Constant of integration

Original article: w:Constant of integration

미적분학(calculus)에서, 적분의 상수(constant of integration)는, 종종 $C$로 표시되며, 연결된 도메인(connected domain) 위의 $f(x)$의 부정적분(indefinite integral) (즉, $f(x)$의 모든 역도함수(antiderivative)의 집합(set))이 오직 덧셈의 상수까지(up to) 정의되는 것을 나타내기 위해 함수 $f(x)$의 역도함수의 끝에 더해지는 상수입니다. 이 상수는 역도함수의 구성에서 고유의 모호성을 표현합니다.

보다 구체적으로, 만약 함수 $f(x)$가 구간(interval) 위에 정의되고, $F(x)$가 $f(x)$의 역도함수이면, $f(x)$의 모든 역도함수의 집합은 함수 $F(x)+C$에 의해 주어지며, 여기서 $C$는 임의의 상수입니다 ($C$의 임의의 값이 $F(x)+C$를 유효한 역도함수를 만드는 것을 의미합니다). 이런 이유로, 부정 적분은 종종 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$로 쓰이지만, 적분의 상수는 때때로 간결성을 위해 적분의 목록(lists of integrals)에서 생략됩니다.

Origin

임의의 상수 함수의 도함수(derivative)는 영입니다. 한번 우리가 함수 $f(x)$에 대해 하나의 역도함수 $F(x)$를 찾으면, 임의의 상수 $C$를 더하거나 빼는 것은 또 다른 역도함수를 제공할 것인데, 왜냐하면 $(F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)$이기 때문입니다. 상수는 적어도 하나의 역도함수를 갖는 모든 각 함수가 그것들의 무한 개수를 가질 것임을 표현하는 방법입니다.

$F:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$와 $G:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$를 둘의 어디에서나 미분-가능 함수로 놓습니다. 모든 각 실수 x에 대해 $F\,'(x)=G\,'(x)$라고 가정합니다. 그런-다음 모든 각 실수 x에 대해 $F(x)-G(x)=C$를 만족하는 실수 $C$가 존재합니다.

이것을 입증하기 위해, $[F(x)-G(x)]'=0$임을 주목하십시오. 따라서 $F$는 $F-G$로, $G$가 상수 함수 $0$으로 대체될 수 있으며, 그것의 도함수가 항상 영인 어디에서나 미분-가능 함수가 상수여야 한다는 것을 입증하려는 목표를 만듭니다:

실수 $a$를 선택하고, $C=F(a)$라고 놓습니다. 임의의 x에 대해, 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)는, $F$의 도함수가 사라진다는 가정과 함께, 다음임을 의미합니다:

${\begin{aligned}&0=\int _{a}^{x}F'(t)\ dt\\&0=F(x)-F(a)\\&0=F(x)-C\\&F(x)=C\\\end{aligned}}$

이것에 의하여 $F$가 상수 함수임을 보입니다.

두 사실이 이 증명에서 치명적입니다. 첫째, 실수 직선은 연결된(connected) 것입니다. 만약 실수 직선이 연결되지 않았다면, 우리는 항상 고정된 a로부터 임의의 주어진 x까지 적분할 수 있는 것은 아닙니다. 예를 들어, 만약 우리가 구간 [0,1]과 [2,3]의 합집합 위에 정의된 함수에 대해 질문을 받았고, a가 0이었다면, 0에서 3까지 적분하는 것이 가능하지 않은데, 왜냐하면 함수는 1과 2 사이에 정의되지 않았기 때문입니다. 여기서, 도메인(domain)의 각 연결된 성분(connected component)에 대해 하나씩, 둘의 상수가 있을 것입니다. 일반적으로, 상수를 지역적으로 상수 함수(locally constant function)로 대체함으로써, 우리는 이 정리를 연결이 분리된 도메인으로 확장할 수 있습니다. 예를 들어, $\textstyle \int dx/x$에 대해 둘의 적분의 상수가 있고, $\textstyle \int \tan x\,dx$에 대해 무한하게 많은 것이 있으므로, 예를 들어, 1/x의 적분에 대해 일반적인 형식은 다음입니다:

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

둘째, $F$와 $G$는 어디에서나 미분-가능으로 가정됩니다. 만약 $F$와 $G$가 심지어 한 점에서 미분-가능하지 않으면, 그 정리는 실패할 것입니다. 예제로서, $F(x)$를 헤비사이드 계단 함수(Heaviside step function)로 놓으며, 그 함수는 x의 음의 값에 대해 영과 x의 비-음의 값에 대해 일이고, $G(x)=0$라고 놓습니다. 그런-다음 $F$의 도함수는 그것이 정의된 곳에서 영이고, $G$의 도함수는 항상 영입니다. 그럼에도 불구하고 $F$와 $G$가 상수만큼 다르지 않음이 분명하고, 만약 $F$와 $G$가 어디에서가 연속이고 거의 모든 곳(almost everywhere)에서 미분-가능이라고 가정하면 그 정리는 여전히 실패합니다. 예제로서, $F$를 칸토어 함수(Cantor function)로 취하고 다시 $G(x)=0$이라고 놓습니다.

예를 들어, 우리가 $\cos(x)$의 역도함수를 찾기를 원한다고 가정합니다. 하나의 그러한 역도함수는 $\sin(x)$입니다. 또 다른 하나는 $\sin(x)+1$입니다. 세 번째는 $\sin(x)-\pi$입니다. 이들의 각각은 도함수 $\cos(x)$를 가지므로, 그것들은 모두 $\cos(x)$의 역도함수입니다.

상수를 더하고 빼는 것이 같은 함수의 다른 역도함수를 찾는 데 있어 유일한 유연성이라는 것이 밝혀졌습니다. 즉, 모든 역도함수는 상수까지 같습니다. $\cos(x)$에 대해 이 사실을 표현하기 위해, 우리는 다음을 씁니다:

$\int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.$

$C$를 숫자로 대체하는 것은 역도함수를 생성할 것입니다. 숫자 대신에 $C$를 씀으로써, 어쨌든, $\cos(x)$의 모든 가능한 역도함수의 간결한 설명이 얻습니다. $C$는 적분의 상수라고 불립니다. 이들 함수의 실제로 모두가 $\cos(x)$의 역도함수임을 쉽게 확인할 수 있습니다:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}$

Necessity

언뜻보기에는, 상수가 영으로 설정될 수 있기 때문에, 그것이 불필요하게 보일 수 있습니다. 게다가, 미적분학의 기본 정리(fundamental theorem of calculus)를 사용하여 한정 적분(definite integral)을 평가할 때, 상수는 항상 자체적으로 취소될 것입니다.

어쨌든, 상수를 0으로 설정하려는 시도가 항상 말이 되는 것은 아닙니다. 예를 들어, $2\sin(x)\cos(x)$는 적어도 셋의 다른 방법으로 적분될 수 있습니다:

${\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+C\end{aligned}}$

따라서 $C$를 영으로 설정하는 것은 여전히 상수를 남길 수 있습니다. 이것은, 주어진 함수에 대해, "가장 간단한 역도함수"가 없음을 의미합니다.

$C$를 영과 같게 설정함으로써 또 다른 문제는 때때로 (초기 값 문제(initial value problem)에서 처럼) 우리가 주어진 점에서 주어진 값을 가지는 역도함수를 찾기를 원한다는 것입니다. 예를 들어, x = π에서 값 100을 가지는 $\cos(x)$의 역도함수를 얻기 위해, 그때에 오직 $C$의 하나의 값이 작동할 것입니다 (이 경우에서 $C$ = 100).

이 제한은 미분 방정식(differential equations)의 언어에서 다시 표현될 수 있습니다. 함수 $f(x)$의 부정적분을 찾는 것은 미분 방정식 ${\frac {dy}{dx}}=f(x)$를 푸는 것과 같습니다. 임의의 다른 방정식이 많은 해를 가질 수 있고, 각 상수는 잘-제기된 초기 값 문제(initial value problem)의 고유한 해를 나타냅니다. 우리의 역도함수가 x = π에서 값 100을 취하는 조건을 부과하는 것은 초기 조건입니다. 각 초기 조건은 하나에 해당하고 $C$의 오직 하나의 값에 해당하므로, $C$없이 그 문제를 푸는 것이 불가능일 것입니다.

추상 대수학(abstract algebra)에서 오는, 또 다른 정당성이 있습니다. 실수(real number) 위에 모든 (적당한) 실수-값 함수는 벡터 공간(vector space)이고, 미분 연산자(differential operator) ${\frac {d}{dx}}$는 선형 연산자(linear operator)입니다. 연산자 ${\frac {d}{dx}}$가 함수를 영으로 매핑하는 것과 해당 함수가 상수인 것은 필요충분 조건입니다. 결과적으로, ${\frac {d}{dx}}$의 커널(kernel)은 모든 상수 함수의 공간입니다. 부정적분의 과정은 주어진 함수의 이전-이미지를 찾는 것과 같습니다. 주어진 함수에 대해 정식의 이전-이미지는 없지만, 모든 그러한 이전-이미지의 집합이 코셋(coset)을 형성합니다. 상수를 선택하는 것은 코셋의 원소를 선택하는 것과 같습니다. 이 맥락에서, 초기 값 문제(initial value problem)를 푸는 것은 초기 조건(initial condition)에 의해 주어진 초평면(hyperplane)에 놓이는 것으로 해석됩니다.