Operation measuring the failure of two entities to commute
수학(mathematics) 에서, 교환자 (commutator )는 특정 이항 연산(binary operation) 이 교환적(commutative) 임에 실패하는 정도의 표시를 제공합니다. 그룹 이론(group theory) 과 링 이론(ring theory) 에서 사용되는 다른 정의가 있습니다.
Group theory 그룹(group) G 의 두 원소 g 와 h 의 교환자 (commutator )는 다음 원소입니다:
[g , h ] = g −1 h −1 gh .이 원소가 그룹의 항등식과 같은 것과 g 와 h 가 교환하는 것은 필요충분 조건입니다 (정의 gh = hg [g , h ][g , h ] 인 것이 항등원과 같은 것은 gh = hg
그룹의 모든 교환자의 집합은 일반적으로 그룹 연산 아래에서 닫혀 있지 않지만, 모든 교환자에 의해 생성된 G 의 부분그룹은 닫혀 있고 G 의 유도된 그룹 (derived group ) 또는 교환자 부분그룹 (commutator subgroup )거듭제곱영 그룹(nilpotent group) 및 해결-가능 그룹(solvable groups) 및 가장 큰 아벨 몫 그룹(quotient group) 을 정의하기 위해 사용됩니다.
위의 교환자의 정의는 이 기사 전체에서 사용되지만, 많은 다른 그룹 이론가는 교환자를 다음과 같이 정의합니다:
[g , h ] = ghg −1 h −1 .[1] [2] Identities (group theory) 교환자 항등식은 그룹 이론(group theory) 에서 중요한 도구입니다.[3] ax x −1 ax x 에 의한 a 의 켤레(conjugate) 를 나타냅니다.
x
y
=
x
[
x
,
y
]
.
{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}
[
y
,
x
]
=
[
x
,
y
]
−
1
.
{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}
[
x
,
z
y
]
=
[
x
,
y
]
⋅
[
x
,
z
]
y
{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}
[
x
z
,
y
]
=
[
x
,
y
]
z
⋅
[
z
,
y
]
.
{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}
[
x
,
y
−
1
]
=
[
y
,
x
]
y
−
1
{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}
[
x
−
1
,
y
]
=
[
y
,
x
]
x
−
1
.
{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}
[
[
x
,
y
−
1
]
,
z
]
y
⋅
[
[
y
,
z
−
1
]
,
x
]
z
⋅
[
[
z
,
x
−
1
]
,
y
]
x
=
1
{\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}
[
[
x
,
y
]
,
z
x
]
⋅
[
[
z
,
x
]
,
y
z
]
⋅
[
[
y
,
z
]
,
x
y
]
=
1.
{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}
항등식 (5)는 역시 필립 홀(Philip Hall) 와 에른스트 비트(Ernst Witt) 의 이름을 따서 홀-비트 항등식 으로 알려져 있습니다. 그것은 링-이론적 교환자에 대한 야코비 항등식(Jacobi identity) 의 그룹-이론적 아날로그입니다 (다음 섹션 참조).
N.B., x 에 의한 a 의 켤레의 위의 정의는 일부 그룹 이론가들에 의해 사용됩니다. 많은 다른 그룹 이론가들은 x 에 의한 a 의 켤레를 xax −1 [4]
x
a
{\displaystyle {}^{x}a}
참 모듈로 특정 부분그룹인 많은 항등식이 사용됩니다. 이것들은 해결-가능 그룹(solvable groups) 과 거듭제곱영 그룹(nilpotent groups) 연구에 특히 유용할 수 있습니다. 예를 들어, 임의의 그룹에서, 두 번째 거듭제곱은 잘 행동합니다:
(
x
y
)
2
=
x
2
y
2
[
y
,
x
]
[
[
y
,
x
]
,
y
]
.
{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}
만약 유도된 그룹(derived subgroup) 이 중심적이면, 다음과 같습니다:
(
x
y
)
n
=
x
n
y
n
[
y
,
x
]
(
n
2
)
.
{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}
Ring theory 링(Rings) 은 종종 나눗셈을 지원하지 않습니다. 따라서, 링 (또는 결합 대수 )의 두 원소 a 와 b 의 교환자 (commutator )는 다음에 의해 다르게 정의됩니다:
[
a
,
b
]
=
a
b
−
b
a
.
{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}
교환자가 영인 것과 a 와 b 가 교환하는 것은 필요충분 조건입니다. 선형 대수(linear algebra) 에서, 만약 공간의 두 자기-사상(endomorphisms) 은 하나의 기저의 관점에서 통근하는 행렬에 의해 표현되면, 그것들은 모든 각 기저의 관점에서 역시 표현됩니다. 교환자를 리 괄호(Lie bracket) 로 사용함으로써, 모든 각 결합 대수는 리 대수(Lie algebra) 로 바꿀 수 있습니다.
링 또는 결합 대수의 두 원소 a 와 b 의 반교환자 (anticommutator )는 다음에 의해 정의됩니다:
{
a
,
b
}
=
a
b
+
b
a
.
{\displaystyle \{a,b\}=ab+ba.}
때때로
[
a
,
b
]
+
{\displaystyle [a,b]_{+}}
[
a
,
b
]
−
{\displaystyle [a,b]_{-}}
[5] 클리퍼드 대수(Clifford algebra) 와 조르당 대수(Jordan algebra) 을 정의하고 입자 물리학(particle physics) 에서 디랙 방정식(Dirac equation) 을 유도하기 위해 사용될 수 있습니다.
힐베르트 공간(Hilbert space) 위에 동작하는 두 연산자의 교환자는 양자 역학(quantum mechanics) 에서 핵심 개념인데, 왜냐하면 그것은 이들 연산자에 의해 설명되는 두 개의 관측-가능(observables) 이 동시에 측정될 수 있는 정도를 정량화하기 때문입니다. 불확실성 원리(uncertainty principle) 는 궁극적으로 로버트슨-슈뢰딩거 관계(Robertson–Schrödinger relation) 덕분에 그러한 교환자에 대한 정리입니다.[6] 위상 공간(phase space) 에서, 함수 별-곱(star-products) 의 동등한 교환자는 모얄 괄호(Moyal brackets) 라고 불리고 언급된 힐베르트 공간 교환자 구조와 완전하게 동형적입니다.
Identities (ring theory) 교환자는 다음 속성을 가집니다:
Lie-algebra identities
[
A
+
B
,
C
]
=
[
A
,
C
]
+
[
B
,
C
]
{\displaystyle [A+B,C]=[A,C]+[B,C]}
[
A
,
A
]
=
0
{\displaystyle [A,A]=0}
[
A
,
B
]
=
−
[
B
,
A
]
{\displaystyle [A,B]=-[B,A]}
[
A
,
[
B
,
C
]
]
+
[
B
,
[
C
,
A
]
]
+
[
C
,
[
A
,
B
]
]
=
0
{\displaystyle [A,[B,C]]+[B,[C,A]]+[C,[A,B]]=0}
관계 (3)는 is called 반교환성(anticommutativity) 이라고 불리고, 반면에 (4)는 야코비 항등식(Jacobi identity) 입니다.
Additional identities
[
A
,
B
C
]
=
[
A
,
B
]
C
+
B
[
A
,
C
]
{\displaystyle [A,BC]=[A,B]C+B[A,C]}
[
A
,
B
C
D
]
=
[
A
,
B
]
C
D
+
B
[
A
,
C
]
D
+
B
C
[
A
,
D
]
{\displaystyle [A,BCD]=[A,B]CD+B[A,C]D+BC[A,D]}
[
A
,
B
C
D
E
]
=
[
A
,
B
]
C
D
E
+
B
[
A
,
C
]
D
E
+
B
C
[
A
,
D
]
E
+
B
C
D
[
A
,
E
]
{\displaystyle [A,BCDE]=[A,B]CDE+B[A,C]DE+BC[A,D]E+BCD[A,E]}
[
A
B
,
C
]
=
A
[
B
,
C
]
+
[
A
,
C
]
B
{\displaystyle [AB,C]=A[B,C]+[A,C]B}
[
A
B
C
,
D
]
=
A
B
[
C
,
D
]
+
A
[
B
,
D
]
C
+
[
A
,
D
]
B
C
{\displaystyle [ABC,D]=AB[C,D]+A[B,D]C+[A,D]BC}
[
A
B
C
D
,
E
]
=
A
B
C
[
D
,
E
]
+
A
B
[
C
,
E
]
D
+
A
[
B
,
E
]
C
D
+
[
A
,
E
]
B
C
D
{\displaystyle [ABCD,E]=ABC[D,E]+AB[C,E]D+A[B,E]CD+[A,E]BCD}
[
A
,
B
+
C
]
=
[
A
,
B
]
+
[
A
,
C
]
{\displaystyle [A,B+C]=[A,B]+[A,C]}
[
A
+
B
,
C
+
D
]
=
[
A
,
C
]
+
[
A
,
D
]
+
[
B
,
C
]
+
[
B
,
D
]
{\displaystyle [A+B,C+D]=[A,C]+[A,D]+[B,C]+[B,D]}
[
A
B
,
C
D
]
=
A
[
B
,
C
]
D
+
[
A
,
C
]
B
D
+
C
A
[
B
,
D
]
+
C
[
A
,
D
]
B
=
A
[
B
,
C
]
D
+
A
C
[
B
,
D
]
+
[
A
,
C
]
D
B
+
C
[
A
,
D
]
B
{\displaystyle [AB,CD]=A[B,C]D+[A,C]BD+CA[B,D]+C[A,D]B=A[B,C]D+AC[B,D]+[A,C]DB+C[A,D]B}
[
[
A
,
C
]
,
[
B
,
D
]
]
=
[
[
[
A
,
B
]
,
C
]
,
D
]
+
[
[
[
B
,
C
]
,
D
]
,
A
]
+
[
[
[
C
,
D
]
,
A
]
,
B
]
+
[
[
[
D
,
A
]
,
B
]
,
C
]
{\displaystyle [[A,C],[B,D]]=[[[A,B],C],D]+[[[B,C],D],A]+[[[C,D],A],B]+[[[D,A],B],C]}
만약 A 가 링 R 의 고정된 원소이면, 항등식 (1)은
ad
A
(
B
)
=
[
A
,
B
]
{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}(B)=[A,B]}
ad
A
:
R
→
R
{\displaystyle \operatorname {ad} _{A}:R\rightarrow R}
라이프니츠 규칙(Leibniz rule) 으로 해석될 수 있습니다. 다시 말해서, 맵 adA R 위에 유도(derivation) 를 정의합니다. 항등식 (2), (3)은 두 개보다 많은 원소에 대한 라이프니츠 규칙을 나타내고, 임의의 유도에 대해 유효합니다. 등식 (4)–(6)은 역시 라이프니츠 규칙으로 해석될 수 있습니다. 항등식 (7), (8)은 Z -쌍선형성(Z -bilinearity)
위의 항등식 중 일부는 위의 ± 아래첨자 표기법을 사용하여 반교환자로 확장될 수 있습니다.[7]
[
A
B
,
C
]
±
=
A
[
B
,
C
]
−
+
[
A
,
C
]
±
B
{\displaystyle [AB,C]_{\pm }=A[B,C]_{-}+[A,C]_{\pm }B}
[
A
B
,
C
D
]
±
=
A
[
B
,
C
]
−
D
+
A
C
[
B
,
D
]
−
+
[
A
,
C
]
−
D
B
+
C
[
A
,
D
]
±
B
{\displaystyle [AB,CD]_{\pm }=A[B,C]_{-}D+AC[B,D]_{-}+[A,C]_{-}DB+C[A,D]_{\pm }B}
[
[
A
,
B
]
,
[
C
,
D
]
]
=
[
[
[
B
,
C
]
+
,
A
]
+
,
D
]
−
[
[
[
B
,
D
]
+
,
A
]
+
,
C
]
+
[
[
[
A
,
D
]
+
,
B
]
+
,
C
]
−
[
[
[
A
,
C
]
+
,
B
]
+
,
D
]
{\displaystyle [[A,B],[C,D]]=[[[B,C]_{+},A]_{+},D]-[[[B,D]_{+},A]_{+},C]+[[[A,D]_{+},B]_{+},C]-[[[A,C]_{+},B]_{+},D]}
[
A
,
[
B
,
C
]
±
]
+
[
B
,
[
C
,
A
]
±
]
+
[
C
,
[
A
,
B
]
±
]
=
0
{\displaystyle \left[A,[B,C]_{\pm }\right]+\left[B,[C,A]_{\pm }\right]+\left[C,[A,B]_{\pm }\right]=0}
[
A
,
B
C
]
±
=
[
A
,
B
]
−
C
+
B
[
A
,
C
]
±
=
[
A
,
B
]
±
C
∓
B
[
A
,
C
]
−
{\displaystyle [A,BC]_{\pm }=[A,B]_{-}C+B[A,C]_{\pm }=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{-}}
[
A
,
B
C
]
=
[
A
,
B
]
±
C
∓
B
[
A
,
C
]
±
{\displaystyle [A,BC]=[A,B]_{\pm }C\mp B[A,C]_{\pm }}
Exponential identities 지수(exponential)
e
A
=
exp
(
A
)
=
1
+
A
+
1
2
!
A
2
+
⋯
{\displaystyle e^{A}=\exp(A)=1+A+{\tfrac {1}{2!}}A^{2}+\cdots }
바나흐 대수(Banach algebra) 또는 형식적 거듭제곱 급수(formal power series) 의 링과 같은 링 또는 대수를 생각해 보십시오.
그러한 링에서, 중첩된 교환자에 적용된 아다마르의 보조정리(Hadamard's lemma) 는 다음을 제공합니다:
e
A
B
e
−
A
=
B
+
[
A
,
B
]
+
1
2
!
[
A
,
[
A
,
B
]
]
+
1
3
!
[
A
,
[
A
,
[
A
,
B
]
]
]
+
⋯
=
e
ad
A
(
B
)
.
{\textstyle e^{A}Be^{-A}\ =\ B+[A,B]+{\frac {1}{2!}}[A,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}[A,[A,[A,B]]]+\cdots \ =\ e^{\operatorname {ad} _{A}}(B).}
Adjoint derivation A ) exp(B ))의 베이커–캠벨–하우스도르프 전개(Baker–Campbell–Hausdorff expansion) 의 기초가 됩니다.
유사한 전개는 중첩된 교환자 (리 괄호)의 수열의 관점에서 표현
e
A
{\displaystyle e^{A}}
e
A
e
B
e
−
A
e
−
B
=
exp
(
[
A
,
B
]
+
1
2
!
[
A
+
B
,
[
A
,
B
]
]
+
1
3
!
(
1
2
[
A
,
[
B
,
[
B
,
A
]
]
]
+
[
A
+
B
,
[
A
+
B
,
[
A
,
B
]
]
]
)
+
⋯
)
.
{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}
Graded rings and algebras 등급화된 대수(graded algebras) 를 다룰 때, 교환자는 보통 동차 구성 요소에서 다음과 같이 정의되는 등급화된 교환자 (graded commutator )로 대체됩니다:
[
ω
,
η
]
g
r
:=
ω
η
−
(
−
1
)
deg
ω
deg
η
η
ω
.
{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}
Adjoint derivation 특히 만약 링 R 에서 여러 교환자를 다루면, 또 다른 표기법이 유용한 것으로 판명되었습니다. 원소
x
∈
R
{\displaystyle x\in R}
인접(adjoint) 매핑
a
d
x
:
R
→
R
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}:R\to R}
ad
x
(
y
)
=
[
x
,
y
]
=
x
y
−
y
x
.
{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}
이 매핑은 링 R 위에 유도(derivation) 입니다:
a
d
x
(
y
z
)
=
a
d
x
(
y
)
z
+
y
a
d
x
(
z
)
.
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}\!(yz)\ =\ \mathrm {ad} _{x}\!(y)\,z\,+\,y\,\mathrm {ad} _{x}\!(z).}
야코비 항등식(Jacobi identity) 에 의해, 그것은 교환 연산에 걸쳐 유도이기도 합니다:
a
d
x
[
y
,
z
]
=
[
a
d
x
(
y
)
,
z
]
+
[
y
,
a
d
x
(
z
)
]
.
{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}
그러한 매핑을 구성하여, 예를 들어
ad
x
ad
y
(
z
)
=
[
x
,
[
y
,
z
]
]
{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}
ad
x
2
(
z
)
=
ad
x
(
ad
x
(
z
)
)
=
[
x
,
[
x
,
z
]
]
.
{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}
a
d
{\displaystyle \mathrm {ad} }
a
d
:
R
→
E
n
d
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {ad} :R\to \mathrm {End} (R)}
E
n
d
(
R
)
{\displaystyle \mathrm {End} (R)}
R 에서 자체로의 매핑의 링입니다. 그런 다음
a
d
{\displaystyle \mathrm {ad} }
리 대수(Lie algebra) 준동형입니다:
ad
[
x
,
y
]
=
[
ad
x
,
ad
y
]
.
{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}
대조적으로, 그것은 항상 링 준동형은 아닙니다 : 보통
ad
x
y
≠
ad
x
ad
y
{\displaystyle \operatorname {ad} _{xy}\,\neq \,\operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}}
General Leibniz rule 곱의 반복된 유도를 확장하는 일반적인 라이프니츠 규칙(general Leibniz rule) 은 인접 표현을 사용하여 추상적으로 쓸 수 있습니다:
x
n
y
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
ad
x
k
(
y
)
x
n
−
k
.
{\displaystyle x^{n}y=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\operatorname {ad} _{x}^{k}\!(y)\,x^{n-k}.}
x 를 미분 연산자
∂
{\displaystyle \partial }
y 를 곱셈 연산자
m
f
:
g
↦
f
g
{\displaystyle m_{f}:g\mapsto fg}
ad
(
∂
)
(
m
f
)
=
m
∂
(
f
)
{\displaystyle \operatorname {ad} (\partial )(m_{f})=m_{\partial (f)}}
g 에 적용하여, 항등식은 다음이 n- 차 도함수
∂
n
(
f
g
)
{\displaystyle \partial ^{n}\!(fg)}
See also Notes References Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1 Griffiths, David J. (2004), Introduction to Quantum Mechanics Prentice Hall , ISBN 0-13-805326-X Herstein, I. N. (1975), Topics In Algebra (2nd ed.), Wiley, ISBN 0471010901 Lavrov, P.M. (2014), "Jacobi -type identities in algebras and superalgebras", Theoretical and Mathematical Physics , 179 (2): 550–558, arXiv :1304.5050 Bibcode :2014TMP...179..550L , doi :10.1007/s11232-014-0161-2 , S2CID 119175276 Liboff, Richard L. (2003), Introductory Quantum Mechanics (4th ed.), Addison-Wesley , ISBN 0-8053-8714-5 McKay, Susan (2000), Finite p-groups , Queen Mary Maths Notes, vol. 18, University of London , ISBN 978-0-902480-17-9 MR 1802994 McMahon, D. (2008), Quantum Field Theory , McGraw Hill , ISBN 978-0-07-154382-8 Further reading McKenzie, R. ; Snow, J. (2005), "Congruence modular varieties: commutator theory" , in Kudryavtsev, V. B.; Rosenberg, I. G. (eds.), Structural Theory of Automata, Semigroups, and Universal Algebra , NATO Science Series II, vol. 207, Springer, pp. 273–329, doi :10.1007/1-4020-3817-8_11 , ISBN 9781402038174 External links
![{\displaystyle x^{y}=x[x,y].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dbfda5e3214a078a56860ef1d958532efd6ecc6c)
![{\displaystyle [y,x]=[x,y]^{-1}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59c8c7dabf4a3f20a3f9a04a295468426eb22009)
![{\displaystyle [x,zy]=[x,y]\cdot [x,z]^{y}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a9b7c4a764e30d0e2c80b7f31778d427aa3e032)
![{\displaystyle [xz,y]=[x,y]^{z}\cdot [z,y].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d505bd20b4dfad61942e780f9019f2342a28df)
![{\displaystyle \left[x,y^{-1}\right]=[y,x]^{y^{-1}}}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3ec042607b8431621da1694a5e0373d26817d09)
![{\displaystyle \left[x^{-1},y\right]=[y,x]^{x^{-1}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ec4802d72362fa5f8b6f440bee17b73b8f9ff48)
![{\displaystyle \left[\left[x,y^{-1}\right],z\right]^{y}\cdot \left[\left[y,z^{-1}\right],x\right]^{z}\cdot \left[\left[z,x^{-1}\right],y\right]^{x}=1}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18d4c7cbd3df6c090da7d53c504a2bbbf911faaf)
![{\displaystyle \left[\left[x,y\right],z^{x}\right]\cdot \left[[z,x],y^{z}\right]\cdot \left[[y,z],x^{y}\right]=1.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/969627eb5e4b01b893d68ba8cb5aefb6fb9dcb4e)
![{\displaystyle (xy)^{2}=x^{2}y^{2}[y,x][[y,x],y].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c75b2bcc9c723ec68c6e482e9e1e002b02082d3)
![{\displaystyle (xy)^{n}=x^{n}y^{n}[y,x]^{\binom {n}{2}}.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/128ae0855aada1e122d118d63c2bfa18a08eb603)
![{\displaystyle [a,b]=ab-ba.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c73ba7fbd6260acd540051cc2c6f9131ff0d7f8e)
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![{\displaystyle e^{A}e^{B}e^{-A}e^{-B}=\exp \!\left([A,B]+{\frac {1}{2!}}[A{+}B,[A,B]]+{\frac {1}{3!}}\left({\frac {1}{2}}[A,[B,[B,A]]]+[A{+}B,[A{+}B,[A,B]]]\right)+\cdots \right).}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f104655d91482ecf24b550407ef28112b27bd564)
![{\displaystyle [\omega ,\eta ]_{gr}:=\omega \eta -(-1)^{\deg \omega \deg \eta }\eta \omega .}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a31537974b529c2386b07f032b0452d7ab70e81)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]=xy-yx.}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06e06c88110f66faa14de2b3fba0644b13e96429)
![{\displaystyle \mathrm {ad} _{x}[y,z]\ =\ [\mathrm {ad} _{x}\!(y),z]\,+\,[y,\mathrm {ad} _{x}\!(z)].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97e49b2f65e16c28bbcad712a40e4bf680ebf909)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}\operatorname {ad} _{y}(z)=[x,[y,z]\,]}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8c27f6b58b814f258e43d4529f26e9ec0523b58a)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{x}^{2}\!(z)\ =\ \operatorname {ad} _{x}\!(\operatorname {ad} _{x}\!(z))\ =\ [x,[x,z]\,].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/856ad01497c91a4c78ba471c5ba199d82744c717)
![{\displaystyle \operatorname {ad} _{[x,y]}=\left[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}\right].}](https://dawoum.duckdns.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c43069feeed684198e360f083c3c004bf3cb2f2)
