보다 선호됩니다.

예를 들어,

x^{5}-3x+1=0

는 정수 계수를 갖는 일변수 대수적 (다항) 방정식입니다. 그리고

y^{4}+{\frac {xy}{2}}={\frac {x^{3}}{3}}-xy^{2}+y^{2}-{\frac {1}{7}}

는 유리수에 걸쳐 다변수 다항 방정식입니다.

유리 계수(rational coefficients)를 갖는 모든 다항 방정식은 아니지만 일부 다항 방정식은 단지 해당 계수를 포함하는 유한한 숫자의 연산을 갖는 대수적 표현(algebraic expression)인 해를 가집니다 (즉, 그것은 대수적으로 풀 수 있습니다). 이것은 차수(degree) 일, 이, 삼 또는 사의 모든 그러한 방정식에 대해 행해질 수 있습니다; 그러나 차수 5 이상에 대해 아벨–루피니 정리(Abel–Ruffini theorem)가 증명한 것처럼 전부가 아닌 일부 방정식에 대해 풀 수 있습니다. 많은 양의 연구가 일변수 대수적 방정식의 실수(real) 또는 복소수(complex) 해 (다항식의 근 찾기(Root finding of polynomials)를 참조) 및 여러 다변수 다항 방정식의 공통 해 (다항 방정식의 시스템(System of polynomial equations)을 참조)의 효율적으로 정확한 근사를 계산하기 위해 전념되어 왔습니다.

Systems of linear equations

The Nine Chapters on the Mathematical Art is an anonymous Chinese book proposing a method of resolution for linear equations.

선형 방정식의 시스템(system of linear equations) (또는 선형 시스템)은 같은 집합의 변수(variables)를 포함하는 선형 방정식(linear equation)의 모음입니다.^[a] 예를 들어,

{\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}

는 세 변수 $x, y, z$ 에서 세 방정식의 시스템입니다. 선형 방정식의 해는 모든 방정식이 동시에 만족시키는 변수에 숫자의 할당입니다. 위의 방정식에 대한 해(solution)는 다음에 의해 제공됩니다:

{\begin{alignedat}{2}x&\,=\,&1\\y&\,=\,&-2\\z&\,=\,&-2\end{alignedat}}

왜냐하면 그것이 모든 세 방정식을 유효하게 만들기 때문입니다. 단어 "시스템"은 방정식이 개별적이 아니라 집합적으로 고려되어야 함을 나타냅니다.

수학에서, 선형 시스템의 이론은 선형 대수(linear algebra), 현대 수학의 대부분에서 사용되는 주제의 기초이자 기본 부분입니다. 해를 구하기 위한 계산 알고리듬(algorithm)은 수치 선형 대수(numerical linear algebra)의 중요한 부분이고, 물리학(physics), 공학(engineering), 화학(chemistry), 컴퓨터 과학(computer science) 및 경제학(economics)에서 중요한 역할을 합니다. 비선형 방정식의 시스템은 종종 상대적으로 복잡한 시스템의 수학적 모델(mathematical model) 또는 컴퓨터 모의실험(computer simulation)을 만들 때 유용한 기술, 선형 시스템 (선형화(linearization) 참조)에 의해 근사화될 수 있습니다.

Geometry

Analytic geometry

유클리드 기하학(Euclidean geometry)에서, 좌표의 집합을 공간에서 각 점, 예를 들어 직교 그리드에 결합할 수 있습니다. 이 방법은 방정식으로 기하학적 도형을 특성화하는 것을 허용합니다. 삼-차원 공간에서 평면은 형식 $ax+by+cz+d=0$ 의 방정식의 해 집합으로 표현될 수 있으며, 여기서 $a,b,c$ 와 $d$ 는 실수이고 $x,y,z$ 는 직교 그리드에 의해 주어진 시스템에서 점의 좌표에 해당하는 미지수입니다. 값 $a,b,c$ 는 방정식으로 정의된 평면에 수직인 벡터의 좌표입니다. 직선은 두 평면의 교점으로 표현됩니다. 즉, $\mathbb {R} ^{2}$ 에서 값을 갖는 단일 선형 방정식의 해 집합 또는 $\mathbb {R} ^{3}$ 에서 값을 갖는 두 선형 방정식의 해 집합으로 표현됩니다.

원뿔 단면(conic section)은 방정식 $x^{2}+y^{2}=z^{2}$ 과 평면을 가진 원뿔(cone)의 교차입니다. 달리 말해서, 공간에서, 모든 원뿔형은 평면 방정식과 단지 주어진 원뿔의 방정식의 해 집합으로 정의됩니다. 이 형식주의는 원뿔형의 초점의 위치와 속성을 결정하는 것을 허용합니다.

방정식의 사용은 기하학적 문제를 풀기 위해 수학의 넓은 범위를 호출하는 것을 허용합니다. 데카르트 좌표(Cartesian coordinate) 시스템은, 일단 도형이 방정식으로 변환되면, 기하학적 문제를 해석학 문제로 변환합니다; 따라서 그 이름 해석적 기하학(analytic geometry)입니다. 데카르트(Descartes)에 의해 윤곽이 그려진, 이 관점은 고대 그리스 수학자들에 의해 생각된 기하학의 유형을 풍부하게 하고 수정합니다.

현재, 해석적 기하학은 수학의 활동적인 가지를 지명합니다. 비록 그것이 그림을 특성화하기 위해 방정식을 사용할지라도, 함수형 해석학(functional analysis) 및 선형 대수(linear algebra)과 같은 다른 정교한 기술을 역시 사용합니다.

Cartesian equations

데카르트 좌표 시스템(Cartesian coordinate system)은 수치적(numerical) 좌표의 쌍에 의해 평면(plane)에서 각 점(point)을 고유하게 지정하는 좌표 시스템(coordinate system)이며, 이것은 같은 길이의 단위(unit of length)를 사용하여 표시되는, 그 점에서 두 고정된 수직(perpendicular) 직접 직선까지 부호화된(signed) 거리입니다.

우리는 세 데카르트 좌표의 사용에 의해 삼-차원(dimension) 공간(space)에서 임의의 점의 위치를 지정하기 위해 같은 원리를 사용할 수 있으며, 이것은 세 서로 수직 평면에 대한 (또는, 동등하게, 세 서로 수직 직선 위로의 수직 투영에 의해) 부호화된 거리입니다.

Cartesian coordinate system with a circle of radius 2 centered at the origin marked in red. The equation of a circle is (x − a)² + (y − b)² = r² where a and b are the coordinates of the center (a, b) and r is the radius.

르네 데카르트(René Descartes) (라틴어화된(Latinized) 이름 : Cartesius)에 의한 17세기에 데카르트 좌표의 발명은 유클리드 기하학(Euclidean geometry)과 대수학(algebra) 사이의 첫 번째 체계적인 연결을 제공함으로써 수학에 혁명을 일으켰습니다. 데카르트 좌표계를 사용하여, (곡선(curve)과 같은) 기하학적 모양은 데카르트 방정식: 모양에 위에 놓이는 점의 좌표를 포함하는 대수적 방정식으로 설명될 수 있습니다. 예를 들어, 원점이라고 불리는 특정 점에 중심을 둔, 평면에서 반지름 2의 원은 좌표 x와 y가 방정식 x² + y² = 4를 만족시키는 모든 점의 집합으로 설명될 수 있습니다.

Parametric equations

곡선(curve)에 대해 매개-변수 방정식(parametric equation)은 곡선의 점의 좌표(coordinates)를, 매개-변수(parameter)라고 불리는, 변수(variable)의 함수로 나타냅니다.^[5]^[6] 예를 들어

{\begin{aligned}x&=\cos t\\y&=\sin t\end{aligned}}

는 단위 원(unit circle)에 대해 매개-변수 방정식이며, 여기서 t는 매개변수입니다. 함께, 이들 방정식은 곡선의 매개변수 표현으로 불립니다.

매개변수 방정식의 개념은 매개 변수의 숫자가 매니폴드(manifold) 또는 다양체의 차원과 같고, 방정식의 숫자가 매니폴드 또는 다양체가 고려되는 공간의 차원과 같은, 더 높은 차원(dimension)의 표면(surfaces), 매니폴드, 및 대수적 다양체(algebraic varieties)로 일반화되었습니다 (곡선에 대해 치원은 일이고 하나의 매개 변수가 사용되며, 표면에 대해 치원은 이이고 두 매개변수, 등입니다.).

Number theory

Diophantine equations

디오판토스 방정식은 오직 정수(integer) 해(solutions)가 구해지기를 원하는 둘 이상 미지수에서 다항 방정식(polynomial equation)입니다 (정수 해는 모든 미지수가 정수 값을 만족하는 해입니다). 선형 디오판토스 방정식은 차수(degree) 영 또는 일의 두 단항식(monomials)의 합 사이의 방정식입니다. 선형 디오판토스 방정식의 예제는 $ax + by = c$ 이며 여기서 a, b, 및 c는 상수입니다. 지수 디오판토스 방정식은 방정식의 항의 지수가 미지수일 수 있는 방정식입니다.

디오판토스 문제는 미지수 변수보다 더 작은 방정식을 가지고 모든 방정식에 올바르게 작동하는 정수를 찾는 것과 관련이 있습니다. 보다 기술적인 언어에서, 그들은 대수적 곡선(algebraic curve), 대수적 표면(algebraic surface), 또는 보다 일반적인 대상을 정의하고, 그것 위에 격자 점(lattice point)에 대해 묻습니다.

단어 디오판토스는 3세기의 헬레니즘 수학자(Hellenistic mathematician), 알렉산드리아(Alexandria)의 디오판토스(Diophantus)를 지칭하며, 그는 이러한 방정식의 연구를 만들었고 대수학(algebra)에 기호주의(symbolism)를 도입한 최초의 수학자 중 한 사람이었습니다. 디오판토스 시작했던 디오판토스 문제의 수학적 연구는 이제 디오판토스 해석(Diophantine analysis)이라고 불립니다.

Algebraic and transcendental numbers

대수적 숫자(algebraic number)는 유리(rational) 계수를 갖는 (또는 동등하게 – 분모를 제거(clearing denominators)함으로써 – 정수(integer) 계수를 갖는) 하나의 변수에서 비-영 다항 방정식의 해인 숫자입니다. 대수적이지 않은 $π$ 와 같은 숫자는 초월적(transcendental)이라고 말합니다. 거의 모든(Almost all) 실수(real)와 복소수(complex)는 초월 적입니다.

Algebraic geometry

대수적 기하학(Algebraic geometry)은 수학(mathematics)의 한 가지이며, 다항 방정식(polynomial equations)의 해를 고전적으로 연구합니다. 현대 대수적 기하학은 언어와 기하학(geometry)의 문제를 갖는 추상 대수학(abstract algebra), 특히 교환적 대수학(commutative algebra)의 보다 추상적인 기술을 기반으로 합니다.

대수적 기하학에서 연구의 기본 대상은 대수적 다양체(algebraic varieties)이며, 이것은 다항 방정식의 시스템(systems of polynomial equations)의 해(solutions)의 기하학적 표명입니다. 가장 많이 연구된 대수적 다양체의 예제는 평면 대수적 곡선(plane algebraic curve)이며, 이것은 직선(lines), 원(circle), 포물선(parabola), 타원(ellipse), 쌍곡선(hyperbola), 타원형 곡선(elliptic curve)과 같은 삼차 곡선(cubic curve) 및 렘니스케이트(lemniscate)와 같은 사차 곡선, 및 카시니 달걀형(Cassini oval)을 포함합니다. 평면의 점은 만약 좌표가 주어진 다항식을 만족하면 대수적 곡선에 속합니다. 기본 질문은 특이점(singular points), 변곡점(inflection point) 및 무한대에서 점(points at infinity)과 같은 특별한 관심의 점의 연구를 포함합니다. 보다 고급 질문은 곡선의 토폴로지(topology)와 다른 방정식으로 주어진 곡선 사이의 관계를 포함합니다.

Differential equations

미분 방정식(differential equation)은 함수(function)와 그것의 도함수(derivative)를 관련짓는 수학적(mathematical) 방정식입니다. 응용에서, 함수는 보통 물리적 양을 나타내고, 도함수는 그들의 변화율을 나타내고, 방정식은 둘 사이의 관계를 정의합니다. 그러한 관계는 극단적으로 공통적이기 때문에, 미분 방정식은 물리학(physics), 공학(engineering), 경제학(economics), 및 생물학(biology)을 포함한 많은 분야에서 중요한 역할을 합니다.

순수 수학(pure mathematics)에서, 미분 방정식은 여러 관점에서 연구되며, 주로 그들의 해 – 방정식을 만족시키는 함수의 집합과 관련이 있습니다. 오직 가장 단순한 미분 방정식이 명시적 공식에 의해 해결될 수 있습니다; 어쨌든, 주어진 미분 방정식의 해의 일부 속성은 그들의 정확한 형식을 찾는 것없이 결정될 수 있습니다.

만약 해에 대해 자체-포함된 공식이 유효하지 않으면, 해는 컴퓨터를 사용하여 수치적으로 추정될 수 있습니다. 동역학적 시스템(dynamical systems)의 이론은 미분 방정식에 의해 묘사된 시스템의 정성적 해석에 중점을 두고 있지만, 많은 수치적 방법(numerical methods)이 주어진 정확도로 해를 결정하기 위해 개발되어 왔습니다.

Ordinary differential equations

보통의 미분 방정식(ordinary differential equation) 또는 ODE는 하나의 독립 변수(independent variable)와 그것의 도함수의 함수를 포함하는 방정식입니다. 용어 "보통(ordinary)"은 하나보다 많은 독립 변수에 관한 부분 미분 방정식(partial differential equation)과 대조적으로 사용됩니다.

계수에 의해 더해지고 곱해질 수 있는 해를 가지는, 선형 미분 방정식은 잘-정의되고 이해되고, 정확한 닫힌-형식 해가 구해집니다. 대조적으로, 덧셈의 해가 없는 ODE는 비선형이고, 그들을 푸는 것은 훨씬 더 복잡한데, 왜냐하면 우리는 그들을 닫힌 형식에서 기본 함수(elementary functions)로 거의 표현할 수 없기 때문입니다: 대신에, ODE의 정확하고 해석적 해는 급수 또는 적분 형식에 있습니다. 손으로 또는 컴퓨터로 적용되는 그래픽 및 수치적(numerical) 방법은 ODE의 해를 근사화하고 유용한 정보를 제공할 수 있으며, 종종 정확한, 해석적 해가 없는 경우에 충분합니다.

Partial differential equations

부분 미분 방정식(partial differential equation 또는 줄여서 PDE)은 미지수 다변수 함수(multivariable functions)와 그들의 부분 도함수(partial derivative)를 포함하는 미분 방정식(differential equation)입니다. (이것은 단일 변수와 그들의 도함수를 다루는 보통의 미분 방정식(ordinary differential equations)과 대조적입니다.) PDE는 여러 변수의 함수를 포함하는 문제를 공식화하기 위해 사용되고, 손으로 풀거나, 관련된 컴퓨터 모델(computer model)을 생성하기 위해 사용됩니다.

PDE는 소리(sound), 열(heat), 정전기(electrostatics), 전기-역학(electrodynamics), 유체 흐름(fluid flow), 탄성(elasticity), 또는 양자 역학(quantum mechanics)과 같은 광범위한 다양한 현상을 설명하기 위해 사용될 수 있습니다. 이러한 겉보기에 구별되는 물리적 현상은 PDE의 관점에서 유사하게 공식화될 수 있습니다. 보통의 미분 방정식은 종종 일-차원 동역학적 시스템(dynamical systems)을 모델링하는 것처럼, 부분 미분 방정식은 종종 다차원 시스템(multidimensional systems)을 모델링합니다. PDE는 확률 부분 미분 방정식(stochastic partial differential equations)에서 그들의 일반화를 찾습니다.

Types of equations

방정식은 연산(operations)의 유형과 포함된 양에 따라 분류될 수 있습니다. 중요한 유형은 다음을 포함합니다:

대수적 방정식(algebraic equation) 또는 다항(polynomial) 방정식은 양쪽 변 모두가 다항식인 방정식입니다 (역시 다항 방정식의 시스템(system of polynomial equations)을 참조하십시오). 이들은 차수(degree)에 의해 더 분류됩니다:
- 차수 일에 대해 선형 방정식(linear equation)
- 차수 이에 대해 이차 방정식(quadratic equation)
- 차수 삼에 대해 삼차 방정식(cubic equation)
- 차수 사에 대해 사차 방정식(quartic equation)
- 차수 오에 대해 오차 방정식(quintic equation)
- 차수 육에 대해 육차 방정식(sextic equation)
- 차수 칠에 대해 칠차 방정식(septic equation)
- 차수 팔에 대해 팔차 방정식(octic equation)
디오판토스 방정식(Diophantine equation)은 미지수가 정수(integer)인 것을 요구하는 방정식입니다.
초월 방정식(transcendental equation)은 그것의 미지수의 초월 함수(transcendental function)를 포함하는 방정식입니다.
매개변수 방정식(parametric equation)은 변수에 대한 해가, 방정식에 나타나는 매개변수(parameter)라고 불리는, 일부 다른 변수의 함수로 표현하는 방정식입니다.
함수형 방정식(functional equation)은 미지수가 단순한 양이 아니라 함수(functions)인 방정식입니다.
도함수, 적분 및 유한 차이를 포함하는 방정식:
- 미분 방정식(differential equation)은 미지수 함수의 도함수(derivative)를 포함하는 함수형 방정식이며, 여기서 함수와 그것의 도함수는 $f'(x)=x^{2}$ 와 같은 점에서 평가됩니다. 미분 방정식은 단일 변수의 함수에 대해 보통의 미분 방정식(ordinary differential equation)과 여러 변수의 함수에 대해 부분 미분 방정식(partial differential equation)으로 세분화됩니다.
- 적분 방정식(integral equation)은 미지수 함수의 역도함수(antiderivative)를 포함하는 함수형 방정식입니다. 하나의 변수의 함수에 대해, 그러한 방정식은 주로 그것의 도함수로 함수를 대체하는 변수의 변경을 통해 미분 방정식과 다르지만, 어쨌든 이것은 적분이 열린 표면에 걸쳐 취할 때 경우가 아닙니다.
- 적분-미분 방정식(integro-differential equation)은 미지수 함수의 도함수(derivative)와 역도함수(antiderivative) 모두를 포함하는 함수형 방정식입니다. 하나의 변수의 함수에 대해, 그러한 방정식은 변수의 유사한 변화를 통해 적분과 미분 방정식과 다릅니다.
- 지연 미분 방정식(delay differential equation)의 함수형 미분 방정식(functional differential equation)은 $f'(x)=f(x-2)$ 와 같은 여러 점에서 평가되는 미지수 함수의 도함수(derivative)를 포함하는 함수형 방정식입니다.
- 차이 방정식(difference equation)은 미지수가 방정식의 순서라고 불리는 일부 정수 k에 대해, f(x), f(x−1), ..., f(x−k)를 통해 방정식에서 발생하는 함수 f인 방정식입니다. 만약 x가 정수로 제한되면, 차이 방정식은 재귀 관계(recurrence relation)와 같습니다.
- 확률 미분 방정식(stochastic differential equation)은 하나 이상의 항이 확률 과정(stochastic process)인 미분 방정식입니다.

Notes

^ The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.

References

^ ^a ^b Recorde, Robert, The Whetstone of Witte … (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), the third page of the chapter "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."
^ Marcus, Solomon; Watt, Stephen M. "What is an Equation?". Retrieved 2019-02-27.
^ Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique". Encyclopædia Universalis (in French). {{cite book}}: External link in |chapterurl= (help); Unknown parameter |chapterurl= ignored (|chapter-url= suggested) (help)
^ "A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply "equations")". « Equation », in Mathematics Dictionary, Glenn James (de) et Robert C. James (de) (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, p. 131.
^ Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.
^ Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

External links

Winplot: General Purpose plotter that can draw and animate 2D and 3D mathematical equations.
Equation plotter: A web page for producing and downloading pdf or postscript plots of the solution sets to equations and inequations in two variables (x and y).

[5] The subject of this article is basic in mathematics, and is treated in a lot of textbooks. Among them, Lay 2005, Meyer 2001, and Strang 2005 contain the material of this article.

[Whetstone-1] Recorde, Robert, The Whetstone of Witte … (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), the third page of the chapter "The rule of equation, commonly called Algebers Rule."

[2] Marcus, Solomon; Watt, Stephen M. "What is an Equation?". Retrieved 2019-02-27.

[3] Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique". Encyclopædia Universalis (in French). {{cite book}}: External link in |chapterurl= (help); Unknown parameter |chapterurl= ignored (|chapter-url= suggested) (help)

[4] "A statement of equality between two expressions. Equations are of two types, identities and conditional equations (or usually simply "equations")". « Equation », in Mathematics Dictionary, Glenn James (de) et Robert C. James (de) (éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1st ed. 1948, p. 131.

[6] Thomas, George B., and Finney, Ross L., Calculus and Analytic Geometry, Addison Wesley Publishing Co., fifth edition, 1979, p. 91.

[7] Weisstein, Eric W. "Parametric Equations." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ParametricEquations.html

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