Concurrent lines
평면 또는 고-차원 공간에서 직선(Lines)은 만약 그것들이 단일 점(point)에서 교차(intersect)하면 공점(concurrent)이라고 말합니다. 그것들은 평행 직선(parallel lines)과 대조됩니다.
Examples
Triangles
삼각형(triangle)에서, 동점 직선의 집합의 넷의 기본 유형은 고도(altitudes), 각도 이등분선(angle bisectors), 중앙선(medians), 및 수직 이등분선(perpendicular bisectors)입니다:
- 삼각형의 고도는 각 꼭짓점(vertex)에서 달리고 직각(right angle)에서 반대 변과 만납니다. 세 고도가 만나는 점은 직교중심(orthocenter)입니다.
- 각도 이등분선은 삼각형의 각 꼭짓점에서 달리고 결합된 각도(angle)를 이등분하는 반직선입니다. 그것들 모두는 내중심(incenter)에서 만납니다.
- 중앙선은 삼각형의 각 꼭짓점을 반대 변의 중간점에 연결합니다. 셋의 중앙선은 도형중심(centroid)에서 만납니다.
- 수직 이등분선은 삼각형의 각 변의 중간점에서 90도 각도로 밖으로 달리는 직선입니다. 셋의 수직 이등분선은 둘레중심(circumcenter)에서 만납니다.
삼각형과 결합된 다른 직선의 집합은 마찬가지로 공점입니다. 예를 들어:
- (필연적으로 삼각형 넓이의 이등분선인) 임의의 중앙선은 각각 한 변에 평행한 둘의 다른 넓이 이등분선과 공점입니다.[1]
- 삼각형의 클리버(cleaver)는 삼각형의 둘레를 이등분하고 세 변 중 하나의 중간점에 한 끝점을 가지는 선분입니다. 셋의 클리버는 중점 삼각형(medial triangle)의 내원(incircle)인 슈피커 원(Spieker circle)의 중심에 일치합니다.
- 삼각형의 스플리터(splitter)는 삼각형의 세 꼭짓점 중 하나에 한 끝점을 가지고 둘레를 이등분하는 선분입니다. 셋의 스플리터는 삼각형의 나겔 점(Nagel point)에서 일치합니다.
- 삼각형의 넓이와 그것의 둘레 둘 다를 절반으로 나누는 삼각형을 통과하는 임의의 직선은 삼각형의 내중심(incenter)을 통과하고, 각 삼각형은 이들 직선이 하나, 둘, 또는 셋을 가집니다. 따라서 세 가지가 있으면 중심에서 일치합니다.[2] 따라서 만약 그것들의 셋이 있으면, 그것들은 내중심에서 일치합니다.
- 삼각형의 탈히 점(Tarry point)은 삼각형의 첫 번째 브로카르 삼각형(Brocard triangle)의 해당하는 변에 수직인 삼각형의 꼭짓점을 통과하는 직선의 동시성의 점입니다.
- 삼각형의 쉬플러 점(Schiffler point)은 넷의 삼각형의 오일러 직선(Euler line)의 동시섬의 점입니다: 문제에서 삼각형, 및 각각이 그것과 둘의 꼭짓점을 공유하고 다른 꼭짓점으로 내중심(incenter)을 가지는 셋의 삼각형.
- 나폴레옹 점(Napoleon points)과 그것들의 일반화는 동시성의 점입니다. 예를 들어, 첫 번째 나폴레옹 점은 꼭짓점에서 반대쪽 변의 바깥쪽에 그려진 등변 삼각형의 꼭짓점에서 도형중심까지의 세 직선의 동시성의 점입니다. 이 개념의 일반화는 야코비 점(Jacobi point)입니다.
- 드 롱샴 점(de Longchamps point)은 오일러 직선과 여러 직선의 일치하는 점입니다.
- 주어진 삼각형의 한 변에 외부 등변 삼각형을 그리고 새로운 꼭짓점을 원래 삼각형의 반대쪽 꼭짓점에 연결함으로써 각각 형성된 셋의 직선은 첫 번째 등각형 중심(first isogonal center)이라고 불리는 한 점에서 동점입니다. 원래 삼각형이 120°보다 더 큰 각도를 가지지 않은 경우에서, 이 점은 역시 페르마 점(Fermat point)입니다.
- 아폴로니우스 점(Apollonius point)은 삼각형의 외부원(excircle)이 내부적으로 접하는 원의 접하는 점을 삼각형의 반대쪽 꼭짓점에 연결하는 셋의 직선의 동시성의 점입니다.
Quadrilaterals
- 사변형(quadrilateral)의 두 쌍중앙선(bimedians) (반대쪽 변의 중간점을 연결하는 선분)과 대각선의 중간점을 연결하는 선분은 공점이고 그것들의 교차의 점에 의해 모두 이등분됩니다.[3]: p.125
- 접하는 사변형(tangential quadrilateral)에서, 넷의 각도 이등분선(angle bisector)은 내원(incircle)의 중심에서 일치합니다.[4]
- 접하는 사변형의 다른 동시성이 여기에 주어집니다.
- 순환 사변형(cyclic quadrilateral)에서, 한 변에 수직(perpendicular)이고 반대 변의 중간점(midpoint)을 통과하는 넷의 선분은 공점입니다.[3]: p.131, [5] 이들 선분은 maltitude라고 불리며,[6] 이것은 중간점 고도에 대해 약어입니다. 그것들의 공통 점은 반중심(anticenter)이라고 불립니다.
- 볼록 사변형이 외부-접하는(ex-tangential) 것과 여섯 동시 각도 이등분선: 둘의 반대 꼭짓점 각도에서 내부 각도 이등분선(angle bisector), 다른 두 꼭짓점 각도에서 외부 각도 이등분선, 및 반대 변의 연장선이 교차하는 형성된 각도에서 외부 각도 이등분선이 있는 것은 필요충분 조건입니다.
Hexagons
- 만약 순환(cyclic) 육각형(hexagon)의 연속적인 변이 a, b, c, d, e, f이면, 셋의 주요 대각선이 단일 점에서 일치하는 것과 ace = bdf인 것은 필요충분 조건입니다.[7]
- 만약 육각형이 내접된(inscribed) 원뿔형(conic)을 가지면, 브리앙숑의 정리(Brianchon's theorem)에 의해, 그것의 주요 대각선(diagonal)이 (위의 이미지에서 처럼) 공점입니다.
- 공점 직선은 파푸스의 육각형 정리(Pappus's hexagon theorem)의 이중에서 발생합니다.
- 순환 육각형의 각 변에 대해, 인접한 변을 교차점까지 연장하여, 주어진 변의 외부에 삼각형을 형성합니다. 그런-다음 반대 삼각형의 둘레중심을 연결하는 선분은 공점입니다.[8]
Regular polygons
- 만약 정규 다각형이 짝수의 변을 가지면, 반대쪽 꼭짓점을 연결하는 대각선(diagonal)은 다각형의 중심에서 공점입니다.
Circles
- 원(circle)의 모든 현(chords)의 수직 이등분선은 원의 중심(center)에서 공점입니다.
- 접선의 점에서 원에 대한 접선에 수직인 직선은 중심에서 공점입니다.
- 원의 모든 넓이(area) 이등분선(bisectors)과 둘레(perimeter) 이등분선은 지름(diameter)이고, 그것들은 원의 중심에서 공점입니다.
Ellipses
- 타원(ellipse)의 모든 넓이 이등분선과 둘레 이등분선은 타원의 중심에서 공점입니다.
Hyperbolas
- 쌍곡선(hyperbola)에서, 다음은 공점입니다: (1) 쌍곡선의 초점을 통과하고 쌍곡선의 중심을 중심으로 하는 원; (2) 꼭짓점에서 쌍곡선에 접하는 직선 중 하나; 및 (3) 쌍곡선의 점근선 중 하나.
- 다음은 역시 공점입니다: (1) 쌍곡선의 중심을 중심으로 하고 쌍곡선의 꼭짓점을 통과하는 원; (2) 두 방향선; 및 (3) 점근선 중 하나.
Tetrahedrons
- 사면체(tetrahedron)에서, 넷의 중앙선과 셋의 쌍중앙선은 사면체의 도형중심이라고 불리는 점에서 모두 공점입니다.[9]
- 등역학적 사면체(isodynamic tetrahedron)는 꼭짓점을 반대 면의 내중심(incenter)에 연결하는 체바선(cevian)은 공점에서 하나이고, 등각형 사면체(isogonic tetrahedron)는 사면체의 내접된 구(inscribed sphere)와 반대 면의 접촉 점에 꼭짓점을 연결하는 공점 체바선을 가집입니다.
- 직교-중심 사면체(orthocentric tetrahedron)에서, 넷의 고도는 공점입니다.
Algebra
루셰–카펠리 정리(Rouché–Capelli theorem)에 따르면, 방정식의 시스템일 일치(consistent)인 것과 계수 행렬의 랭크가 증가된 행렬(augmented matrix) (절편 항의 열로 증가된 계수 행렬)의 랭크(rank)와 것은 필요충분 조건이고, 그 시스템이 고유한 해를 갖는 것과 해당 공통 랭크가 변수의 수와 같은 것은 필요충분 조건입니다. 따라서 두 변수를 갖는 k 방정식의 집합과 결합된 평면에서 k 직선이 공점인 것과 k × 2 계수 행렬의 랭크와 k × 3 증가된 행렬의 랭크가 둘 다 2인 것은 필요충분 조건입니다. 해당 경우에서 k 방정식 중 오직 둘이 독립(independent)이고, 동시성의 점은 두 변수에 대해 임의의 둘의 상호 독립 방정식을 풂으로써 구할 수 있습니다.
Projective geometry
투영 기하학(projective geometry)에서, 이 차원에서 공점은 공선형성(collinearity)의 이중(dual)입니다; 삼 차원에서, 공점은 공통-평면성(coplanarity)의 이중입니다.
References
- ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. E., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.
- ^ Kodokostas, Dimitrios, "Triangle Equalizers," Mathematics Magazine 83, April 2010, pp. 141-146.
- ^ a b Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (2nd ed.), Courier Dover, pp. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC 78063045
- ^ Andreescu, Titu and Enescu, Bogdan, Mathematical Olympiad Treasures, Birkhäuser, 2006, pp. 64–68.
- ^ Honsberger, Ross (1995), "4.2 Cyclic quadrilaterals", Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, New Mathematical Library, vol. 37, Cambridge University Press, pp. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
- ^ Weisstein, Eric W. "Maltitude". MathWorld.
- ^ Cartensen, Jens, "About hexagons", Mathematical Spectrum 33(2) (2000-2001), 37-40.
- ^ Nikolaos Dergiades, "Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon", Forum Geometricorum 14, 2014, 243--246. http://forumgeom.fau.edu/FG2014volume14/FG201424index.html
- ^ Leung, Kam-tim; and Suen, Suk-nam; "Vectors, matrices and geometry", Hong Kong University Press, 1994, pp. 53-54
External links
- Wolfram MathWorld Concurrent, 2010.