Concave function

수학(mathematics)에서 오목 함수(concave function)는 볼록 함수(convex function)의 부정(negative)입니다. 오목 함수는 아래로 오목(concave downwards), 오목한 아래쪽(concave down), 위로 볼록(convex upwards), 볼록한 모자(convex cap) 또는 볼록한 위쪽(upper convex)으로 역시 동의적으로 불립니다.

Definition

구간(interval) (또는, 보다 일반적으로, 벡터 공간(vector space)에서 볼록 집합(convex set)) 위에 실제-값 함수(function) $f$ 는, 만약 구간에서 임의의 $x$ 와 $y$ 에 대해 임의의 $\alpha \in [0,1]$ , 다음이면, 오목이라고 말합니다:^[1]

f((1-\alpha )x+\alpha y)\geq (1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)

.

함수가, 만약, 임의의 $\alpha \in (0,1)$ 및 $x\neq y$ 에 대해 다음이면, 엄격하게 오목이라고 불립니다:

f((1-\alpha )x+\alpha y)>(1-\alpha )f(x)+\alpha f(y)\,

.

함수 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 에 대해, 이 두 번째 정의는 단지 $x$ 및 $y$ 사이의 엄격하게 모든 각 $z$ 에 대해, $f$ 의 그래프 위의 점 $(z,f(z))$ 는 점 $(x,f(x))$ 와 $(y,f(y))$ 를 연결하는 직선 위쪽에 있음을 말합니다.

함수 $f$ 는, 만약 함수 $S(a)=\{x:f(x)\geq a\}$ 의 위쪽 윤곽 집합이 볼록 집합이면, 유사-오목(quasiconcave)입니다.^[2]^: 496

Properties

Functions of a single variable

1. 미분-가능한(differentiable) 함수(function) $f$ 가 하나의 구간(interval) 위에 (엄격하게) 오목인 것은 그의 도함수(derivative) 함수 $f '$ 이 해당 구간 위에 (엄격하게) 단조롭게 감소하는(monotonically decreasing) 것, 즉, 오목 함수가 비-증가하는 (감소하는) 기울기(slope)를 갖는 것과 필요충분 조건입니다.^{[citation needed]}

2. 오목성이 변하는 (오목과 볼록(convex) 사이의) 점(Points)은 변곡 점(inflection point)입니다.^{[citation needed]}

3. 만약 $f$ 가 두번-미분 가능(differentiable)이면, $f$ 가 오목인 것과 $f ''$ 가 비-양수(non-positive) (또는, 비공식적으로, 만약 "가속도"가 비-양수)인 것은 필요충분 조건입니다. 만약 그의 이차 도함수가 음수(negative)이면, 그것은 엄격하게 오목이지만, 역은, $f (x) = - x 4$ 에서 보인 것처럼, 참이 아닙니다.

4. 만약 $f$ 가 오목이고 미분-가능이면, 그것은 그의 일-차 테일러 근사(Taylor approximation)에 의해 위로 경계집니다:^[2]^: 489

f(y)\leq f(x)+f'(x)[y-x]

5. 구간 $C$ 위에 르베그 측정-가능 함수(Lebesgue measurable function)가 오목인 것과 그것은 중점 오목, 즉, $C$ 에서 임의의 $x$ 및 $y$ 에 대해 다음인 것은 필요충분(iff) 조건입니다:

f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\geq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}

6. 만약 함수 $f$ 가 오목이고, $f (0) \geq 0$ 이면, $f$ 는 $[0,\infty )$ 위에 부분-덧셈적(subadditive)입니다. 증명:

$f$ 가 오목이고 $1 \geq t \geq 0$ 이므로, $y = 0$ 를 설정하면, 우리는 $f(tx)=f(tx+(1-t)\cdot 0)\geq tf(x)+(1-t)f(0)\geq tf(x)$ 를 가집니다.
$a,b\in [0,\infty )$ 에 대해 다음입니다:

f(a)+f(b)=f\left((a+b){\frac {a}{a+b}}\right)+f\left((a+b){\frac {b}{a+b}}\right)\geq {\frac {a}{a+b}}f(a+b)+{\frac {b}{a+b}}f(a+b)=f(a+b)

Functions of n variables

1. 함수 $f$ 가 볼록 집합에 걸쳐 오목인 것과 함수 $-f$ 가 그 집합에 걸쳐 볼록 함수(convex function)인 것은 필요충분(iff) 조건입니다.

2. 두 오목 함수의 합은 자체로 오목이고 그래서 두 오목 함수의 점별 최솟값, 즉, 주어진 도메인 위의 오목 함수의 집합은 반-필드(semifield)를 형성합니다.

3. 함수 영역 내부의 지역 최댓값(local maximum) 근처에서, 함수는 반드시 오목해야 합니다; 부분 역으로써, 만약 엄격하게 오목 함수의 도함수가 어떤 점에서 영이면, 해당 점은 지역 최댓값입니다.

4. 오목 함수의 임의의 지역 최댓값(local maximum)은 역시 전역 최댓값(global maximum)입니다. 엄격하게 오목 함수는 많아야 하나의 전역 최댓값을 가질 것입니다.

Examples

함수 $f(x)=-x^{2}$ 및 $g(x)={\sqrt {x}}$ 는 그들의 도메인 위에 오목인데, 왜냐하면 그들의 이차 도함수 $f''(x)=-2$ 및 $g''(x)=-{\frac {1}{4x^{3/2}}}$ 는 항상 음수이기 때문입니다.
로그(logarithm) 함수 $f(x)=\log {x}$ 는 그의 도메인 $(0,\infty )$ 위에 오목인데, 왜냐하면 그의 도함수 ${\frac {1}{x}}$ 는 엄격하게 감소하는 함수이기 때문입니다.
임의의 아핀 함수(affine function) $f(x)=ax+b$ 는 오목 및 볼록 둘 다이지만, 엄격하게-오목도 아니고 엄격하게-볼록도 아닙니다.
사인(sine) 함수는 구간 $[0,\pi ]$ 위에 오목입니다.
함수 $f(B)=\log |B|$ 는 오목이며, 여기서 $|B|$ 는 비-음의-명확한 행렬(nonnegative-definite matrix) B의 행렬식(determinant)입니다.^[3]

Applications

대기에서 전파 감쇠의 계산(computation of radiowave attenuation in the atmosphere)에서 구부러지는 반직선은 오목한 함수를 포함합니다.
기대 효용(expected utility) 이론에서 불확실성 아래에 선택(choice under uncertainty)에 대해, 위험 회피(risk averse) 의사 결정자의 기수적 효용(cardinal utility) 함수는 오목입니다.
미시경제 이론(microeconomic theory)에서, 생산 함수(production function)는 보통 그들 도메인의 일부 또는 모두에 걸쳐 오목한 것으로 가정하며, 입력 인수에 대한 수확 체감(diminishing returns)에서 결과입니다.^[4]

References

^ Lenhart, S.; Workman, J. T. (2007). Optimal Control Applied to Biological Models. Mathematical and Computational Biology Series. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.
^ ^a ^b Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (Third ed.). New York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.
^ Cover, Thomas M.; Thomas, J. A. (1988). "Determinant inequalities via information theory". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 9 (3): 384–392. doi:10.1137/0609033.
^ Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. Oxford University Press. pp. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.

Further References

Crouzeix, J.-P. (2008). "Quasi-concavity". In Durlauf, Steven N.; Blume, Lawrence E (eds.). The New Palgrave Dictionary of Economics (Second ed.). Palgrave Macmillan. pp. 815–816. doi:10.1057/9780230226203.1375. ISBN 978-0-333-78676-5. {{cite book}}: Invalid |ref=harv (help)
Rao, Singiresu S. (2009). Engineering Optimization: Theory and Practice. John Wiley and Sons. p. 779. ISBN 978-0-470-18352-6.

[1] Lenhart, S.; Workman, J. T. (2007). Optimal Control Applied to Biological Models. Mathematical and Computational Biology Series. Chapman & Hall/ CRC. ISBN 978-1-58488-640-2.

[Varian-2] Varian, Hal (1992). Microeconomic Analysis (Third ed.). New York: Norton. ISBN 0-393-95735-7.

[Cover_1988-3] Cover, Thomas M.; Thomas, J. A. (1988). "Determinant inequalities via information theory". SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 9 (3): 384–392. doi:10.1137/0609033.

[4] Pemberton, Malcolm; Rau, Nicholas (2015). Mathematics for Economists: An Introductory Textbook. Oxford University Press. pp. 363–364. ISBN 978-1-78499-148-7.

[1]

[2]

[3]

[4]