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Vertex (geometry)

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Original article: w:Vertex (geometry)
For vertices in the geometry of curves, see Vertex (curve). For other uses of the word, see Vertex (disambiguation).

기하학(geometry)에서, 꼭짓점(vertex 복수형: vertices 또는 vertexes)은 종종 , , 와 같은 문자로 표시되고, 둘 이상의 곡선(curve), 직선(line), 또는 가장자리(edge)가 만나는 점(point)입니다. 이 정의의 결과로, 두 직선이 각(angle)을 형성하기 위해 만나고 다각형(polygon)과 다면체(polyhedra)의 모서리인 점이 꼭짓점입니다.[1][2][3]

Definition

Of an angle

A vertex of an angle is the endpoint where two line or rays come together.

각(angle)의 꼭짓점은 두 개의 반직선(rays)이 시작하거나 만나는 점, 두 개의 선분이 결합하거나 만나는 점, 두 개의 직선이 교차하는, 또는 한 곳에서 만나는 두 개의 직진 "변"을 초래하는 반직선, 선분, 및 직선의 적절한 조합으로 만나는 점입니다.[4][3]

Of a polytope

꼭짓점은 대상의 가장자리(edges), 면(faces) 또는 패싯의 교차(intersection)에 의해 형성된 다각형(polygon) 다면체(polyhedron), 또는 다른 고-차원 폴리토프의 모서리 점입니다.[4]

다각형에서, 꼭짓점은 만약 다각형의 내부 각도(internal angle) (즉, 꼭짓점에서 두 모서리에 의해 각도 내부의 다각형과 이루는 각도(angle))가 π 라디안 (180°, 두 직각)보다 작으면 "볼록(convex)"이라고 불립니다; 그렇지 않으면, 그것은 "오목(concave" 또는 "reflex)"이라고 불립니다.[5] 보다 일반적으로, 다면체 또는 폴리토프의 꼭짓점은 만약 꼭짓점에 중심을 둔 충분하게 작은 구(sphere)를 갖는 다면체 또는 폴로토프가 볼록이면 볼록이고, 그렇지 않으면 오목입니다.

폴리토프 꼭짓점은 그래프의 꼭짓점(vertices of graphs)과 관련되며, 그것에서 폴리토프의 1-뼈대(1-skeleton)는 그래프이고 그것의 꼭짓점이 폴리토프의 꼭짓점에 해당하고,[6] 그것에서 그래프는 그래프의 꼭짓점인 1-차원 단순 복소 꼭짓점으로 보일 수 있습니다.

어쨌든, 그래프 이론(graph theory)에서, 꼭짓점은 보통 기하학적 꼭짓점에 대해 허용되지 않는 둘보다 작은 투사 가장자리를 가질 수 있습니다. 역시 기하학적 꼭짓점과 곡선의 꼭짓점, 극단의 곡률의 점 사이의 연결이 있습니다: 어떤 의미에서 다각형의 꼭짓점은 무한 곡률의 점이고, 만약 다각형이 매끄러운 곡선에 의해 근사화되면, 각 다각형 꼭짓점 근처의 극단 곡률의 점일 것입니다.[7] 어쨌든, 다각형에 대한 매끄러운 곡선 근사는 역시 곡률이 최소인 점에서 추가적인 꼭짓점을 가질 것입니다.

Of a plane tiling

평면 타일링 또는 테셀레이션(tessellation)의 꼭짓점은 셋 이상의 타일이 만나는 점입니다;[8] 일반적으로, 항상 그런 것은 아니지만, 테셀레이션의 타일은 다각형이고 테셀레이션의 꼭짓점은 역시 타일의 꼭짓점입니다. 보다 일반적으로, 테셀레이션은 다면체 또는 폴리토프의 면과 마찬가지로 일종의 토폴로지적 세포 복합체(cell complex)로 보일 수 있습니다; 단순 복합체(simplicial complex)와 같은 다른 종류의 복합체의 꼭짓점은 영-차원 면입니다.

Principal vertex

Vertex B is an ear, because the open line segment between C and D is entirely inside the polygon. Vertex C is a mouth, because the open line segment between A and B is entirely outside the polygon.

단순 다각형 P의 다각형 꼭짓점 xi는 만약 대각선 [x(i − 1), x(i + 1)]가 오직 x(i − 1)와 x(i + 1)에서 P의 경계와 교차하면 주요 다각형 꼭짓점입니다. 주요 꼭짓점에는 두 유형: 귀와 입이 있습니다.[9]

Ears

단순 다각형 P의 주요 꼭짓점 xi는 만약 xi에 다리를 놓는 대각선 [x(i − 1), x(i + 1)]가 완전하게 P 안에 놓이면 귀라고 불립니다. (역시 볼록 다각형(convex polygon)을 참조하십시오) 두 귀 정리(two ears theorem)에 따르면, 모든 각 단순 다각형은 적어도 둘의 귀를 가집니다.[10]

Mouths

단순 다각형 P의 주요 꼭짓점 xi가 만약 대각선 [x(i − 1), x(i + 1)]가 P의 경계 밖에 놓이면 입이라고 불립니다.

Number of vertices of a polyhedron

임의의 볼록 다면체(convex polyhedron)의 표면은 오일러 특성(Euler characteristic)을 가집니다:

여기서 V는 꼭짓점의 숫자, E는 가장자리(edges)의 숫자이고, F는 면(faces)의 숫자입니다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식(Euler's polyhedron formula)으로 알려져 있습니다. 따라서 꼭짓점의 숫자는 면의 수에 걸쳐 가장자리의 숫자의 초과보다 2가 더 많습니다. 예를 들어, 정육면체(cube)에는 12개의 가장자리와 6개의 면이 있으므로, 공식은 그것이 8개의 꼭짓점을 가짐을 의미합니다.

Vertices in computer graphics

Main article: Vertex (computer graphics)

컴퓨터 그래픽(computer graphics)에서, 대상은 종종 대상 꼭짓점(object vertices)이 셋의 공간 좌표뿐만 아니라, 색상, 반사율(reflectance) 속성, 질감, 및 표면 법선(surface normal)과 같은 대상을 올바르게 렌더링하기 위해 필요한 다른 그래픽 정보와 결합되는 삼각측량된 다면체(polyhedra)로 표현됩니다;[11] 이들 속성은 꼭짓점 파이프라인의 일부, 꼭짓점 셰이더(vertex shader)에 의한 렌더링에서 사용됩니다.

See also

References

  1. ^ Weisstein, Eric W. "Vertex". MathWorld.
  2. ^ "Vertices, Edges and Faces". www.mathsisfun.com. Retrieved 2020-08-16.
  3. ^ a b "What Are Vertices in Math?". Sciencing. Retrieved 2020-08-16.
  4. ^ a b Heath, Thomas L. (1956). The Thirteen Books of Euclid's Elements (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). New York: Dover Publications.
    (3 vols.): ISBN 0-486-60088-2 (vol. 1), ISBN 0-486-60089-0 (vol. 2), ISBN 0-486-60090-4 (vol. 3).
  5. ^ Jing, Lanru; Stephansson, Ove (2007). Fundamentals of Discrete Element Methods for Rock Engineering: Theory and Applications. Elsevier Science.
  6. ^ Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 29)
  7. ^ Bobenko, Alexander I.; Schröder, Peter; Sullivan, John M.; Ziegler, Günter M. (2008). Discrete differential geometry. Birkhäuser Verlag AG. ISBN 978-3-7643-8620-7.
  8. ^ M.V. Jaric, ed, Introduction to the Mathematics of Quasicrystals (Aperiodicity and Order, Vol 2) ISBN 0-12-040602-0, Academic Press, 1989.
  9. ^ Devadoss, Satyan; O'Rourke, Joseph (2011). Discrete and Computational Geometry. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-14553-2.
  10. ^ Meisters, G. H. (1975), "Polygons have ears", The American Mathematical Monthly, 82 (6): 648–651, doi:10.2307/2319703, JSTOR 2319703, MR 0367792.
  11. ^ Christen, Martin. "Clockworkcoders Tutorials: Vertex Attributes". Khronos Group. Retrieved 26 January 2009.

External links

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